Câu đố về Ramanujan (kỷ niệm 100 năm ngày sinh của ông)

14

BÍ ẨN
RAMANUJANA

(kỷ niệm 100 năm ngày sinh của ông)

Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học
S. G. GINDIKIN

Ramanujan thích nói rằng những công thức đã được Boziya Namakkal đưa cho anh trong giấc mơ. Điều thú vị là trên thực tế, anh ấy thường xuyên rời giường vào buổi sáng và viết ngay ra những công thức làm sẵn.

Setsu Aiyar và Ramachandra Rao

Thư gửi Cambridge
Vào đầu năm 1913, giáo sư G. G. Hardy của Đại học Cambridge nhận được một lá thư từ Madras xa xôi. Ở tuổi 36, Hardy đã là một trong những chuyên gia hàng đầu về giải tích và lý thuyết số, là tác giả của một số công trình toán học xuất sắc. Người gửi bức thư, Srinavzaa Ramanujan, làm thư ký ở bộ phận kế toán của Bưu điện Madras với mức lương khiêm tốn hơn 20 feet mỗi năm. Anh ấy báo cáo về bản thân rằng anh ấy không có trình độ đại học và sau khi tốt nghiệp ra trường, anh ấy học toán một cách độc lập, không tuân theo hệ thống được chấp nhận mà “chọn con đường riêng của mình”. Nội dung toán học của bức thư trông khá vụng về - người ta có thể dễ dàng nhầm tác giả với một kẻ nghiệp dư tự tin.

Bản thân một lá thư như vậy không thể gây ấn tượng nhiều với Hardy. Nhưng một số công thức được đính kèm trong thư, được đề xuất xuất bản nếu thấy thú vị, điều mà bản thân tác giả không thể làm được vì nghèo. Xem công thức của Hardy thật: anh nhận ra rằng mình đang đối mặt với một hiện tượng phi tự nhiên. Anh ấy trả lời Ramanujan một cách thích thú, và sự trao đổi thư từ căng thẳng xảy ra giữa họ (ngày nay, thật đáng ngạc nhiên khi những bức thư giữa Ấn Độ và Anh hồi đó lại diễn ra nhanh chóng như thế nào). Hardy dần dần thu thập được khoảng 120 công thức khác nhau.

Các công thức của Ramanujan chủ yếu liên quan đến sự tương ứng giữa các căn thức vô hạn (Hộp 2), chuỗi vô hạn, tích và phân số liên tục (Hộp 1, 3, 4) và đồng nhất thức giữa các tích phân. Trước hết, rõ ràng là họ đã vượt xa

Hộp 1. Ví dụ về tổng vô hạn được tính bởi Ramanujan

$$1 - 5 \left(\frac{1}{2}\right)^3 + 9 \left(\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}\right)^3 - 13 \left(\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6}\right)^3 + \dots = \frac{2}{\pi}.$$

Công thức tuyệt vời này là một trong những công thức mà Ramanujan đã thêm vào lá thư đầu tiên của Hardy. Làm thế nào để tổng của chuỗi xen kẽ $a_0 + a_1 + a_2 + \dots$ với một số hạng chung

$$a_n = (-1)^n (4n + 1) \left(\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2n - 1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \dots \cdot (2n)}\right)^3$$

có thể đột nhiên bằng 2/π, Hardy đã không thể hiểu được trong một thời gian dài. Người đọc có thể xác minh tính hợp lệ của công thức này dưới dạng đẳng thức gần đúng bằng máy tính. Chứng minh một đẳng thức chính xác không phải là điều cơ bản.

15

Hộp 2. Căn thức lặp vô hạn

$$\sqrt{1+2\sqrt{1+3}\sqrt{1+4}\sqrt{1+...}}=3.$$

Ramanujan đã nhận được công thức tuyệt vời này khi còn đi học như sau: ông đã viết một chuỗi các đẳng thức rất có ý nghĩa

$$n(n+2)=n\sqrt{1+(n+1)(n+3)}=n\sqrt{1+(n+1)\sqrt{1+(n+2)(n+4)}}=...,$$

và sau đó thay thế $n=1$. Ramanujan không quan tâm đến vấn đề tính hợp pháp của việc chuyển sang giới từ. Bằng cách làm tương tự, người đọc có thể tự mình tìm ra công thức!

$$\sqrt{6+2\sqrt{7+3\sqrt{8+4}\sqrt{9+...}}}=4.$$

toán tiểu học. Mục đích của các câu hỏi sau đó được đặt ra: chúng có được biết đến không; nếu có thì tác giả của bức thư có nhận được nó một cách độc lập hay không; nếu không thì chúng có đúng không? Hardy sớm nhận ra rằng tình huống này thật nghịch lý: anh ấy, chắc chắn là một chuyên gia xuất sắc trong phân tích hiện đại, đang phải đối mặt với rất nhiều công thức mà anh ấy chưa biết!

Hardia rất ấn tượng với các công thức có chuỗi vô hạn (xem Hộp 1). Sau khi nghiên cứu chúng, ông đi đến kết luận:

“…Ramanujan chắc chắn phải có sẵn một số định lý rất tổng quát mà anh ấy đang giấu tôi.”

Nhưng Hardy đặc biệt ngạc nhiên trước sự tương ứng với các phân số liên tục vô hạn (một trong những sự tương ứng sau này thuộc loại này được hiển thị trong Cài đặt 3):

“…những thư từ này khiến tôi hoàn toàn bế tắc; tôi chưa bao giờ thấy thứ gì giống như vậy. Chỉ cần nhìn vào chúng là đủ để tin rằng chúng chỉ có thể được viết bởi một nhà toán học thuộc đẳng cấp cao nhất.”

Phép lạ từ Kumbakonam

Làm thế nào mà nhà toán học khiến Hardy ngạc nhiên đến vậy lại trở thành người như vậy? Srinivaza Ramanujan Iyengor sinh ngày 22 tháng 12 năm 1887 ở miền nam Ấn Độ tại làng Erode. Tuổi thơ của anh chủ yếu trải qua ở thị trấn nhỏ Kumbakonam (cách Madras 260 km), nơi cha anh làm kế toán trong một cửa hàng dệt nhỏ. Ramanujan thuộc về người Bà la môn, nhưng sự giàu có không còn thuộc về người thân của ông nữa. Cha mẹ anh, và đặc biệt là mẹ anh, có tính nhân rộng sâu sắc. Ramanujan được nuôi dưỡng trong truyền thống đẳng cấp. Tuổi thơ trải qua ở một thành phố nơi mọi viên đá đều gắn liền với một tôn giáo cổ xưa, được bao quanh bởi những người luôn cảm thấy rằng họ thuộc đẳng cấp cao hơn, đã đóng một vai trò lớn trong sự phát triển của Ramanujan.

Từ năm 5 tuổi, Ramanujan đã đi học; đến năm 10 tuổi, anh đã tốt nghiệp tiểu học. Anh bắt đầu thể hiện những khả năng phi thường và nhận được học bổng cung cấp nền giáo dục tại một trường trung học với chi phí chỉ bằng một nửa. Ở tuổi 14, một học sinh ở Madras đưa cho cậu một cuốn sách hướng dẫn hai tập về phép đo lượng giác của Loni. Chẳng bao lâu Ramanujan đã nghiên cứu lượng giác học, và cậu sinh viên có cơ hội được hưởng lợi từ lời khuyên của ông trong lời giải bài toán. Những câu chuyện và truyền thuyết đầu tiên có từ thời kỳ này. Người ta nói rằng chính ông đã khám phá ra “công thức Euler cho sin và cos” và rất khó chịu khi tìm thấy công thức này trong tập thứ hai của Loney.

Giáo viên giải thích: “Cô bé Bà-la-môn” tin rằng trong toán học, cũng như các ngành khoa học khác, người ta nên tìm kiếm “chân lý cao nhất” vốn có trong đó. Những người lớn tuổi đưa ra những tài liệu tham khảo mơ hồ về định lý Pythagore, và thậm chí cả những phép tính theo tỷ lệ phần trăm.

16

Hộp 3. Chính xác về số học với tổng vô hạn và phân số nguyên

$$1 + \frac{1}{1.3} + \frac{1}{1.3.5} + \frac{1}{1.3.5.7} + \frac{1}{1.3.5.7.9} + \dots + \frac{1}{1 + 1} = \sqrt{\frac{\pi e}{2}}.$$

Đây có lẽ là công thức đẹp nhất của Ramanujan, một tác phẩm nghệ thuật toán học đích thực. Cô bất ngờ kết nối một chuỗi vô hạn và một phần nguyên vô hạn. Điều đáng ngạc nhiên là cả chuỗi lẫn toàn bộ phân số đều không thể được biểu diễn dưới dạng các hằng số l và e đã biết, và tổng của chúng hóa ra lại bằng $\sqrt{\pi e}/2$ một cách không thể chấp nhận được!

“Tóm tắt kết quả sơ cấp của toán học thuần túy và ứng dụng”

Cuốn sách hướng dẫn gồm hai tập này của nhà toán học người Anh Carara, viết vào năm 1880-1886, đến Ramanujan vào năm 1903 - khi đó ông mới 16 tuổi. Cuốn sách này đóng một vai trò to lớn trong việc hình thành Ramanujan. Nó thu thập được 6165 định lý và công thức, hầu như không có bằng chứng, với những giải thích tối thiểu. Cuốn sách chủ yếu dành cho đại số, lượng giác, giải tích và hình học giải tích.

Cuốn sách của Carara đã kích thích bé suy luận độc lập các công thức. Những người biết Ramanujan trong những năm này đều nói về điều này. Khu vực quan tâm chính của nó dần dần thay đổi: các bình phương toán học, sau đó là bình phương của hình tròn (nó được tìm thấy với độ chính xác cho phép người ta tính chiều dài của đường xích đạo với sai số không quá 1-2 m, theo truyền thuyết) và cuối cùng, đến lượt các hàng vô tận. Đây đã là sự khởi đầu của một cuộc đời toán học thực sự!

Cuốn sách của Karar đủ thành công để định hình thế giới toán học của Ramanujan. Nhưng việc tập trung vào cuốn sách này còn có những hậu quả khác. Vì cuốn sách không có bằng chứng và cùng lắm chỉ có những thông điệp mang tính gợi ý nên Ramanujan đã phát triển một phương pháp độc đáo để thiết lập chân lý toán học. Hơn nữa, Ấn Độ thiếu các hướng dẫn phù hợp để thực hiện các bằng chứng nghiêm ngặt.

“Sự hiểu biết của anh ấy về bản chất của chứng minh toán học còn hơn cả mơ hồ; anh ấy TỰ CHỌN tất cả các kết quả của mình, cả sớm và muộn, cả đúng và sai, với sự trợ giúp của sự kết hợp giữa các bằng chứng trực quan, thông điệp quy nạp và lý luận logic … "

Giáo trình Toán học của Ramanujan thực sự đã được quyết định hoàn toàn trong suốt những năm này - hướng nghiên cứu khoa học, ông chưa bao giờ thay đổi cách suy nghĩ. Thông điệp có thể truyền tải ở đây là Ramanujan được hình thành trong những điều kiện khó khăn. Trong hoàn cảnh bình thường, chắc chắn anh ấy sẽ trở thành một nhà toán học được đào tạo chuyên môn tốt hơn, nhưng liệu chúng ta có thể chắc chắn rằng anh ấy cũng độc đáo như vậy không? Liệu Ramanujan có thể nhìn thấy được nhiều điều như vậy không nếu ngay từ khi còn nhỏ, ông đã được dạy các quy tắc ứng xử trong toán học và công bố kết quả của mình cùng với bằng chứng bên ngoài, liệu ông có xây dựng thế giới toán học của mình trên cơ sở mọi thứ mà nhân loại có thể tiếp cận được chứ không phải trên một số lượng tương đối nhỏ các sự kiện?

Từ con số đến công thức

Trong quá trình hình thành thế giới toán học của Ramanujan, điều quan trọng là kho dữ liệu toán học ban đầu (về cơ bản là thứ tự điều chỉnh với những con số cụ thể. Ông đã thu thập những dữ kiện đó từ thời thơ ấu. Người bạn cùng trường của ông kể lại rằng

17

Ngôi nhà ở Kumbakonam,
gần Madras,
trong đó
trải qua tuổi thơ của tôi
Ramanujan.

xây dựng trường học
ở Kumbakonam:
có nó ở đây
giáo dục trung học
và bắt đầu
độc lập
nghiên cứu
Ramanujan.

Một trong những tòa nhà
Cambridge
trường đại học -
Cao đẳng Trinity.
Ở đây từ năm 1914
đến năm 1919
đã làm việc
Srinivaza
Ramanujan.

Người duy nhất được biết
chân dung của Ramanujan.

Gordon Harold
Hardy
(1877—1947),
nổi tiếng
Tiếng Anh
nhà toán học,
giáo sư
Cambridge
trường đại học,
người bạn và đồng tác giả
Ramanujan.
Nhiếp ảnh
đầu những năm 1900
năm.

2 «Kvant» № 10

17