Đám rối của các đường giao nhau

12

PLEXUS
ĐI QUA
TRỰC TIẾP

O. Y. VIRO,
Y. V. DROVOTUKHINA

Tiêu đề của bài viết này có vẻ hơi xa lạ phải không? Dệt một cái gì đó linh hoạt. Và đây - thẳng! Tuy nhiên, tiêu đề không nói về quá trình dệt mà nói về kết quả. Nhưng liệu chúng có thể đan xen, móc nối với nhau, sắp xếp khéo léo trong mối quan hệ với nhau theo một đường thẳng cắt nhau? Thoạt nhìn, có vẻ như họ không thể. Tuy nhiên, chúng ta lấy ấn tượng này ở đâu? Trong cuộc sống hàng ngày, chúng ta không bao giờ giải quyết bất cứ điều gì, hãy nói thẳng: không có gì quan trọng đến mức không có vật thể mỏng vô hạn - chúng ta sẵn sàng bỏ qua độ dày - sự vắng mặt thiết yếu của những vật thể mở rộng vô hạn. Hơn nữa, tốt hơn ánh sáng - những ví dụ về độ thẳng này - tiêu tan và yếu ớt, trở nên không thể nhận thấy ở khoảng cách rất xa. Trong thực tế, bạn chỉ phải xử lý các đoạn thẳng. Bất kỳ tập hợp các phân đoạn nào không giao nhau đều có thể được sắp xếp ngẫu nhiên bằng cách chia các phân đoạn sao cho chúng luôn rời rạc. Kinh nghiệm thuyết phục chúng ta về điều này và không khó để chứng minh điều đó. Chúng tôi mô tả chúng dưới dạng các đường thẳng như các đoạn. Đó là lý do vì sao chúng ta nghĩ rằng các đường thẳng không thể đan xen vào nhau. Ờ, thực ra nó thế nào nhỉ?

Trước hết, hãy xây dựng chính xác hơn những câu hỏi mà chúng ta quan tâm. Câu hỏi đầu tiên là: một số đường thẳng không giao nhau có thể được định vị khác nhau không? “Được định vị khác biệt” nghĩa là gì? Bây giờ chúng ta không quan tâm đến góc hay khoảng cách giữa các đường thẳng. Chúng ta giả sử rằng khi di chuyển các đường thẳng, trong thời gian chúng không cắt nhau, vị trí tương đối của chúng không thay đổi. Nếu một tập hợp đường thẳng không thể thu được từ một tập hợp đường thẳng khác bằng chuyển động như vậy thì các điều kiện sẽ giả sử rằng các đường thẳng trong các tập hợp này nằm ở vị trí khác nhau.

Điều dễ dàng nhất đối với trí tưởng tượng không gian của chúng ta là các tập hợp các đường thẳng song song. Rõ ràng là bất kỳ hai tập hợp nào có cùng số dòng đều có cùng cấu trúc. Thật vậy, bằng cách xoay toàn bộ không gian với các đường thẳng của một tập hợp “đóng băng” vào đó, bạn có thể làm cho chúng song song với các đường thẳng của tập hợp khác, sau đó, bằng cách di chuyển lần lượt các đường thẳng của tập hợp thứ nhất sao cho chúng không trùng nhau và vẫn song song, bạn có thể dễ dàng kết hợp chúng với các đường thẳng của tập hợp thứ hai.

Bây giờ chúng ta chuyển sang tập hợp các dòng tùy ý. Có thể biến một tập hợp các đường rời rạc tùy ý thành một tập hợp các đường thẳng song song để “chải” nó lại không? bài toán này có một lời giải đơn giản và bất ngờ. Cố gắng trả lời mà không cần nhìn vào văn bản tiếp theo. Bạn đã nghĩ về nó chưa? Vâng, sau đó đọc tiếp. Đáp số - bạn luôn có thể. Hãy chứng minh điều đó.

Chúng ta hãy lấy một tập hợp các đường rời rạc tùy ý. Chúng ta hãy chọn hai mặt phẳng song song với nhau, không song song với bất kỳ đường thẳng nào trong tập hợp của chúng ta. Chúng ta hãy cố định các điểm giao nhau của mặt phẳng đầu tiên bằng các đường thẳng: chúng ta sẽ đặt bản lề ở đó. Chúng ta cũng sẽ cố định các giao điểm của mặt phẳng thứ hai bằng các đường thẳng, nhưng sao cho chúng không chỉ di chuyển được trên mặt phẳng mà còn có thể trượt dọc theo các đường thẳng. Nói cách khác, chúng ta sẽ hạn chế việc khoan ở phần thứ hai.

14

vuông góc với mặt phẳng đi qua đường phân giác và đường thẳng thứ nhất. Vì vậy, không phải ngẫu nhiên mà khi chứng minh tính đồng vị của hai cặp góc vuông cắt nhau bất kỳ, các góc đó bằng 90°. Đối với bất kỳ góc độ nào khác, cách xây dựng này không cung cấp bằng chứng. Hơn nữa, đó không phải là vấn đề về thiết kế. Hóa ra là hai cặp đường thẳng giao nhau có khoảng cách và góc giống hệt nhau, không được kết hợp bằng cách sử dụng cấu trúc của chúng ta, không thể được kết hợp bởi bất kỳ đồng vị nào, trong quá trình xây dựng khoảng cách và góc. Điều này là do hiện tượng thay thế mà chúng ta sẽ gặp phải nhiều lần. Đó là giá trị thảo luận chi tiết hơn.

Định hướng và bán định hướng

Đường định hướng là đường thẳng có hướng được đánh dấu trên đó. Hướng thường được hiển thị bằng một mũi tên. Số nguyên tố có thể được định hướng theo hai cách, hai đường thẳng - bốn, một tập hợp $n$ thẳng - $2^n$ cách. Nửa hướng của một tập hợp các đường thẳng là một cặp hướng ngược nhau của tập hợp này. Nói cách khác, bán định hướng của một tập hợp các đường là hướng của nó hướng tới sự đảo ngược đồng thời của tất cả các mũi tên (“lên tới đảo ngược”). TRÊN hình Hình 2 cho thấy hai hướng của một cặp đường thẳng, tạo thành một trong các nửa hướng của nó.

Mỗi cặp đường thẳng không vuông góc trước tiên có thể được cung cấp một nửa góc chính tắc (tức là một nửa góc được xác định bởi chính cặp đó hoặc chính xác hơn là bởi vị trí tương đối của các đường có trong nó).

Để làm điều này, bằng cách nào đó chúng ta định hướng một trong các đường của một cặp như vậy và xoay đường này sao cho nó song song với đường kia. Việc xoay này có thể được thực hiện theo hai cách (hình 3); Hãy chọn phương pháp tiết kiệm nhất - phương pháp có góc quay nhỏ nhất (đó là phương pháp duy nhất, vì các đường thẳng không trực giao). Kết quả là một đường thẳng có định hướng, nó song song với đường thẳng thứ hai trong cặp của chúng ta, do đó có được hướng (hình 4). Do đó, việc chọn hướng của một trong các đường sẽ cho hướng của cặp. Nếu chúng ta chọn hướng ngược lại của đường này, chúng ta sẽ có được hướng ngược lại của cặp. Bắt đầu với một đường thẳng khác, chúng ta có được hai hướng đối diện giống nhau của cặp. Hai hướng này tạo thành nửa diễn đạt kinh điển được truyền đạt.

Đồng vị, trong đó góc giữa các đường thẳng không thay đổi, biến đổi nửa linh cảm chính tắc thành nửa linh cảm chính tắc. Điều này gợi ý rằng chúng ta nên xem xét một loại đồng vị khác - đồng vị của các cặp bán định hướng: chúng ta cho phép thay đổi góc và khoảng cách giữa các đường thẳng, nhưng yêu cầu rằng bán định hướng không thay đổi trong quá trình đồng vị (bán định hướng có thể

15

không chuẩn). Đồng vị này chiếm vị trí trung gian giữa sự có mặt của một đồng vị tùy ý và sự có mặt của một đồng vị, trong đó khoảng cách và góc (≠90°) không thay đổi. Nếu không có đồng vị như vậy giữa các cặp đường thẳng thu được mà chúng ta quan tâm thì không thể có đồng vị trong đó khoảng cách và góc không thay đổi. Điều gì có thể biến đổi các đồng vị của các cặp thẳng thu được?

Hệ số tương tác đường dây

Mỗi cặp đường thẳng thu được có một đặc tính, có thể nhận các giá trị +1 và -1. Đặc tính này được gọi là hệ số truyền động. Nó bảo toàn dưới dạng đồng vị, và do đó nếu hai cặp đường thẳng thu được có hệ số ghép khác nhau thì chúng không đồng vị. Đây là cách xác định hệ số tương tác. Cách tiết kiệm nhất để kết hợp một đường thẳng này với một đường thẳng khác cắt nhau là di chuyển đường thẳng đó dọc theo một đường vuông góc chung và xoay nó một góc nhỏ nhất cần thiết để khớp với các hướng. Trong trường hợp này, đường thẳng sẽ di chuyển giống như tay cầm của mũi khoan bên phải hoặc giống như tay cầm của mũi khoan bên trái (hình 5); thì loại gimlet không phụ thuộc vào đường thẳng nào trong hai đường thẳng mà chúng ta đã di chuyển. Trong trường hợp đầu tiên, hệ số truyền là -1, trong trường hợp thứ hai - +1.

Rõ ràng là việc định hướng lại một trong các đường thẳng của cặp dẫn đến sự thay đổi hệ số truyền.

Khi hướng của cặp được thay thế bằng hướng đối diện, hệ số tương tác không thay đổi; do đó, nó là đặc tính của cặp thu được và chỉ phụ thuộc vào hướng thu được. Khi phản chiếu trong gương, hệ số ăn khớp của một cặp đường thẳng định hướng thay đổi (hình 6).

Bây giờ chúng ta hãy nhớ lại sự cố mà chúng ta gặp phải khi tìm kiếm đồng vị giữa hai cặp đường xiên bảo toàn khoảng cách và góc giữa các đường thẳng (hình 7). Khi đó, chúng ta không thể trả lời câu hỏi về tính đồng vị của các tập hợp được hiển thị trong hình 8. Nhưng bây giờ chúng ta biết rằng các cặp như vậy (với các ma trận kết quả chính tắc của chúng) thu được từ nhau bằng cách phản xạ trong gương và do đó có các hệ số ghép khác nhau. Điều này có nghĩa là các cặp như vậy không thể được kết nối bằng đồng vị, trong đó khoảng cách và góc giữa các cặp không thay đổi. Và nếu hai cặp có cùng khoảng cách, góc và hệ số tương tác thì các cặp này có thể được kết nối bằng một đồng vị như vậy.

Ba thẳng

Khi chúng tôi làm việc theo cặp, đường vuông góc chung của một cặp đường giao nhau đóng một vai trò tối. Về mặt cấu trúc, người ta có thể làm mà không cần nó, nhưng nó được kết nối một cách tự nhiên với các đường thẳng, kết nối chúng thành một thứ gì đó tổng thể và hữu hình một cách đáng tin cậy đến mức sẽ thật kỳ lạ nếu không sử dụng nó. Bây giờ sẽ thật tuyệt nếu tìm thấy một vật cũng vốn có trong bộ ba đường thẳng giao nhau. Chúng ta sẽ không làm điều này với bộ ba có đường thẳng nằm

16

trong ba mặt phẳng song song.
Thực tế là sự sắp xếp này không ổn định: xoay nhẹ bất kỳ đường thẳng nào, chúng ta có được ba đường được mô tả mà thiết kế của chúng ta được áp dụng.

Vì vậy, hãy xem xét một bộ ba đường xiên theo cặp tùy ý không chứa các mặt phẳng song song trong ba. Qua mỗi đường thẳng này ta vẽ hai mặt phẳng song song với hai đường thẳng còn lại. Điều này tạo ra sáu mặt phẳng. Rõ ràng là chúng chia thành ba cặp đường thẳng song song (mỗi cặp đường xiên nằm trong hai mặt phẳng song song). Giao nhau, các mặt phẳng tạo thành một hình bình hành. Các đường thẳng của chúng ta là sự tiếp nối của ba cạnh giao nhau theo cặp của nó (hình 9). Do đó, ba đường thẳng giao nhau theo cặp bất kỳ không nằm trong ba mặt phẳng song song đều là sự tiếp nối các cạnh của một hình bình hành nhất định. Đường song song này là đối tượng đã hứa ở trên, gắn liền với bộ ba đường thẳng. Nó được thay thế bằng gì? Trước hết, anh ấy là người duy nhất.

Trên thực tế, một mặt phẳng đi qua một đường thẳng, song song với một đường thẳng khác cắt ngang nó và nếu những đường thẳng này là phần tiếp theo của các cạnh của hình bình hành thì một trong các mặt của nó nằm trong mặt phẳng này. Do đó, sáu mặt phẳng mà chúng ta đã xây dựng được xác định duy nhất bởi ba đường thẳng ban đầu và bất kỳ hình bình hành nào có các cạnh nằm trên các đường thẳng này đều được giới hạn bởi các mặt phẳng này và do đó cũng được xác định duy nhất.

Chúng ta thấy rằng các đường thẳng song song chịu tải kết nối các đường thẳng không tệ hơn các đường thẳng vuông góc thông thường được kết nối trong một cung điện. Ở đây, như trong trường hợp đường vuông góc tổng quát và trong trường hợp cặp đường thẳng không vuông góc thu được, một cái gì đó bổ sung cho nó sẽ tự nhiên phát sinh từ cấu hình hình học ban đầu, nhưng được kết nối chính tắc với nó và do đó đáng được chú ý khi nghiên cứu đối tượng ban đầu.

Bí ẩn. Trên hình 10, phù hợp với những gì đã được chứng minh ở trên, có hai hình bình hành có các cạnh nằm trên ba đường thẳng cắt nhau theo từng cặp. Có chuyện gì vậy? Sự lừa dối được giấu ở đâu - trong bằng chứng hay trong hình?

Sẽ tham gia vào việc phân loại các bộ ba thành đồng vị. Như đã chỉ ra, cho dù chúng ta chọn ba đường thẳng giao nhau theo cặp nào, bằng cách di chuyển nó một chút, chúng ta có thể đảm bảo rằng các đường thẳng của nó hóa ra là phần tiếp theo của các cạnh của một hình bình hành nhất định. Một hình bình hành được xác định (tùy theo chuyển động) bởi độ dài các cạnh của nó và các góc giữa chúng. Bằng cách biến dạng liên tục, trước tiên chúng ta có thể tạo tất cả các góc vuông (chúng ta có một hình bình hành hình chữ nhật), sau đó làm cho tất cả các cạnh có cùng độ dài, ví dụ: chiều dài đơn vị (chúng ta có một khối lập phương; hình 11). Sự biến dạng này đi kèm với các đồng vị của bộ ba đường thẳng, là sự tiếp nối của các cạnh của hình bình hành. Vì vậy, chúng ta đã có được các đường của bộ ba trên các cạnh giao nhau theo cặp của khối lập phương đơn vị. Đây là một thành tích đáng chú ý. Thật vậy, bây giờ chúng ta biết rằng không có quá nhiều bộ ba đường thẳng cắt nhau không đồng vị - không quá ba cặp đường thẳng cắt nhau của một hình lập phương. Có bao nhiêu? TRÊN

17

Thoạt nhìn, có tám người trong số họ. Thật vậy, chúng ta sửa chữa một số mặt của khối lập phương; như chúng ta đã thấy, nó chứa chính xác một cạnh từ mỗi bộ ba cạnh giao nhau theo cặp và nó có thể là bất kỳ cạnh nào trong bốn cạnh của mặt này và có chính xác hai bộ ba chứa một cạnh cố định (hình 12). Tuy nhiên, tám là quá nhiều. Bằng cách xoay khối lập phương, chúng ta có thể biến đổi bất kỳ cạnh nào của nó thành bất kỳ cạnh nào khác. Cho nên khả năng là không nhiều hơn hai; chúng được thể hiện ở hình 12. Thành công này mang lại hy vọng rằng, bằng cách hành động theo cách này, chúng ta cũng có thể loại bỏ tính đồng đẳng của bộ ba đường thẳng được hiển thị trong hình này, và do đó, nói chung, của tất cả các bộ ba của các cặp đường chéo. Hãy thử nó!

Không hoạt động? Đừng buồn bã, và nó sẽ không thành công. Giống như các cặp đường định hướng, bộ ba đường thẳng (không định hướng!) Có một đặc tính gọi là hệ số ghép, có thể lấy các giá trị ±1 và được bảo toàn trong điều kiện đẳng quang và thay đổi khi bộ ba đường thẳng được phản chiếu trong gương. Đây là định nghĩa của nó. Trong một tập hợp tùy ý gồm ba đường giao nhau theo cặp, chúng ta định hướng tất cả các đường một cách ngẫu nhiên. Các cặp dòng chứa hệ số liên kết sử dụng ba lần của chúng tôi (bằng ±1). Nhân chúng, chúng ta nhận được một số nhất định (cùng +1 hoặc -1), được gọi là hệ số liên kết của bộ ba dòng ban đầu. Nó không phụ thuộc vào hướng của các đường: bất kỳ đường nào được định hướng lại, chúng tôi đặt một dấu hiệu trên hai trong ba thành phần, điều này sẽ không làm thay đổi sản phẩm. Việc bảo toàn hệ số liên kết của bộ ba đường trong điều kiện cận thị và sự thay đổi của nó khi bộ ba được phản chiếu trong gương tuân theo các tính chất tương ứng của hệ số liên kết của một cặp đường định hướng. Vì bộ ba đường thẳng trên hình 12 là ảnh phản chiếu của nhau nên hệ số liên kết của chúng khác nhau và những bộ ba này thực sự không đẳng quang.

Vì mỗi bộ ba đường xiên theo cặp đều đẳng hướng với một trong hai bộ ba được hiển thị trong hình 12, nên hai bộ ba là đẳng hướng khi và chỉ khi chúng có cùng hệ số liên kết.

Vì vậy, bộ ba đường giao nhau theo cặp có thể được sắp xếp khác nhau. Điều này biện minh cho tiêu đề của bài viết, cũng như thực tế là trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ chỉ đơn giản gọi các tập hợp các đường thẳng giao nhau theo cặp là dệt.

Bài tập

1. Tìm các hệ số liên kết của mỗi bộ ba dòng trên hình 12.
2. Các đường thẳng chứa các cạnh của tứ giác không gian ABCD hướng “trong một đường tròn” (từ A đến B, từ B đến C, từ C đến D, từ D đến A). So sánh hệ số liên kết của các cặp đường thẳng nằm trên các cạnh đối diện.
3. Chứng minh rằng mọi bộ ba đều có cặp

Hình 12.