Bài toán M1091—M1095; F1103—F1107

21

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó là không chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình học ở trường. Các dấu hoa thị bài toán khó nhất sẽ bị loại bỏ. Sau từ ngữ bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề xuất điều đó cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên.

Lời giải bài toán từ số này phải được gửi chậm nhất là ngày 1 tháng 6 năm 1988 đến địa chỉ: 103006 Moscow K-6, st. Gorky, 32/1, «Kvant».
Lời giải bài toán từ các số khác nhau của tạp chí hoặc trong các chủ đề khác nhau (toán học và vật lý) được phân bổ trong các phong bì khác nhau. Trên phong bì, ở cột “Tới”, viết: “Nhiệm vụ «Kvant» Số 3—88” và các số bài toán, lời giải mà bạn đang gửi, ví dụ “M1091” hoặc “F1103”.
Ở cột “…địa chỉ người gửi”, vui lòng ghi riêng họ và tên của bạn. Bao gồm một phong bì có ghi địa chỉ của bạn trên đó (bạn sẽ nhận được kết quả xác minh lời giải trong phong bì này).

Tình trạng của mỗi bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản được chỉ định trong một phong bì riêng biệt, thành hai bản sao cùng với giải pháp của bạn cho bài toán này (trên vị trí phong bì: “Vấn đề «Kvant», bài toán mới trong vật lý” hoặc “… mới bài toán trong toán học”). Ở đầu mỗi chữ cái hãy cho biết mã số trường và lớp bạn đang theo học.

Bài toán

M1091—M1095, F1103—F1107

M1091. Gọi một số tự nhiên là số may mắn nếu các chữ số trong ký hiệu thập phân của nó có thể chia thành hai nhóm sao cho tổng các chữ số trong các nhóm này bằng nhau a) Tìm số a nhỏ nhất sao cho các số a và a+1 là số may mắn.
6) Có tồn tại các số a, a+1 và a+2 là may mắn không?

N. I. Zilberer

M1092. Một hình đa giác cắt từ giấy lồi được gấp 10 lần (uốn cong theo một số đường thẳng) rồi cắt thành một đường thẳng. Số mảnh lớn nhất anh ta có thể nhận được là bao nhiêu?

S. V. Kazakov

M1093. Trên đường tròn các số 0, 1, 2 được đặt tại n điểm. Sau đó, đồng thời tại tất cả các điểm, thực hiện phép biến đổi sau: mỗi số 2 được thay thế bằng 0, sau đó thêm 1 vào số theo sau nó theo chiều kim đồng hồ. Đầu tiên, cho số hai bằng k ≥ 1.
a) Sau khi thực hiện bao nhiêu phép biến đổi, không còn lại một phép biến đổi nào?
b) Ngoài ra, tại n−k điểm còn lại có những điểm ban đầu. Chứng minh rằng cuối cùng có k số nguyên và n−k số 0 (hình 1).
H. Alexandru (Romania)

M1094. Cho a, b, c là các số không âm.
a) Chứng minh từ bất đẳng thức
$$a^4 + b^4 + c^4 \leq 2(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2)$$
(1)
bất bình đẳng sau
$$a^2 + b^2 + c^2 \leq 2(ab + bc + ca).$$
(2)
6) Điều ngược lại có đúng không: bất đẳng thức (2) hàm ý bất đẳng thức (1)?

B. A. Senderov

M1095*. Trên mặt phẳng, cho đường tròn tâm O và hai điểm A, B (khác O) sao cho đường thẳng AB đi qua điểm O. Vẽ dây MN của đường tròn này, nhìn từ điểm A một góc α cho trước và
a) song song với đường thẳng AB;
b) đi qua điểm B. (Nếu B nằm ngoài đường tròn thì đoạn dài của dây MN phải đi qua B.)

P. O. Burdin

Hình 1. Điểm chứa số 2 là đỏ, 1 là xanh, 0 là trắng; ở đây k=4, n−k=3.

22

F1103. Một tấm toán học có chiều dài $l$ được tích lũy tại điểm $A$ trên một hình nón có góc khoảng cách là 2β (hình 2). Tấm matnik sẽ đi được bao xa trước khi nó tách ra khỏi bề mặt hình nón nếu tấm matnik bị dịch chuyển nhẹ khỏi vị trí cân bằng của nó? Góc nghiêng của hình nón so với mặt đất là $\alpha$ thì bề mặt của hình nón được coi là nhẵn.

L. G. Markovich

F1104. Hai đầu của hai thanh đồng nhất được buộc vào nhau bằng những sợi chỉ không trọng lượng và không thể giãn được. Một trong những thanh được buộc ở giữa vào shitatvu. Chứng minh rằng tứ giác tạo thành từ các sợi và thanh như vậy là hình thang.

V. T. Karpetyan

F1105. Một đĩa kim loại có bán kính $r=10$ cm quay trong mặt phẳng nằm ngang với tốc độ $v=60$ vòng/phút. Một khối phẳng có khối lượng nhỏ hơn nhiều so với cái đĩa, rơi từ độ cao $H=10$ cm xuống nó. Cạnh dưới của khối luôn song song với mặt phẳng của đĩa, hệ số ma sát giữa kim loại và nhựa là $\mu=0,1$. Khối này phải rơi cách trục một khoảng bằng bao nhiêu để khi rơi lần nữa nó sẽ rơi ra ngoài đĩa? Giả sử rằng sau khi bật lại khối sẽ tăng lên độ cao trước đó; bỏ qua kích thước của khối.

L. A. Zakrevsky

F1106. Một vài lời về chất siêu dẫn. Chất siêu dẫn có đặc tính đẩy ra một từ trường (còn gọi là hiệu ứng Meissner), nhờ đó chúng có thể nổi phía trên nam châm. Tính năng này của chất siêu dẫn được cho là sẽ được sử dụng để tạo ra tàu bay từ trường tốc độ cực cao, nguyên mẫu của chúng đã được thử nghiệm. Và bây giờ là bài toán chính cô ấy. Một tải có cùng khối lượng được đặt lên một mẫu siêu dẫn có khối lượng $m$ nổi phía trên một nam châm vĩnh cửu. Phải tăng cảm ứng từ của từ trường do nam châm tạo ra bao nhiêu lần để chất siêu dẫn mang tải có thể nổi ở cùng một khoảng cách so với nam châm?

A. I. Buzdin

F1107. Tuyết mịn mới rơi lấp lánh dưới ánh mặt trời. Ước tính khoảng cách đặc trưng giữa các “tia lửa” riêng lẻ.

E. N. Yunosov, I. V. Yaminsky

Problems

M1091—M1095, P1103—P1107

M1091. A natural number is called successful, if its digits can be split up into two groups with equal sums.
a) Find the least $a$ such that both $a$ and $a+1$ are successful.
b) Is there an $a$ such that $a, a+1, a+2$ are all successful?

N. I. Zilberberg

M1092. A convex paper polygon is folded 10 times (along straight lines) and then cut along a straight line. Find the maximum number of pieces.

S. V. Kazakow