Đại học bang Novosibirsk được đặt theo tên. Lênin Komsomol

54

Đại học bang Novosibirsk được đặt theo tên. Lênin Komsomol

Toán học
Bài thi viết
Tùy chọn 1
(Khoa Cơ, Toán và Kinh tế)

1. Giải phương trình
   $$\frac{3 - 5 \sin \left(x + \frac{\pi}{3}\right) - 6 \cos 2x}{5} = x - \frac{\pi}{3}.$$

2. Giải bất đẳng thức
   $$\frac{1}{\log_2 \frac{4}{x}} > \frac{1}{\log_2 \frac{x}{2}} - 1.$$

3. Từ điểm $A$ đến đường tròn bán kính $R$ vẽ một tiếp tuyến $AM$ ($M$ là điểm tiếp tuyến). Một cát tuyến đi qua điểm $A$ cắt đường tròn tại các điểm $K$ và $L$, đồng thời $L$ là trung điểm của đoạn $AK$, góc $AMK$ bằng $60^\circ$. Tìm diện tích tam giác $AMK$.

4. Tại giá trị nào của tham số $a$ thì hệ bất phương trình có thể giải được
   $$x^2 + (a+4)x + 4a \leq y,$$
   $$3x + y - (2a+4) \leq 0$$
   chứa đoạn $[-2; -1]$ của trục $Ox$?

5. Điểm $M$ là giữa cạnh $AD$ của một khối lập phương $ABCDA'B'C'D'$. Một mặt phẳng được vẽ qua giữa đoạn $B'M$ được phân phối lại cho nó. Tìm khoảng cách từ tâm khối lập phương đến mặt phẳng này.
   Tùy chọn 2
   (Khoa Vật lý)

6. Tìm tất cả các phương trình lời giải $\sin x + \cos 3x = 0$ thỏa mãn bất đẳng thức
   $$\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2} > 0.$$

7. Giải bất đẳng thức
   $$\frac{1}{\log_2 \left(x^2 - x + 1\right)} + 1 \geq \frac{\log_2 \left(x + 3\right)}{\log_2 \left(x^2 - x + 1\right)}.$$

8. Hai đường tròn có bán kính 3 và 4, khoảng cách giữa tâm là 5, cắt nhau tại các điểm $A$ và $B$. Qua điểm $B$ vẽ một đường thẳng cắt các đường tròn tại các điểm $C$ và $D$ sao cho $CD = 8$ và $B$ nằm giữa $C$ và $D$. Tìm diện tích tam giác $ACD$.

9. Prinayaka chạm vào các parabol $y = -x^2 + 2x + 2$ tại điểm $A$ và cắt trục $Ox$ tại $B$ và trục $Oy$ tại $C$. Được biết, điểm $A$ nằm ở 1/4 mặt phẳng tọa độ và $2AB = AC$. Tìm phương trình tiếp tuyến.

10. Trong paramid tam giác $SABC$, các cạnh $AB, BC$ và $BS$ có ​​độ dài bằng 2 và vuông góc với nhau. Một mặt phẳng được vẽ qua trung điểm của các cạnh $AC$ và $SB$, giao nhau với cạnh $AB$ và tạo thành các góc bằng nhau với các mặt phẳng của các mặt $ABS$ và $ABC$. Tìm giá trị của các góc này.

Tùy chọn 3
(Khoa Khoa học Tự nhiên và Khoa Địa chất-Địa vật lý)

1. Giải phương trình
   $$(13x^2 + 2x - 14) \cdot \arccos x = 0.$$
2. Giải phương trình
   $$2^2 \sin 2x - 2 \cos 2x + 3 - \left(\frac{1}{6}\right) \cos 2x - \sin 2x - \log_6 14 + 3^2 \sin 2x - 2 \cos 2x + 1 = 0.$$
3. Ở giá trị nào của chiều cao của một đường thẳng thì hình thang có góc nhọn $30^\circ$ và chu vi 6 có mặt phẳng lớn nhất?
4. Có ba miếng hợp kim đồng với nhôm thấp hơn theo tỷ lệ 2:1, 3:1 và 5:1 theo trọng lượng. Trong số này, một mảnh nặng 12 kg được nung chảy với tỷ lệ đồng là 4:1. Tìm khối lượng của mỗi mảnh ban đầu nếu khối lượng của mảnh thứ nhất gấp đôi khối lượng của mảnh thứ hai.
5. Paramida $ABCD$ được ban cho. Cạnh $DC$ được phân bố lại trên mặt phẳng của đáy $ABC, AB = 3\sqrt{3}, BC = 3$, góc $ACB$ bằng $\pi/3, DC = \sqrt{13}$. Vẽ một hình cầu có bán kính 5 có tâm tại đỉnh $D$. Tìm độ dài giao tuyến của hình cầu với đáy $ABC$.

Vật lý
Bài thi viết
Khoa Vật lý
Mỗi biến thể là một trạng thái gồm năm bài toán ba loại.
Ba bài toán đầu tiên được tính toán, có độ khó khác nhau: từ tiêu chuẩn đến tương đối phức tạp, đòi hỏi sự khéo léo, kiến ​​thức sâu sắc và khả năng hiểu một tình huống vật lý bất thường hoặc thông thường.
bài toán thứ tư là điểm bài toán. Đối với lời giải của nó, cần phải có được hiện tượng vật lý đang được xem xét, xây dựng một mô hình vật lý đơn giản (vì chỉ cần ước tính) của hiện tượng này, chọn các giá trị số hợp lý của các đại lượng vật lý và cuối cùng, thu được kết quả bằng số ít nhiều tương ứng với thực tế. Văn bản bài toán hỗ trợ rằng người nộp đơn có thể chọn số lượng cần thiết cho lời giải bài toán và các giá trị số của chúng.
bài toán thứ năm là phần trình diễn bài toán trong đó hiện tượng vật lý được thể hiện trong lớp học phải được giải thích. Ở đây điều quan trọng là phải hiểu các hiện tượng và môi trường thiết yếu của các yếu tố khác nhau để làm nổi bật yếu tố chính.
Vào lúc lời giải bài toán năm giờ đã được đưa ra, bắt đầu từ khi kết thúc cuộc biểu tình.
Sau nội dung của mỗi bài toán phần trăm những người giải được nó được ghi trong ngoặc đơn.

55

Tùy chọn 1

1. Ở giữa ống dài 2L, tiết diện $S$, hai đầu bịt kín có một pít-tông. Ở bên trái và bên phải của piston có các loại khí khác nhau có cùng áp suất $p$. Piston sẽ chuyển động bao nhiêu nếu nó thấm được một trong các chất khí? Lực ma sát của piston lên đường ống là $F$. Nhiệt độ của khí coi như không đổi. (51%)

2. Một ống hẹp có tiết diện không đổi tạo thành hình vuông ở cạnh $l$, cố định trong mặt phẳng thẳng đứng (hình 1). Ống chứa đầy thể tích bằng nhau của hai chất lỏng có mật độ $\rho_1$ và $\rho_2$ không thấm vào nhau. Ban đầu, một chất lỏng đậm đặc hơn lấp đầy phần trên của ống. Tại một thời điểm nào đó chất lỏng bắt đầu chuyển động. Tìm tốc độ tối đa của họ. Không có ma sát. Gia tốc áp suất tự do $g$. (55%).

3. Một vòng dây có bán kính $R$ có một dây nhảy dẫn điện nằm dọc theo đường kính. Bên trái và bên phải nhận được bao gồm các tụ điện $C_1$ và $C_2$. Chiếc nhẫn được đặt trong một từ trường có cảm ứng $B(t) = B_0 t / T$ tăng tuyến tính theo thời gian, vuông góc với mặt phẳng của nó. Tại một thời điểm nào đó, jumper bị loại bỏ và sau đó trường sẽ ngừng thay đổi. Tìm điện tích đặt trên tụ điện. (29%)

4. Hãy ước tính tốc độ mà một phi hành gia trong bộ đồ vũ trụ nhẹ nhàng, thoải mái có thể đi trên Mặt trăng. (37%)

5. Hai chai giống hệt nhau chứa đầy nước. Một ống được lắp vào một trong số chúng, các ống đếm được đóng lại bằng ngón tay. Các chồi được tiêu hóa đồng thời và đồng thời các ống phản ứng mở ra. Nước chảy ra nhanh hơn đáng kể từ chai có ống. Giải thích hiện tượng đó. (91%)

Tùy chọn 2

1. Một vòng đệm có khối lượng $m$ (hình 2) nằm trên một mặt phẳng tạo thành một góc $\alpha$ với đường chân trời. Lực tối thiểu phải tác dụng lên quả bóng theo phương nằm ngang dọc theo mặt phẳng để nó chuyển động là bao nhiêu? Hệ số ma sát là $\mu$. (49%)

2. Hai tụ điện dạng tấm song song có điện dung $C$ của mỗi đầu nối song song và được tích điện đến điện áp $U$. Các bản của một trong các tụ điện có thể di chuyển tự do về phía nhau. Tìm tốc độ của chúng tại thời điểm khi khoảng cách giữa các tụ điện song song giảm đi một nửa. Khối lượng của mỗi phần song song là $M$. Lực lượng không được tính đến. (55%)

3. Trong một ống hình trụ có khoảng cách $L$ và $2L$ tính từ đầu kín về phía bên phải của nó có hai pít-tông có thể vượt quá

rung chuyển không ma sát. Ngăn bên trái chứa hơi nước có áp suất $p_0$, ngăn bên phải chứa không khí có cùng áp suất. Áp suất hơi bão hòa của nước là $2p_0$. Piston bên phải được vặn từ từ vào khoảng $a$. Piston bên trái sẽ di chuyển bao xa? Nhiệt độ của hơi nước và không khí được coi là không đổi. (39%)

4. Người tiều phu dùng rìu đập khúc gỗ. Chiếc rìu bị kẹt, đi được nửa khối (hình 3). Ước tính lực mà lưỡi rìu được lấy ra. (36%)

5. Chùm tia laser rơi vào một tấm phẳng song song trong suốt, một bề mặt của tấm này được sơn sao cho có khả năng tán xạ ánh sáng theo mọi hướng. Hình ảnh sau đây hiển thị trên tấm: một chấm sáng ở giữa, một vòng tròn tối có đường viền rõ ràng và một quầng sáng phía sau vòng tròn. Giải thích hiện tượng đó. (27%)

Tùy chọn 3

1. Sơ đồ chuyển động tuần hoàn của một mol khí ở tọa độ $p$, $T$ tạo thành góc vuông ABCD (hình 4), các cạnh BC và AD tương ứng với áp suất $p_2$ và $p_1$, còn AB và CD - nhiệt độ $T_1$ và $T_2$. Tìm thể tích khí lớn nhất và nhỏ nhất. Hằng số khí là $R$. (83%)

2. Hai quả cầu dẫn điện có bán kính $r$ và $R$ đặt cách xa nhau và nối với các bản tụ điện $C$. Quả bóng có bán kính $r$ họ báo cáo điện tích Q. Quả bóng kia có điện tích gì? Giữ nguyên công suất dây. (33%)

3. Sử dụng vít nối dây mỏng, đứng thẳng đứng, trượt hạt từ trong ra ngoài vào hệ thống dây điện. Bán kính của bán kính bằng $R$, góc nghiêng của dây dẫn với đường chân trời bằng $a$. Tìm tốc độ ổn định của hạt nếu hệ số ma sát giữa hạt và dây là $\mu$. Gia tốc áp suất tự do $g$. (36%)

4. Một người đàn ông vô tình dùng răng cào dẫm lên những con vật đang nằm. Hãy ước tính tốc độ mà chiếc cào sẽ đập vào trán anh ta. (39%)

5. Một ống mỏng được đưa vào một bình kim loại chứa chất lỏng màu để có thể nhìn thấy cột ở phần nhô ra của ống. Nếu bạn đặt bình lên một tấm ngói đã được nung nóng, trước tiên cột chất lỏng trong ống sẽ rơi xuống rồi dâng lên. Giải thích hiện tượng đó. (59%)

Ấn phẩm được biên soạn bởi M. L. Vishnevsky, V. M. Kopytov, G. V. Meledin