Viện Kỹ thuật Vô tuyến, Điện tử và Tự động hóa Moscow

58

Lực cản của tấm ván không đổi. Đáp số nộp SI.

4. Một vật có khối lượng $m = 12$ kg được làm từ một chất có mật độ $\rho = 1000$ kg/m³. Tìm khối lượng của cơ thể. Đáp số đầu hàng SI.

5. Trong một hình trụ có dung tích $V = 10^{-2}$ m³ thì ở nhiệt độ $t = 27$ °C. Do rò rỉ nên áp suất giảm $\Delta p = 10^3$ Pa. Số phân tử balone thoát ra là bao nhiêu nếu nhiệt độ không thay đổi? Hằng số Bohlmann $k = 1,38 \cdot 10^{-23}$ J/K. Cho Đáp số bằng cách nhân kết quả với $10^{-20}$.

6. Một miếng chì chạm vào bề mặt với tốc độ $v = 350$ m/s. Phần nào của chì sẽ tan chảy nếu toàn bộ nhiệt lượng tỏa ra khi va chạm được chì hấp thụ? Nhiệt độ của chì trước khi va chạm là $t = 27$ °C, nhiệt độ nóng chảy của chì là $t_{\pi\pi} = 327$ °C, nhiệt độ riêng của chì là $c = 126$ J/(kg K), nhiệt độ riêng là $\lambda = 26,4 \cdot 10^3$ J/kg.

7. Lực tác dụng lên một điện tích $q = 1$ C đặt trong một trường tĩnh điện bằng $F = 1$ N. Tìm cường độ trường. Đáp số đầu hàng SI.

8. Tìm điện trở của một thanh điện áp thấp có đường kính $d = 1$ cm và khối lượng $m = 779$ g. Mật độ của một thanh điện áp thấp là $D = 7,9$ g/cm³, điện trở suất là $\rho = 10^{-6}$ Ohm m. Đáp số đầu hàng SI.

9. Một chùm electron, hướng song song với các bản của một tụ điện phẳng, trên đường đi $l = 4$ cm lệch một khoảng $x = 2$ mm so với hướng ban đầu thứ nhất. Các electron có tốc độ bao nhiêu? Cường độ điện trường trong tụ điện là $E = 22500$ V/m. Tỷ số điện tích của một electron trên khối lượng của nó là $e/m = 1,76 \cdot 10^{11}$ C/kg. Đáp số tính theo km/s.

10. Xác định năng lượng của đèn pin RENSau đó, bức xạ có bước sóng $\lambda = 0,5 \cdot 10^{-3}$ nm (1 nm = $10^{-9}$ m). Cho Đáp số trong SI bằng cách chia kết quả cho $10^{-13}$. Hằng số Planck $h = 6,6 \cdot 10^{-34}$ J s.

Tùy chọn 2

1. Một vật ném thẳng đứng rơi xuống đất sau $t = 4$ s. Vận tốc ban đầu của vật được ném là bao nhiêu? Gia tốc trọng lực $g = 9,8$ m/s². Đáp số đầu hàng SI.

2. Xuyên qua khối, khối lượng của nó có thể chạy được, có một sợi dây, trên đó treo hai griri có khối lượng $m_1 = 2$ kg và $m_2 = 6$ kg. Tìm lực căng của sợi chỉ. Gia tốc trọng lực $g = 9,8$ m/s². Đáp số đầu hàng SI.

3. Động năng của một vật có khối lượng $m = 4$ kg thay đổi như thế nào nếu tốc độ của nó tăng từ $v_1 = 2$ m/s lên $v_2 = 3$ m/s? Đáp số đầu hàng SI.

4. Một người thực hiện công gì khi nâng một vật có khối lượng $m = 2$ kg lên độ cao $h = 2$ m với gia tốc $a = 3$ m/s²? Gia tốc rơi tự do được coi là bằng $g = 10$ m/s². Đáp số đầu hàng SI.

5. Khi một khí lý tưởng được nung nóng đến $\Delta T = 1$ K ở áp suất không đổi, thể tích của nó tăng $a = 1/100$ thể tích ban đầu. Tìm nhiệt độ ban đầu của khí. Đáp số đầu hàng SI.

6. Để nấu chảy $m = 15$ kg thép, cần phải tiêu tốn một lượng nhiệt $Q = 24 \cdot 10^6$ J. Xác định hiệu suất của lò nếu nhiệt độ nóng chảy ban đầu là $t = 20$ °C và nhiệt độ nóng chảy là $t_{\pi\pi} = 1300$ °C. Nhiệt dung riêng của thép là $c = 460$ J/(kg K), nhiệt dung riêng nóng chảy là $\lambda = 2,7 \cdot 10^5$ J/kg. Đáp số đưa ra dưới dạng phần trăm.

7. Khoảng cách giữa các bản của một tụ điện phẳng là $d = 4$ cm, hiệu điện thế giữa chúng là $U = 12$ V. Dưới tác dụng của điện trường, electron sẽ nhận được tốc độ bao nhiêu sau khi đi được quãng đường $l = 6$ mm dọc theo đường sức? Điện tích $e = 1,6 \cdot 10^{-19}$ C, khối lượng $m = 9,1 \cdot 10^{-31}$ kg. Cho Đáp số trong SI, chia kết quả cho $10^5$.

8. Hai chiếc đèn tâm linh và một điện trở bổ sung mắc nối tiếp và nối vào mạng có điện áp $U_0 = 110$ V. Tìm giá trị của điện trở bổ sung nếu điện áp trên mỗi đèn là $U = 40$ V và dòng điện trong mạch là $I = 15$ A. Cho Đáp số trong SI.

9. Xác định lực tác dụng lên một dây dẫn có chiều dài $l = 10$ cm với dòng điện $I = 10$ A trong một từ trường đều có cảm ứng $B = 0,12$ T, nếu góc giữa dây dẫn và cảm ứng từ là $90$°. Đáp số đầu hàng SI.

10. Một người nhìn thấy hình ảnh của mình trong một hạt phẳng. Các hạt phải được di chuyển bao xa để hình ảnh di chuyển $l = 1$ m? Đáp số đầu hàng SI.

Ấn phẩm được chuẩn bị bởi M. Yu. Dizilov, O. N. Dyachenko, E. A. Shevdov

Viện Kỹ thuật Vô tuyến, Điện tử và Tự động hóa Moscow

Toán học

Bài thi viết

Tùy chọn 1

1. Giải phương trình $\frac{3x-1}{x-4} + \frac{x-2}{2x-13} = 1$.

2. Giải bất đẳng thức $(x-3)\sqrt{x^2-x-2} \ge 0$.

3. Giải phương trình $\sin 3x \sin (\pi+3x) = \cos 2x \cos (\pi-2x)$.

4. Giải bất đẳng thức $\log_{3x-5}4 - \log_{6x-2}16 \ge 0$.

5. Cho tam giác ABC vẽ các đường cao AD và CE. Tìm tỉ số diện tích của các tam giác ABC và AED nếu AB=6, AC=5, CB=7.

6. Với mỗi giá trị tham số $a$, tìm tất cả các giá trị của $x$ thỏa mãn bất đẳng thức $\sqrt{4x+a} +1 \ge 2x$.

Tùy chọn 2

1. Giải phương trình $(x-\sqrt{7})(x+\sqrt{7})-2(x-2)^2 = 0$.

59

2. Giải bất đẳng thức
   $$x^2 - 4\left(\sqrt{-x} - \frac{1}{4}\right)^2 > 0.$$

3. Giải phương trình
   $$\cos 9x - \cos 7x - \cos(\pi + 3x) - \sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = 0.$$

4. Giải bất đẳng thức
   $$\log_5(x^2 - 9x + 20) \cdot \log_5(x) \geq \frac{\log_5{10} - 1}{\log_2{5}(5 - x)}$$.

5. Cho tam giác ABC có bissertis BD và AE. Tìm tỉ số diện tích của các tam giác ABC và BDE nếu AB=5, BC=8, AC=7.

6. Với mỗi giá trị của tham số a, tìm tất cả các giá trị của x thỏa mãn phương trình
   $$|x+1| + 2a|1-2x| = 3/2.$$

Vật lý
Bài toán thi vấn đáp

1. Sau khi lực giữ quả cầu ở độ sâu H=1m dừng lại, quả bóng nổi lên khỏi mặt nước và bay lên độ cao h=0,5m so với mặt nước. Xác định lực cản trung bình của nước đối với chuyển động của quả bóng. Sức cản của không khí không được tính đến. Khối lượng của quả bóng m=100 g, mật độ của phích cắm q=200 kg/m³, mật độ của nước q_B=1000 kg/m³.

2. Hai vệ tinh chuyển động cùng chiều theo quỹ đạo tròn nằm trong cùng một mặt phẳng, với tốc độ v₁=7,8 km/s và v₂=7,6 km/s. Xác định khoảng cách tối thiểu giữa các vệ tinh và khoảng thời gian sau đó chúng sẽ lại ở cùng khoảng cách. Bán kính Trái Đất được lấy bằng R=6400 km.

3. Tấm thảm toán học đang dao động. Ở vị trí lệch nhất, gia tốc của trọng lượng tấm thảm gấp 20 lần so với lúc đi qua vị trí cân bằng. Tìm góc lệch lớn nhất của tấm thảm.

4. Một ống hình trụ hẹp có chiều dài l = 1,25 m, hở hai bên, được nhúng nửa chừng xuống sông. Sau đó, phần mở trên cùng của ống được đóng lại và đưa ra khỏi quy trình. Trong trường hợp này, lượng thủy ngân còn lại trong ống có chiều dài h = 27 cm là bao nhiêu. Áp suất khí quyển là gì? Mật độ của thủy ngân là q=13.600 kg/m³.

5. Hai quả cầu được tải trọng, khối lượng m₁=0,2 g và m₂=0,8 g và điện tích q₁=3·10⁻⁷ C và q₂=2·10⁻⁷ C, được nối với nhau bằng một sợi dây nhẹ không dẫn điện có chiều dài l=20 cm và chuyển động dọc theo đường sức của một điện trường đều có cường độ E=10⁴ N/Kl. Vectơ cường độ điện trường hướng thẳng đứng xuống dưới. Xác định gia tốc của quả cầu và lực căng của sợi dây.

6. Một tấm thảm toán học là một quả bóng có khối lượng m=1 g và điện tích q=10⁻⁸ C, được treo trên một sợi dây nhẹ không dẫn điện. Xác định chu kỳ dao động của tấm thảm này sẽ thay đổi bao nhiêu lần nếu đặt nó trong một điện trường đều có cường độ E=5·10⁵ N/Kl, hướng a) thẳng đứng xuống dưới; b) theo chiều ngang.

7. Xác định điện tích của tụ điện trong mạch điện như hình hình 1, trong đó R₁=20 ohm, R₂=30 ohm, R₃=10 ohm, R₄=40 ohm, E=10 V, r=0, C=2 mK.

8. Động cơ thang máy được cấp nguồn bằng nguồn điện một chiều có EMF E=240 V và điện trở trong r=0,2 Ohm. Xác định tốc độ nâng của thang máy nếu khối lượng của nó là m = 500 kg, điện trở cuộn dây động cơ là R = 0,6 Ohm, dòng điện trong mạch là I = 50 A. Đồng thời xác định emf cảm ứng điện từ xuất hiện trong cuộn dây động cơ khi nó quay. Yêu cầu bồi thường tổn thất cơ học.

9. Một proton bay vào một từ trường đều có cảm ứng B=0,4 T với góc α=30° so với hướng từ trường và chuyển động theo một đường xoắn ốc có bán kính R=0,5 cm. Tìm động năng của proton (khối lượng proton m=1,67·10⁻²⁷ kg, điện tích q=1,6·10⁻¹⁹ C).

10. Hai cây nến có cùng chiều cao và bằng h=10 cm, đặt cách nhau một khoảng (hình 2). Khoảng cách từ mỗi ngọn nến đến bức tường gần nhất của căn phòng giống như giữa các ngọn nến. Bóng của những ngọn nến di chuyển dọc theo tường với tốc độ bao nhiêu nếu một ngọn nến mất 10 phút và ngọn nến kia mất 20 phút?

Ấn phẩm được biên soạn bởi V.V. Varfolomeev, M.N. Daniltseva, I.M. Matusevich

Sách mới từ nhà xuất bản Nauka

Có sẵn để bán:
Vikhman E. Khá vật lý. Hướng dẫn học tập. Ed. 3-e, vòng quay. mỗi. từ tiếng Anh (Vật lý Berkeley, Tập 4). 1986. 392 tr. 1 chà. 20k.

Bài toán trong toán học. Phương trình và bất đẳng thức. Hướng dẫn tham khảo. 1987. 240 tr. 85k.

Bộ sưu tập bài toán về vật lý cơ bản. Hướng dẫn tự học. V. B. Bukhovtsev và những người khác. Ed. 5-e, vòng quay. 1987. 416 tr. 85k.

Thông tin và tiến bộ khoa học kỹ thuật. (Điều khiển học - những khả năng vô hạn và những hạn chế có thể có). 1987. 189 tr. 65k.

Ishlinsky A. Yu. Cơ học cổ điển và lực quán tính. 1987. 319 tr. 2 r. 30k.

Kirsanov V.S. Cuộc cách mạng khoa học thế kỷ 17. 1987. 341 tr. 2 r. 70k.

Đơn đặt hàng sách được gửi đến địa chỉ: 117192 Moscow, Mitsurisky Prospekt, 12, cửa hàng số 3 “The Book of the Poochny” “Academician”.

61

Tùy chọn 2

1. Lực ma sát (μmg cos α) hướng vào lực hấp dẫn bằng nhau và ngoại lực ($\sqrt{F^2_{\min}} + (mg \sin \alpha)^2$). Cân bằng các lực, ta có
   $$F_{\min} = mg \sqrt{\mu^2 \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha} \text{ при } \mu \geqslant tg \alpha,$$
   $$F_{\min} = 0 \text{ при } \mu < tg \alpha.$$
2. Từ định luật bảo toàn điện tích $2CU = Q_1 + Q_2$, từ sự bằng nhau của hiệu điện thế trên các bản tụ điện $Q_1/(2C) = Q_2/C$ và từ định luật bảo toàn năng lượng $2\frac{Mv^2}{2} = 2\frac{CU^2}{2} - \left(\frac{Q_1^2}{2(2C)} + \frac{Q_2^2}{2C}\right)$ ta có
   $$v = \sqrt{\frac{CU^2}{3M}}.$$
3. Từ điều kiện cân bằng của piston bên trái, áp suất $p_1$ ở bên trái và bên phải của nó phải bằng nhau. Khi đó thể tích ở ngăn bên trái và bên phải trước khi bắt đầu ngưng tụ hơi nước phải bằng nhau. Như vậy, trong khi $p_1 \leqslant 2p_0$, chiều dài của mỗi ngăn là $(2L-a)/2 = L-a/2$ và độ dịch chuyển của piston bên trái là $x = a/2$ tại $a \leqslant L$.
   Khi đẩy piston bên phải vào sâu hơn, hơi nước ngưng tụ và áp suất giống nhau ở cả hai ngăn sẽ không đổi và bằng $2p_0$. Điều này có nghĩa là khoảng cách giữa các piston $l$ sẽ không đổi và bằng $L/2$ (theo định luật Boyle-Mariotte $p_0L = 2p_0l$, do đó $l = L/2$). Từ đây (thể tích nước ngưng tụ tương đương)
   $$x = 2L - a - L/2 = 3L/2 - a \text{ при } L \leqslant a \leqslant 3L/2.$$
   Cuối cùng,
   $$\text{при } a > 3L/2 \text{ x} = L.$$
4. Công tác dụng lên lực lăn của rìu trái $F$ trên đường đi $s$ (cỡ mông) bằng $Fs \sim mv^2/2$, trong đó $m$ là khối lượng của rìu, $v$ là tốc độ của nó. Giả sử rằng chiếc rìu, giống như bàn tay, di chuyển với tốc độ xấp xỉ tốc độ của nori khi chạy. Như vậy,
   $$F \sim mv^2/(2s) \sim 5 \cdot 10^3 \text{ H}$$
   ở mức $m \sim 1$ kg, $s \sim 10^{-2}$ m và $v \sim 10$ m/s.
5. Xem lời giải bài toán F1102 sẽ được xuất bản sau.

Tùy chọn 3

1. Từ phương trình Mendeleev-Clapeyron cho một mol khí - $pV = RT$ - suy ra rằng góc nghiêng $\alpha$ của đường đồng phân với trục nhiệt độ sao cho $tg \alpha = p/T = R/V$. Như vậy, độ dốc tối đa tương ứng với thể tích tối thiểu và ngược lại:
   $$V_{\min} = RT_1/p_2, V_{\max} = RT_2/p_1.$$
2. Cho một điện tích $q$ trên bản của tụ điện, khi đó trên bản tụ sẽ có điện tích $Q - q$, trên bản kia sẽ có điện tích $Q - q$, và trên bản có điện tích $+q$ sẽ xuất hiện trên bản có bán kính $R$ (theo định luật bảo toàn điện tích). Cân bằng sự khác biệt tiềm năng giữa các bản tụ và giữa các quả bóng, chúng ta thu được
   $$4\pi \varepsilon_0 q/C = (Q - q)/r - q/R,$$
   Ở đâu
   $$q = \frac{Q}{1 + r(1/R + 4\pi \varepsilon_0/C)}.$$
3. Vì tốc độ $v$ của hạt không đổi nên lực ma sát $\mu N$ được cân bằng bởi lực “lăn” $mg \sin \alpha$. Từ định luật II Newton ta có
   $$\left(\frac{mv^2 \cos^2 \alpha}{R}\right)^2 + (mg \cos \alpha)^2 = N^2 = \left(\frac{mg \sin \alpha}{\mu}\right)^2.$$
   Từ đây
   $$v = \sqrt{Rg} \cos \alpha \left(\left(\frac{\sin \alpha}{\mu}\right)^2 - \cos^2 \alpha\right)^{1/4} \text{ при } tg \alpha > \mu.$$
4. Một ước tính sơ bộ theo thứ tự độ lớn từ định luật bảo toàn năng lượng cho: $mv^2_{\pi,T}/2 + mgl/2 \sim Fh$, trong đó $F \sim (M_{\psi,\pi}/2)g$ là lực ép lên một chân của một người đang đứng. Do đó $v_{\pi,T} \sim \sqrt{(Mh/m-l)g}, v_x/v_{\pi,T} = 2$ (kể từ $v = \omega r$), tức là
   $$v_x \sim 2 \sqrt{(Mh/m-l)g} \sim 15 \text{ м/c}$$
   tại $M/m \sim 70$, $h \sim 0,1$ m, $l \approx 1,5$ m, $g = 10 \text{ м/c}^2$.
5. Đầu tiên, các bình kim loại mỏng nhanh chóng nóng lên và thể tích của chúng tăng lên, do đó mức chất lỏng giảm xuống. Sau đó chất lỏng tự nóng lên, thể tích của nó tăng lên và mực nước trong ống tăng lên.

Viện Vật lý Kỹ thuật Moscow
Toán học
Tùy chọn 1

1. $x = (-1)^{n+1} \arcsin \frac{2}{3} + \pi n, n \in Z.$
2. $(2m+1 + \sqrt{4m^2+1})/4.$
3. $[1; 1 + \log_2 \frac{c+1}{c+2}) \text{ при } c \in ] - \infty; -2); [1; \infty)$
   tại $c \in [-2; \infty).$
4. $\frac{\pi h^2}{4} \left(\frac{3 \text{ ctg} \alpha - 1}{\text{ctg} \alpha + 1}\right), \pi h^2 \left(\frac{1 - \text{ctg} \alpha}{1 + \text{ctg} \alpha}\right) \text{ ctg}^2 \alpha$ tại $\frac{\pi}{4} < \alpha < \mathrm{arctg} 1/3; \pi h^2 \left(\frac{1 - \text{ctg} \alpha}{1 + \text{ctg} \alpha}\right) \text{ ctg}^2 \alpha$ tại $\mathrm{arctg} 1/3 \leqslant \alpha < \frac{\pi}{2}$.
   Gợi ý. Giả sử ASB là tiết diện thích hợp đi qua trung điểm của các cạnh PT và QR, $AB = a, \angle ABS = \varphi, C$ là tâm của quả cầu nội tiếp trong paramid, $r$ bán kính của nó, $\Pi_1$ và $\Pi_2$ các đường thẳng dọc theo đó các mặt phẳng cát tuyến có thể cắt quả cầu nội tiếp (hình 1). Sau đó $h = \frac{a}{2} \text{ tg } \varphi, r = \frac{a}{2} \text{ tg } \frac{\varphi}{2} \cos \varphi = \text{ ctg } \alpha$. Tính $r_1 = C_1E$ và $r_2 = C_2O$ và xét rằng tại $2r < h/2$, tức là tại $4 \text{ tg } \varphi/2 < tg \varphi$ hoặc $0 < \text{ctg} \alpha < \frac{1}{3}$, mặt phẳng $\pi_1$ không giao nhau với quả cầu nội tiếp, ta thu được đáp số.
   Tùy chọn 2
5. $[2; 3) \cup (3; 7/2] \cup \{4\}.$
6. $3(10 - p)/(2p - 10) \text{ при } p \in [50/7; 10].$
7. $\{\pi + 4\pi n; 2\pi k\}, k, n \in Z \text{ при } a \in \{-1; 3\}$. Gợi ý. Từ phương trình thứ hai suy ra $sin x/2 = 1, cos y = 1.$
8. $R = \frac{d}{2 \sin \alpha |\cos 2\alpha|}, R = \frac{d}{2 \sin \alpha}, \text{ если } \alpha \neq$

62

$\neq \frac{\pi}{4}; R = \frac{d}{\sqrt{2}}, \text{ если } \alpha = \frac{\pi}{4}.$

Lời giải. Hãy xem xét phần sơ bộ của chúng ta (hình 2 và 3). Theo điều kiện bài toán, điểm $P$ nằm ở độ cao của điểm $S$ hoặc trên phần tiếp theo của nó, nhưng không trùng với điểm $S$, vì $d > 0$. Hãy biểu thị nó bằng $AD = a, SO = h$. Sau đó $AO = \frac{a}{\sqrt{2}}, h = \frac{a \text{ ctg } \alpha}{\sqrt{2}}$. Điểm $P$ có thể nằm phía trên đáy của điểm gốc (thậm chí có thể nằm trên điểm $S$) hoặc nằm dưới đáy này. Do đó, $AE \perp SC$ hoặc $AE \perp SA$. Từ $\triangle AOP$ chúng ta nhận được $OP = \frac{a \text{ tg } \alpha}{\sqrt{2}}, AP = \frac{a}{\sqrt{2} \cos \alpha}$.

Tùy thuộc vào vị trí của điểm $P$, chúng ta có: $d = |AE - AP| = |a \sqrt{2} \cos \alpha - \frac{a}{\sqrt{2} \cos \alpha}| = \frac{a |\cos 2\alpha|}{\sqrt{2} \cos \alpha}$ hoặc $d = AP = \frac{d}{\sqrt{2} \cos \alpha}$, tức là $a = \frac{d \sqrt{2} \cos \alpha}{|\cos 2\alpha|}$ hoặc $a = d \sqrt{2} \cos \alpha$. Nhưng trong mọi trường hợp $2R = h + x = \frac{a}{\sqrt{2}} (\text{ctg } \alpha - \text{tg } \alpha) = \frac{a \sqrt{2}}{\sin 2\alpha}$, và do đó, $R = \frac{d}{2 \sin \alpha}|\cos 2\alpha|$ hoặc $R = \frac{d}{2 \sin \alpha}$.

Vật lý

1. $v_{\text{max}} = \sqrt{\frac{m}{2k} \frac{a}{\cos \alpha}} = 0,2 \text{ m/c}$.
2. $\omega = \sqrt{\frac{g}{r} \frac{\cos \alpha + \mu \sin \alpha}{\sin \alpha - \mu \cos \alpha}} = 11 \text{ c}^{-1}$.
3. $W = \frac{2q^2_a}{4\pi \varepsilon_0 r} = \frac{8e^2}{4\pi \varepsilon_0 r} = 1,84 \cdot 10^{-14} \text{ Дж}$.
4. $A = (p_0 S + mg) h \frac{\Delta t}{(t + 273)} = 79 \text{ Дж}$.
5. $B = \frac{U_2}{v l} (1 + n) = 0,25 \text{Tл}$.
6. $\frac{q}{m} = \frac{8U}{B^2 l^2} = 1 \cdot 10^8 \text{ КЛ/кг}$.
7. $a = \frac{e}{m} \left(B \sqrt{\frac{2eEh}{m}} - E\right) = 1 \cdot 10^{12} \text{ m/c}^2$.

Toán học

Tùy chọn 1

1. $\{-1; 31/5\}$.
2. $\{2; -1\} \cup [3; \infty)$.

Viện Kỹ thuật Vô tuyến, Điện tử và Tự động hóa Moscow

Toán học
Tùy chọn 1

1. $\{-1; 31/5\}$.
2. $\{2; -1\} \cup [3; \infty)$.

3. $x = \frac{\pi}{10}(2n+1), n \in \mathbb{Z}$.
4. $[-3; -2]$.
5. 49/5. Gợi ý. $S_{ABC}/S_{AED} = BC/(AE \cos \beta)$.
6. Tại $a < -3$ lời giải không, $x = 1$ tại $a = -3; [(2 - \sqrt{a+3})/2; (2 + \sqrt{a-3})/2]$ tại $a \in (-3; -2]; [-a/4; (2 + \sqrt{a+3}/2)]$ tại $a > -2$. Gợi ý. Vẽ đồ thị khoảng cách cho các hàm $y = \sqrt{4x+a}$ và $y = 2x-1$ và kiểm tra vị trí tương đối của chúng dưới dạng hàm của $a$.

Tùy chọn 2

1. {3; 5}
2. $(-\infty; -2 - \sqrt{3}) \cup (-2 + \sqrt{3}; -1/4]$.
3. $x_1 = \pi k/5, x_2 = \pi(2l+1)/6, k, l \in \mathbb{Z}$.
4. $(-\infty; 3)$.
5. 3,9. Gợi ý. $S_{BDC}/S_{ABC} = DC/AC = 8/13$.
6. $\{1/2\}$ tại $a \in (-\infty; -1/4); [1/2; \infty)$ tại $a = -1/4; \{(4a-5)/(8a+2); 1/2\}$ tại $a \in (-1/4; 1/4); [-1; 3/2]$ tại $a = 1/4; \{1/2\}$ tại $a \in (1/4; \infty)$. Gợi ý. Đồ thị vế trái của phương trình được biểu diễn bằng một đường đứt nét gồm hai tia và một đoạn thẳng, có đỉnh tại các điểm $(-1; 6a)$ và $(1/2; 3/2)$.

Vật lý

1. $F = mg \left( \frac{\rho_B}{\rho} - \frac{h}{H} - 1 \right) = 3,5\text{H}$.
2. $\Delta R_{\min} = gR^2 \left( \frac{1}{v_2^2} - \frac{1}{v_1^2} \right) = 352\text{km}; \tau \approx 20\text{ч}$.
3. $a = 2\text{arctg}(1/40) \approx 3^\circ$.
4. $p_a = 2 \rho gh(l-h)/(l-2h) = 10^5\text{Pa}$.
5. $a = g + E(q_1 + q_2)/(m_1 + m_2) = 14,8\text{m/c}^2; T = E(q_1 m_2 - q_2 m_1)/(m_1 + m_2) + q_1 q_2/(4\pi \varepsilon_0 l^2) = 15,5 \cdot 10^{-3}\text{H}$.
6. a) $\frac{T}{T_0} = \sqrt{\frac{g}{g+qE/m}} = 0,82$;

6. $\frac{T}{T_0} = \sqrt{\frac{g}{\sqrt{g^2+q^2E^2/m^2}}} = 0,95$.

7. $q = C\mathcal{E} \left( \frac{R_1}{R_1+R_2} - \frac{R_3}{R_3+R_4} \right) = 4 \cdot 10^{-6}\text{KJ}$.
8. $v = \frac{\mathcal{E} I - I^2(R+r)}{mg} = 2\text{m/c}; \mathcal{E}_{\text{инд}} = \mathcal{E} - I(R+r) = 200\text{B}$.
9. $W = q^2 B^2 R^2 / (2 m \sin^2 \alpha) = 1,2 \cdot 10^{-16}\text{Дж}$.
10. $v_1 = 0; v_2 = 1,5\text{cm/min}$.

Kính vạn hoa «Kvant»
(xem «Kvant» số 2)

Câu hỏi và bài toán

1. Do sự phản xạ ánh sáng ở mặt phân cách nước-không khí.
2. Có, nếu bạn tự làm ống kính từ băng.
3. Tia sáng bị khúc xạ yếu khi truyền từ nước vào mắt và không tạo ra ảnh rõ nét trên võng mạc.
4. Ánh sáng phản xạ từ chất lỏng thủy sinh ở góc tới lớn của tia sẽ bị phản xạ toàn phần từ ranh giới nước-không khí. Ánh sáng phản chiếu từ cá ở bất kỳ góc tới nào đều truyền vào nước.
5. Chỉ số khúc xạ của một chất.
6. Với tốc độ 4m/s.
7. Do sự tán xạ ánh sáng bởi những giọt nước trong sương mù.
8. Xem hình 4.

Hình 4.
Hình 5.

9. Nhiều phản xạ bên trong của các tia sáng chiếu vào một viên đá quý.
10. Ánh sáng mặt trời bị phân tán bởi bầu khí quyển sáng hơn nhiều so với ánh sáng của các ngôi sao.
11. Ba (xem hình 5).
12. Bằng cách di chuyển xung quanh, mọi người dường như có thể nâng cao “cơ hoành” của đồng tử và hình ảnh trở nên sắc nét hơn.

Kinh nghiệm vi mô
Ví dụ, khi sử dụng kính dành cho người viễn thị, bạn có thể tạo ra một luồng ánh sáng mặt trời, nhưng không dùng kính dành cho người cận thị.

«Kvant» cho học sinh nhỏ
(xem «Kvant» số 2)

1. Phần lớn hơn sẽ là phần đóng (xem hình 6).
2. Chữ số cuối cùng của số $A^3$ chỉ phụ thuộc vào chữ số cuối cùng của số $A$. Hãy viết những điều này xuống

64

số trong bảng:

| $A$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| $A^3$ | 0 | 1 | 8 | 7 | 4 | 5 | 6 | 3 | 2 | 9 |

Từ bảng này chúng ta có thể thấy tính hợp lệ của tuyên bố bài toán.

3. Không khí là một chất dẫn điện phẳng của cơ thể. Bằng cách xòe lông, chim tạo ra một lớp không khí giữa không khí bên ngoài và cơ thể.
4. Hãy viết điều kiện bài toán: $700+10x+y=100x+10y+7+117$. Do đó $90x+9y=576$ hoặc $10x+y=64$. Vì vậy, $x=6$, $y=4$ và số được yêu cầu là 764.
5. $763\times852\times941=611721516$.

Trang cờ vua (xem «Kvant», 1987, số 11, 12)

Nhiệm vụ 21 (S. Levman, 1938, do Y. Vladimirov sửa đổi). Chủ đề của một cladan đơn giản với bốn biến thể. Cuối cùng 1. Ng8! đe dọa 2. Kh6 và 3. Kf7×. Đen phải di chuyển quân tốt b7 và c7, nối quân xe để bảo vệ quân xám. Nhưng đồng thời quân xe cũng lục lọi ở các cấp bậc khác, điều này quyết định sự việc. 1…b6 2. Ke7! (hiệp sĩ trở lại) và 3. Nc6×; 1…b5 2. Rs3! và 3. Rlc5×, 1…c6 2. Ce7! và 3. Cd6×, 1…c5 2. Re8! và 3. Jd5×.

Nhiệm vụ 22 (L. Valve, 1944). 1. c4! với mối đe dọa 2. K: a5 ba 3. c5×. Xe đen cố gắng cứu vua: 1…R:a4 2. Cc6! và 3. Jd7×, 1…R:b3 2. Cd5! và 3. Jle6×, 1…R:b5 2. Kd4. Le5 3. Jd8×, 1…R:c4 2. K:b6! Rs7 3. Jh6× (chữ thập xe đen).

Nhiệm vụ 23 (N. Grigoriev, 1933). 1. Kra1!! (nhưng không phải 1. Kpb2? d4 2. Kpc1 Kpc3 3. Kpd1 d3! 4. cd Kp:d3 chứ không phải 1. Kpb1? Kpc3! 2. Kpc1 d4 3. Kpb1 d3!) 1…Kpc3 (nếu 1…d4 thì 2. Kpb2, và nếu 1…Kpa3 thì 2. Kpb1 Kpb4 3. Kpc1!) 2. Kpb1 Kpb4 (2…d4 3. Kpc1!) 3. Kpc1!! (nhưng không phải 3. Kpb2? d4!) 3…Kpc3 (3…d4 4. Kpd2) 4. Kpd1!! (nhưng không phải 4. Kpb1? Kpb4! 5. Kpc1 Kpc3) 4…d4 5. Kpc1 d3 6. cd Kp:d3 (nếu 6…Kp:b3 thì 7. Kpd2 với lối chơi đối xứng) 7. Kpb2 Kpd4 8. Kpa3 Kpc5 9. Kpa4 Kpb6 10. Kpb4 với win. Trong giai đoạn này, cũng như giai đoạn tiếp theo, không chỉ các quy tắc di chuyển cũng quan trọng mà cả các dấu vết sai cũng quan trọng. Nhiệm vụ 24 (N. Grigoriev, 1933). 1. a4! (nhưng không phải 1. Kpe8? Kpc7 2. Kpe7 b5! 3. Kpe6 b4 4. ab cb 5. Kpd5 a5! 6. Kpc5 a4 hoặc 4. a4 Kpb6 5. Kpd6 Kpa5 6. Kp:c5 bế tắc) 1…Kpd7 (1…a5 2. Kpe8 Kpc7 3. Kpe7 Kpc6 4. Kpd8) 2. a5! Kpd6 3. Kpf7 (nhưng không phải 3. ab? Kpc6 4. Kpe7 Kpb6 5. Kpd6 Kpa5! 6. Kp:c5 bế tắc) 3…Kpd7 4. Kpf6! Kpd6 5. Kpf5 Kpc7 (5…Kpd7 6. Kpe5 Kpc6 7. Kpe6 b5 8. Kpe5! Kpc7 9. Kpd5 bc 10. bc Kpd7 11. Kp:c5 Kpc7 12. Kpd5 v.v.) 6. Kpe6 Kpc6 7. Kpe7 Kpc7 8. Kpe8 Kpc8 (8…Kpc6 9. Kpd8! ba 10. Kpc7! Kpc7 11. Kpe6 Kpc6 12. Kpe5 Kpc7 13. Kpd5 Kpb6 14. Kpd6 Kpb7 15. Kp:c5 Kpc7 16. Kpd5 Kpd7 17. c5 Kpc7 18. c6 Kpd8 19. Kpc4 Kpc8 20. Kpd4! - phương pháp tam giác! - 20…Kpd8 21. Kpd5 Kpc8 22. Kpd6 Kpd8 23. c7+ Kpc8 24. Kpc6) 9. ab Kpb7 10. Kpd7 Kp:b6 11. Kpc8 Kpc6 12. Kpb8 Kpb6 13. Kpa8 a5 14. Kpb8 a4! 15. ba Kpa5 16. Kpb7 Kp:a4 17. Kpc6 Kpb4 18. Kpd5, và Trắng thắng.