Khối tâm là gì

39

Vật lý 8, 9, 10

Sách đã xuất bản “Tâm khối là gì” dành cho học sinh lớp 8, ghi chú “Dòng điện chạy trong kim loại như thế nào?” — dành cho học sinh lớp chín, “Trên cỗ máy thời gian và Thuyết tương đối” - dành cho học sinh lớp mười.

Khối tâm là gì

Nếu bạn ném một hòn đá theo một góc so với đường chân trời, nó sẽ chuyển động theo đường parabol. Điều gì sẽ xảy ra nếu bạn ném một cây gậy dài và vặn nó đúng cách? Tất nhiên, các điểm khác nhau của cây gậy di chuyển theo những cách khác nhau, mô tả những quỹ đạo khá phức tạp, nhưng chuyển động của cây gậy nói chung có phần giống với chuyển động của một hòn đá: đi lên, vị trí trên cùng, đi xuống. Hơn nữa, nếu bỏ qua lực cản của không khí thì chuyển động của một điểm cụ thể của cây gậy sẽ không khác gì chuyển động của một hòn đá bay tự do dọc theo một hình parabol. Điểm này là trọng tâm của thanh.

Hơn nữa, khối tâm tồn tại đối với bất kỳ vật thể nào, hơn nữa, đối với bất kỳ hệ thống vật thể nào. Nó có những đặc tính đáng chú ý mà bài viết này sẽ giới thiệu cho bạn một số đặc tính đó.

Hãy bắt đầu bằng việc xác định vị trí của khối tâm. Chúng ta hãy xem xét một hệ thống các điểm vật chất có khối lượng $m_1, ..., m_n$. Làm thế nào khi biết tọa độ của chúng, tìm được tọa độ của “điểm quan trọng nhất” này? Các câu trả lời trông như thế này:

$$x_{\mu m} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + ... + m_n x_n}{m_1 + m_2 + ... + m_n},$$

tương tự cho tọa độ $y_{\mu m}$ và $z_{\mu m}$. Tại sao khối tâm được xác định theo cách này sẽ trở nên rõ ràng sau này khi chúng ta xem xét các đặc tính đường kính của nó. Bây giờ, hãy làm quen với biểu thức (1) bằng cách thảo luận một số vấn đề liên quan.

a) Trong trường hợp hai điểm có khối lượng $m_1$ và $m_2$, biểu thức cho $x_{\mu m}$ có ​​ý nghĩa rõ ràng: khối tâm nằm

40

giữa các điểm, gần điểm có khối lượng lớn nhất (hình 1); tỷ lệ khoảng cách đến các điểm tỷ lệ nghịch với tỷ lệ khối lượng của chúng (bạn hãy tự kiểm tra điều này). Rõ ràng là trong trường hợp tổng quát khối tâm nằm ở đâu đó giữa các điểm của hệ, phản ánh sự phân bố khối lượng trong không gian.

6. Mọi vật chất của điểm đều “tham gia” vào một vị trí nhất định của khối tâm một cách tuyệt đối như nhau. Điều này có nghĩa là nếu vị trí của các khối lượng đối xứng với một điểm nào đó thì điểm này sẽ là tâm khối lượng. Ví dụ, khối tâm của một quả bóng đồng nhất trùng với tâm của nó (tương tự đối với hình trụ, hình lập phương, v.v.).

c) Và một điều nữa. Hóa ra (cố gắng chứng minh điều này), vị trí của khối tâm sẽ không thay đổi nếu chúng ta, sau khi cô lập một phần khoảng cách của hệ, tập trung toàn bộ khối lượng của phần này vào một điểm - khối tâm của nó. Ví dụ, khối tâm của một tam giác dây trùng với khối tâm của hệ gồm ba điểm nằm ở giữa cạnh (khối lượng của các điểm bằng khối lượng của các cạnh tương ứng).

Bây giờ chúng ta chuyển sang phần quan trọng nhất - nghiên cứu các tính chất vật lý của khối tâm.

Để các điểm di chuyển đến $s_1$, …, $s_n$ trong thời gian ngắn $\Delta t$. Khi đó, như có thể thấy từ (1), độ dịch chuyển của khối tâm sẽ bằng

$$\vec{s}_{\mu M} = \frac{m_1 s_1 + m_2 s_2 + \ldots + m_n s_n}{m_1 + m_2 + \ldots + m_n}$$

(nhớ lại rằng hình chiếu của vectơ dịch chuyển trên trục bằng độ biến thiên của tọa độ tương ứng). Chia độ dịch chuyển cho $\Delta t$, ta tìm được vận tốc của khối tâm:

$$\vec{v}_{\mu M} = \frac{m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2 + \ldots + m_n \vec{v}_n}{m_1 + m_2 + \ldots + m_n}$$

(2)

Xin lưu ý - trong số lete

Рис. 1.

nó không tốn gì nhiều hơn xung lực đầy đủ của hệ thống $\vec{P}$. Do đó, biểu thức (2) có thể viết dưới dạng

$$\vec{P} = (m_1 + m_2 + \ldots + m_n) \vec{v}_{\mu M}.$$

Vì vậy, tính chất thứ nhất: nếu toàn bộ khối lượng của hệ tập trung vào khối tâm, thì động lượng của điểm ảo này sẽ bằng tổng động lượng của hệ. Điều gì tiếp theo từ điều này? Ví dụ, chúng ta biết rằng động lượng của một hệ kín được bảo toàn. Điều này có nghĩa là nếu hệ đóng thì tốc độ khối tâm $\vec{v}_{\mu M}$ của nó không đổi.

Hãy xem một ví dụ. Một thanh mỏng đồng đều có chiều dài $l$ đứng thẳng đứng trên sàn nhẵn (hình 2). Cô ấy được thả ra, sau đó cô ấy ngã xuống. Làm thế nào để biết đầu dưới của cây gậy sẽ co lại bao nhiêu khi nó rơi xuống? Một cây gậy trong trường hấp dẫn không phải là một hệ kín; nhưng, vì chỉ có lực thẳng đứng tác dụng lên nó nên hình chiếu động lượng của nó theo phương ngang không thay đổi, trong trường hợp của chúng ta nó vẫn bằng 0. Điều này có nghĩa là khối tâm sẽ không trộn lẫn theo phương nằm ngang, tức là tâm của thanh sẽ rơi xuống nơi nó đứng và đầu dưới của nó sẽ dịch chuyển một khoảng $l/2$.

Chúng ta hãy tiếp tục thảo luận về các tính chất của khối tâm. Chúng ta hãy xem xét một hệ gồm hai vật liệu điểm có khối lượng $m_1$ và $m_2$. Hãy để hệ thống này không bị đóng kín, nghĩa là mỗi vật đều chịu tác dụng của cả nội lực và ngoại lực. Dựa trên định luật thứ hai của Newton, chúng ta viết ra sự thay đổi động lượng của từng điểm theo thời gian $\Delta t$:

$$m_1 \Delta \vec{v}_1 = (\vec{F}_1 + \vec{F}_{12}) \Delta t,$$

$$m_2 \Delta \vec{v}_2 = (\vec{F}_2 + \vec{F}_{21}) \Delta t,$$

trong đó $\vec{F}_1$ và $\vec{F}_2$ là ngoại lực, $\vec{F}_{12}$ là lực tác dụng lên điểm thứ nhất