Phỏng vấn Viện sĩ I. M. Gelfand

Kvant 1989, số 1 tr. 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 12 Thẻ 91IX

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

PHỎNG VẤN VỚI HỌC VIÊN
I. M. GELFANDOM

Hội thảo toán học của Gelfand, diễn ra vào tối thứ Hai tại Đại học Moscow trong 45 năm, đã nổi tiếng khắp toàn cầu. Cả sinh viên năm thứ nhất và các nhà khoa học nổi tiếng đều nghiên cứu tại hội thảo. Nhiều thế hệ nhà toán học xuất sắc đã được đào tạo qua hội thảo này.

Israel Moiseevich là người sáng lập Trường Toán học Tương ứng Toàn Nga và là chủ tịch Hội đồng Khoa học của trường. Trang chủ bài toán Ngôi trường này nhằm giúp đỡ những học sinh, không giống như cư dân Moscow, Leningrad và các thành phố lớn khác, thực tế bị thiếu tài liệu toán học và liên hệ với các nhà khoa học. Được thành lập cách đây 25 năm, Trường Toán Tương ứng Đa dụng là trường đầu tiên thuộc loại hình này ở nước ta; Sau đó, các trường tương ứng khác đã được mở theo gương của nó.

Cuộc gặp với Viện sĩ Gelfand luôn được lên kế hoạch như một cuộc phỏng vấn chung «Kvant». Chúng tôi đã chuẩn bị những câu hỏi mà chúng tôi cho rằng sẽ thú vị với cả người đọc và người đối thoại. Israel Moiseevich, sau khi xem qua danh sách các câu hỏi, nhận thấy rằng các câu hỏi này rất thú vị, nhưng ông… không cho rằng mình có đủ năng lực để trả lời chúng.

Bạn hiểu không, tôi không cho rằng mình có quyền bày tỏ quan điểm của mình với độc giả trẻ. Để tôi kể cho bạn nghe cách chúng ta làm toán ở độ tuổi trùng với độ tuổi của hầu hết độc giả của Lượng tử - từ 13 đến 17 tuổi. Tôi không chắc bây giờ mình có nhớ tất cả bài toán mà tôi đang làm vào lúc này hay không, nhưng tôi đã nhớ bài toán mà tôi sẽ kể cho bạn nghe rất rõ. Đây là câu chuyện của I.M. Gelfand.

Một trong những cuốn tiểu thuyết của Graham Greene có tên là “Kẻ thua cuộc có tất cả”). Tiểu sử toán học của tôi hạnh phúc một cách đáng ngạc nhiên, và trong nhiều năm, đó là sự ứng nghiệm của tuyên bố này. Làm sao tôi may mắn được? Tóm lại, thứ nhất, tôi không học ở trường đại học (hay bất kỳ cơ sở giáo dục nào), và thứ hai, do một số khó khăn trong cuộc sống ập đến với gia đình tôi, tôi thấy mình ở Moscow không có cha mẹ, thất nghiệp, lúc mười sáu tuổi rưỡi.

I. M. Gelfand trò chuyện với nhà toán học kiệt xuất người Pháp J.-P. Serre sau bài phát biểu tại hội thảo của Gelfand tại Đại học quốc gia Moscow. Tháng 4 năm 1984.

Tôi sẽ cố gắng hiểu ý nghĩa của cụm từ “kẻ thua cuộc sẽ có tất cả” nhờ sự trợ giúp của một câu chuyện của một nhà văn người Anh khác, Somerset Mose. Nhân vật chính của câu chuyện, một người hầu của nhà thờ nào đó, đã thất bại: trong quá trình chứng nhận nhân sự của nhà thờ, hóa ra anh ta không biết chữ và bị đuổi việc. Anh ta bắt đầu làm công việc bán sirah, sau đó mua một ki-ốt có bàn, sau đó là một số ki-ốt khác… và tạo dựng sự nghiệp thương mại rực rỡ, trở thành người giàu nhất thành phố của mình, đó là Zer. Và thế là họ phỏng vấn anh ấy – giống như bạn đang phỏng vấn tôi bây giờ – và anh ấy nói với nhà báo rằng anh ấy mù chữ. Nhà báo khốn khó sẽ thốt lên: “Nếu bạn biết chữ thì bạn sẽ đạt đến đỉnh cao nào!” Ngay sau đó là đáp số: “Tôi sẽ là mục sư của nhà thờ.”

Vì vậy, vào tháng 2 năm 1930, ở tuổi 16 rưỡi, khi đến Mátxcơva để thăm họ hàng xa, tôi thất nghiệp một phần, nhận bất kỳ công việc tạm thời nào, chủ yếu ngồi trong Thư viện Lênin và “tiếp thu” những kiến thức mà tôi chưa nhận được ở trường và ở một trường dạy nghề độc lập. Trong thư viện, tôi gặp các sinh viên đại học và bắt đầu tham dự các cuộc hội thảo. Ở tuổi 18, tôi đã đi dạy, và ở tuổi 19, tôi học cao học, và tiểu sử toán học sâu hơn của tôi theo một khóa học thông thường, thường xuyên, ở đây nó phù hợp với xu hướng chính thống được khắc sâu cho các nhà toán học.

Nhưng tôi không muốn kể cho người đọc «Kvant» về phần này của cuộc đời tôi, mà là về phần trước - về cách tôi học toán ở độ tuổi từ 13 đến 17. Tôi muốn nói về điều này vì hai lý do. Thứ nhất, theo niềm tin sâu sắc của tôi, ở phần lớn các nhà toán học chuyên nghiệp trong tương lai, tài năng toán học bộc lộ chính xác trong khoảng thời gian từ 13 đến 16 tuổi**), mặc dù tất nhiên, có những biến động, từ sự phát triển sớm hơn đến sự phát triển muộn hơn nhiều (từ 20 đến 30 tuổi và thậm chí 40 tuổi), điều này được quan sát thấy ở một số nhà toán học giỏi. Thứ hai, thời kỳ này hình thành

*) Kẻ thua mất tất cả
**) Israel Monseevich đã nói rất chi tiết về điều này trong một cuộc phỏng vấn đăng trên Izvestia vào ngày 3 tháng 12 năm 1987.

Val là cách tôi làm toán. Tất nhiên, đối tượng nghiên cứu có thể khác nhau
được tạo ra, nhưng hình ảnh nghệ thuật của toán học phát triển vào thời điểm đó
là cơ sở cho sự lựa chọn bài toán, điều đã thu hút tôi cho đến ngày nay.
Chúc một ngày tốt lành. Đối với tôi, dường như không thể hiểu được động lực này
hiểu từng thuật toán trong cách nhận biết và chọn chủ đề của tôi
bận. Vì động lực này, họ thực sự đã phát triển rất khác nhau.
do đó nó là hợp lý.

Hội thảo của Gelfand. Đối với mỗi
bảng thứ hai từ trái sang -
sự phát triển của hội thảo là nổi tiếng
nhà toán học Mỹ
R. McPherson. 1981

Điều đầu tiên tôi nhớ là hồi lớp 5-6. Sau đó tôi nhận ra rằng có một nhiệm vụ
những câu hỏi hình học không thể giải được bằng đại số. Tôi đã làm một cái bàn
đối mặt với tỷ lệ giữa chiều dài dây cung và chiều dài cung mỗi 5°. Chỉ có rất nhiều tư thế
Tôi đã học được rằng có các hàm lượng giác (không phải đại số!)
và về cơ bản thì tôi đã biên soạn các bảng lượng giác.

Cũng trong khoảng thời gian đó, tôi đã giải một bài toán đại số sơ cấp.
Tôi không học môn đại số, không biết lý thuyết nhưng đôi khi tôi phải quyết định
khó bài toán, ví dụ, tôi sử dụng các công thức viết tắt (tôi không biết) -
phép nhân. Nếu tôi không thể giải mã được cách giải quyết một vấn đề nhất định,
à, tôi đã xem xét đáp số, học được từ các nhận định của bài toán và xây dựng lại các câu trả lời
đổ phương pháp của họ lời giải. Đặc biệt, sau đó tôi đã hiểu và nhớ hoàn toàn
cuộc sống, rằng một lĩnh vực mới có thể được làm chủ bằng cách giải quyết bài toán, và không có gì phải xấu hổ khi
hãy nhìn vào đáp số, bởi vì khi giải quyết bất kỳ vấn đề nào, chúng tôi luôn
có một giả thuyết về đáp số. Các lớp toán nhìn chung tương tự như lời giải
bài toán, trong đó có điều gì đó được biết về đáp số. Những toán học này
Tất nhiên, bot khác với việc đào tạo cần thiết để thực hiện một cuộc thi
không có việc làm để vào đại học.

Vào đầu lớp 6 tôi nhận thấy bài toán trong hình học, trong đó
tam giác vuông thường xuất hiện với các cạnh bằng 3, 4, 5 và thậm chí
cạnh 5, 12, 13. Tôi muốn tìm tất cả các hình tam giác vuông với
cả hai cạnh, và tôi đã tìm ra công thức đã hứa cho các cạnh của họ, tức là tôi đã tìm thấy tất cả Pi-
Bộ ba Fagorian. (Tất nhiên, lúc đó tôi không biết thuật ngữ này.) Thật không may,
Bây giờ tôi không nhớ mình đã làm điều đó như thế nào.

Tôi học toán trong thời gian bị ốm và trong những ngày nghỉ. Bây giờ tôi đã thay thế
Thật đáng kinh ngạc khi các em học sinh có thể làm được nhiều điều mạnh mẽ khi phải nghỉ học vì bệnh tật
Những ngôi nhà. Vì vậy, sau vài ngày bị bệnh, tôi
để nó ở nhà.

Chúng ta học hình học theo Kiselev, chưa bị hư hỏng bởi những nội dung tiếp theo
xử lý. Một số định lý được đưa ra dưới dạng bài toán. Tôi đã đạt được lời hứa của mình
cuốn sổ (trong những năm đó không dễ dàng như vậy), viết trên mỗi trang

điều kiện của định lý và chứng minh gần như đầy đủ các trang trong suốt mùa hè. Đây là cách tôi học cách viết các bài báo toán học.

Tôi sẽ bỏ lỡ một khoảng thời gian lớn. Tôi sẽ chỉ đề cập đến một cuốn sách về đại số Davydov với các phương pháp sắc nét lời giải bài toán để tính cực đại và cực tiểu bằng các phương pháp cơ bản (tức là không sử dụng phép tính vi phân). Ví dụ: tìm giá trị lớn nhất của $ab$ nếu cho $a+b$ ; tìm một hình chữ nhật có diện tích lớn nhất trong một khoảng thời gian nhất định; tìm giá trị lớn nhất của tích các số không âm $a_1a_2...a_n$ , nếu tổng của chúng $a_1+a_2+...+a_n$ cho trước; các hình vuông được cắt ra từ một hình vuông ở một cạnh nhất định và một hộp được làm từ phần còn lại; Cần cắt bao nhiêu hình vuông để thể tích của hộp là lớn nhất?

Tôi rất ấn tượng về tổ hợp và quần thể sinh vật của Newton, điều mà tôi đã nghĩ đến từ lâu.

Tôi sống ở một thị trấn nhỏ chỉ có một trường học. Giáo viên toán của tôi là một người rất tốt bụng, mặc dù có vẻ nghiêm khắc tên là Titarenko. Anh ta có bộ ria mép Zaporozhye lớn. Tôi chưa bao giờ gặp một giáo viên nào tốt hơn anh ấy, mặc dù tôi biết nhiều hơn anh ấy và anh ấy hiểu điều đó. Anh ấy rất yêu thương tôi và động viên tôi bằng mọi cách có thể. Động viên là điều quan trọng nhất đối với một người thầy phải không?

Việc cung cấp sách về toán học là rất đáng kể. Tôi thấy trong các quảng cáo có những cuốn sách về toán cao cấp và tôi tưởng tượng toán cao cấp là một thứ gì đó rất thú vị. Bố mẹ tôi không thể đặt mua những cuốn sách này - không có tiền. Nhưng ở đây tôi lại gặp may mắn. Năm 15 tuổi, tôi được đưa đến Odessa để phẫu thuật viêm ruột thừa. Tôi nói với bố mẹ rằng tôi sẽ không đến bệnh viện cho đến khi họ mua cho tôi những cuốn sách về toán cao cấp. Cha mẹ đồng ý và mua khóa học toán cao cấp của Belyaev để học cao hơn bằng tiếng Ukraina. Tuy nhiên, chỉ có đủ tiền cho phần đầu tiên, với phần trình bày về phép tính vi phân và hình học giải tích trên mặt phẳng.

Tôi thật may mắn vì đã không bắt đầu với một khóa học đại học chuyên sâu. Đó là một cuốn sách rất cơ bản. Trình độ của cuốn sách Belyaev có thể được đánh giá qua phần giới thiệu về nó. Đặc biệt, nó nói rằng có ba loại chức năng: phân tích, được xác định bằng công thức; thực nghiệm, được đưa ra bằng bảng; tương quan. Nhiều năm sau, tôi đã biết được hàm tương quan là gì từ một sinh viên học lý thuyết xác suất.

Vào ngày thứ ba sau ca phẫu thuật, tôi cầm cuốn sách này lên và đọc, xen kẽ với việc đọc tiểu thuyết của E. Zola, trong chín ngày (sau ca phẫu thuật đó là 12 ngày). Trong thời gian này tôi đã đọc nó.

Từ cuốn sách tôi có hai ý tưởng tuyệt vời. Thứ nhất, mọi bài toán hình học trên mặt phẳng và trong không gian đều có thể được viết bằng công thức. Tuy nhiên, tôi đã nghi ngờ điều này trước đây. Tôi cũng đã biết về sự tồn tại của những đường cong tuyệt vời như hình elip.

Ý tưởng thứ hai - nó đã cách mạng hóa thế giới quan của tôi - đó là có một công thức tính sinhus: sin $x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}$ -…

Trước đó, tôi tin rằng có hai loại toán học - đại số và hình học, và toán hình học thuộc về “siêu việt” đối với đại số. Lấy ví dụ, công thức tính vòng tròn - có một số “hình học” l. Hoặc giả sử sinhus - nó được xác định thuần túy về mặt hình học.

Khi tôi phát hiện ra rằng sinhus có thể viết đại số dưới dạng một chuỗi thì rào cản đã sụp đổ, toán học trở nên thống nhất. Và bây giờ tôi nhận thấy các nhánh khác nhau của toán học cùng với vật lý toán học là một tổng thể duy nhất.

Tất nhiên, tôi tin rằng bài toán được giải quyết tự động đến mức cực đoan và mặc dù chúng mất đi sức hấp dẫn nhưng bạn vẫn có trong tay một thiết bị mạnh mẽ cho lời giải của chúng.

Trong khi nghiên cứu phép tính vi phân, tôi được biết rằng còn có phép tính vi phân liên quan đến diện tích và thể tích. Nhưng tôi không biết nó bao gồm những gì: rốt cuộc thì tôi không có tập thứ hai của khóa học của Belyaev!

Ở đây tôi muốn nhớ một bài toán khác. Khi chúng tôi nghiên cứu thể tích vật quay ở trường vào mùa thu năm sau, bạn cùng lớp của tôi, nhà toán học nổi tiếng sau này là D.P. Milman, đã thu hút sự chú ý của tôi đến điều sau đây bài toán: tìm thể tích của một vật thể tạo thành khi một đường tròn quay quanh một tiếp tuyến

Trao bằng tiến sĩ danh dự của Đại học Lyon cho I. M. Gelfand. Tháng 6 năm 1984.

Nô-ê. Đối với lời giải cái bài toán này, tôi chia hình tròn thành các dải và tính tổng chênh lệch thể tích của các hình trụ quay tương ứng. Vì vậy tôi đi đến nhu cầu tìm tổng

$\cos \varphi + \cos 2\varphi + \cos 3\varphi + \dots + \cos n\varphi.$

(*)

Điều xảy ra tiếp theo, như mọi khi, là sự kết hợp giữa sự khéo léo và sự ngu ngốc. Tôi đã bỏ qua lỗi sai của lời giải cơ bản bằng cách sử dụng lượng giác tổng quát, nhưng sử dụng công thức $e^{i\varphi} = \cos \varphi + i \sin \varphi$ (công thức này được gọi là công thức Euler, nhưng tôi không biết điều đó). Tôi nhận được công thức này từ loạt bài về sin, cosin và $e^x$ , điều này khiến tôi vô cùng ấn tượng. Tiếp theo, việc còn lại là tìm tổng của cấp số nhân $e^{i\varphi} + e^{2i\varphi} + \dots$ và lấy tổng (*) từ nó, đó là điều tôi đã làm.

Về điều này bài toán, tôi có thói quen nghĩ về bài toán và sau đó là lời giải. Cụ thể: anh ấy đã di chuyển vòng tròn ra khỏi đường thẳng và nhận ra rằng khi quay, sẽ thu được một vật giống như một vòng tròn cao su, trên đó

*) $i$ — đơn vị tối thiểu ( $i^2 = -1$ ); về số phức có thể được đọc, ví dụ, trong «Kvant» (1983, số 2, trang 16).

Thêm các đẳng thức này, tôi nhận được

$F(n+1) - F(1) = S_0 + \frac{S_1}{2!} + \frac{S_2}{3!} + \dots,$

trong đó $S_0$ là số tiền tôi quan tâm và

$S_1 = f'(1) + f'(2) + \dots + f'(n),$

$S_2 = f''(1) + f''(2) + \dots + f''(n),$

Sau đó tôi viết ra hệ thống

$F(n+1) - F(1) = S_0 + \frac{S_1}{2!} + \frac{S_2}{3!} + \frac{S_3}{4!} + \dots,$

$f(n+1) - f(1) = S_1 + \frac{S_2}{2!} + \frac{S_3}{3!} + \dots,$

$f'(n+1) - f'(1) = S_2 + \frac{S_3}{2!} + \dots,$

tức là một hệ vô hạn với vô số ẩn số $S_0, S_1, S_2$ , … Tôi đã đề cập rằng cuốn sách của Kagan có định thức vô hạn, vì vậy tôi có thể sử dụng “quy tắc Cramer” để tìm $S_0$ :

$S_0 = \frac{1}{1}$

Tôi đã mở rộng tử số của “phân số” này sang cột đầu tiên, thu được

$S_0 = B_0(F(n+1) - F(1)) + B_1(f(n+1) - f(1)) + B_2(f'(n+1) - f'(1)) + \dots,$

(1)

trong đó $B_0 = 1, B_1, B_2, \dots$ là các định thức số của cấp vô hạn. Biểu thức thu được được gọi là công thức Euler-Maclaurin, nhưng tất nhiên là tôi không biết về nó. Để tính toán nó, cần phải tìm các hệ số $B_0, B_1, B_2, \dots$ .

Để làm được điều này, tôi đã áp dụng những cân nhắc mà ngày nay được gọi là “chức năng”. Cụ thể là, lợi dụng thực tế là các hệ số $B_0, B_1, \dots$ không phụ thuộc vào $f$ , tôi đã chọn một hàm $f$ sao cho phía bên trái của hệ hình thành một cấp số nhân (mà tôi đã biết cách tính tổng). Hàm $f(x) = e^{\alpha x}$ phù hợp cho việc này, thay nó vào công thức (1), tôi nhận được (thực hiện các phép tính!)

$B_0 + \alpha B_1 + \alpha^2 B_2 + \dots = \frac{\alpha}{e^{\alpha}-1},$

tức là anh ta thu được tích của hàm cho các số được yêu cầu $B_0, B_1, B_2, \dots$ (chúng được gọi là số Bernoulli và đa thức $S_0$ cho $f(x) = x^p$ được gọi là đa thức Bernoulli).

Từ khoảng thời gian này tôi nhớ thêm hai bài toán. Hàm đầu tiên nảy sinh từ bài toán trong bài toán đại số của chúng ta: Biểu diễn $x_1^2 + x_2^2$ và $x_1^3 + x_2^3$ theo các hệ số của phương trình bậc hai có nghiệm là $x_1$ và $x_2$ . MỘT SỰ TỔNG HỢP TỰ NHIÊN LÀ VẤN ĐỀ: Biểu thị tổng $x_1^2 + \dots + x_n^2$ và $x_1^3 + \dots + x_n^3$ , trong đó $x_1, \dots, x_n$ là nghiệm của phương trình $x^n + a_1x^{n-1} + \dots + a_n = 0$ , thông qua

hệ số bản ngã. Định lý Bezout đã giúp ích cho tôi ở đây, điều mà tôi học được từ sách giáo khoa của Davydov. Tôi đã đi xa hơn và đặt cho mình một bài toán tổng quát hơn: biểu thị tổng lũy thừa bậc $k$ của các nghiệm của một phương trình đại số bậc $n$ theo các hệ số của phương trình này. Tôi đã giải được bài toán này (đáp số được gọi là công thức Newton).

bài toán thứ hai mà tôi đang giải quyết sau đó nảy sinh khi tôi phát hiện ra rằng cos $ix$ là một số thực, hoặc

$\cos ix = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \dots$

Tôi đã suy nghĩ về sự thật bất ngờ này và chứng minh định lý đầy hứa hẹn sau: mọi hàm số thực chẵn đều lấy giá trị thực trên trục tối thiểu.

Để chứng minh điều này, cần phải làm rõ “chức năng” là gì. Tôi đã nghĩ về việc nên gọi một hàm là gì và chấp nhận định nghĩa sau: hàm là tổng của một bậc vô hạn hội tụ của một chuỗi. Sau đó, việc chứng minh định lý gần như hiển nhiên.

Rõ ràng, bài toán này là điều cuối cùng tôi nghĩ đến trước khi đến Moscow. Tôi đã giải được nó vào mùa hè năm 1929, và trong sáu tháng tiếp theo, thời điểm rất khó khăn đối với tôi và gia đình, tôi không có thời gian dành cho toán học.

Khoảng thời gian học tập tiếp theo của tôi ở Moscow, không giống như những gì đã được mô tả, không phải là một “thử nghiệm thuần túy”. Ở Moscow, tôi đã phải chịu nhiều ảnh hưởng khác nhau và sự phát triển của tôi không còn đi theo con đường riêng của nó nữa. Trong thời gian này, như tôi đã nói, tôi đã tự học trong thư viện mang tên. V.I. Lenin, sống sót nhờ thu nhập chính thức. Tuy nhiên, thời gian thậm chí còn bị kiểm soát ở Leninka. Tôi đã gặp một số sinh viên toán đại học. Một trong số họ nói với tôi rằng mối quan tâm của tôi đối với các biểu thức có dạng $f(n+1)-f(n)$ gắn liền với cả một ngành khoa học gọi là lý thuyết sai phân hữu hạn, và gợi ý rằng tôi cần đọc cuốn sách “Differenzenkalkül” của Nörlund về chủ đề này. Cuốn sách đó bằng tiếng Đức, nhưng tôi có thể hiểu được nó nhờ sự trợ giúp của từ điển.

Tôi bắt đầu đi dự các buổi hội thảo ở trường đại học, và rồi tôi thấy mình bị áp lực tâm lý nặng nề. Tôi thấy rằng cách làm toán của tôi không hiệu quả. Những điều mới đã xuất hiện trong toán học - những yêu cầu mới liên quan đến tính chặt chẽ của chứng minh, mối quan tâm lớn đến lý thuyết hàm số thực (TFV). (Tôi lưu ý rằng ngày nay cả mức độ nghiêm ngặt này và TFDP đều bị coi là lỗi thời và lỗi thời, nhưng sau đó…)

Sau đó, tôi nhận ra rằng điều rất quan trọng là một hàm số không nhất thiết phải sai, một hàm liên tục không nhất thiết phải khả vi, một hàm khả vi không cần phải khả vi hai lần, v.v.; rằng ngay cả khi một hàm có tất cả các bậc tùy ý thì chuỗi Taylor của nó không nhất thiết phải hội tụ và ngay cả khi nó hội tụ, tổng của nó không nhất thiết phải trùng với giá trị của hàm! Nếu sự trùng hợp này xảy ra, thì một hàm như vậy được gọi là hàm giải tích, và loại hàm này, những người theo TFDP lập luận, hẹp đến mức nằm ngoài các khoảng chính của toán học. Và tôi chỉ xem xét các chức năng như vậy!

Dưới áp lực của quan điểm này, tôi đã đọc một cuốn sách giáo khoa “hiện đại, nghiêm ngặt” về phân tích của Vallée Poussin, tương tự như những cuốn sách giáo khoa ngày nay được sử dụng tại Đại học Cơ học Quốc gia Moscow, nhưng tốt hơn chúng. Vì vậy, tôi hiểu về một thợ cơ khí năm thứ nhất đầy thiện cảm, người chỉ được phép tiếp cận vẻ đẹp của phân tích toán học sau thời gian thử việc một năm, một bài kiểm tra về “sự biện minh nghiêm ngặt” của phân tích.

Nhưng ngay cả ở đây tôi cũng may mắn. Tôi bắt đầu đọc cuốn sách giáo khoa tuyệt vời của I. I. Pri-

đồng hồ làm ra chiếc hộp (xem hình). Nên cắt hình vuông có kích thước bao nhiêu để có thể tích tối đa của hộp?

Rõ ràng là bạn không thể cắt những hình vuông quá nhỏ, vì chiếc hộp sẽ trở nên quá nhỏ. Bạn không thể cắt những hình vuông quá lớn, vì khi đó hộp sẽ quá hẹp. Bạn nên cắt bao nhiêu?

Gợi ý: thể tích của hộp $V = x(a - 2x)^2$ . Woo-
dem tìm kiếm tối đa $4V = (4x)(a - 2x)(a - 2x)$ ,
tức là tích lớn nhất của ba số có tổng bằng 2a.

Zadchacha. Tính tổng của $\cos x + \cos 2x + \dots + \cos nx$ và $\sin x + \sin 2x + \dots + \sin nx$ .
Trong khi tính thể tích và diện tích bề mặt của một vật thể quay, I.M. Gelfand đã khám phá ra các định lý đáng chú ý của Guldin:

thể tích của vật quay của một hình phẳng quanh một trục không cắt nó bằng tích của diện tích hình này và chiều dài của hình tròn mô tả bởi trọng tâm;

Diện tích bề mặt của vật quay bằng tích của chiều dài ranh giới của hình và chiều dài của vòng tròn được mô tả bởi trọng tâm của ranh giới này.

Zadchacha. Các trọng tâm của hình bán nguyệt và hình bán nguyệt cách tâm bao nhiêu?

Để làm quen với định thức, chúng ta hãy giải hệ phương trình tuyến tính:

$\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1, \\ a_2x + b_2y = c_2. \end{cases}$

Nếu $a_1b_2 - a_2b_1 \neq 0$ , thì lời giải của nó sẽ cho công thức:

$x = \frac{c_1b_2 - c_2b_1}{a_1b_2 - a_2b_1}, y = \frac{a_1c_2 - a_2c_1}{a_1b_2 - a_2b_1}.$

Đại lượng $a_1b_2 - a_2b_1$ trong mẫu số được ký hiệu là $\begin{matrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{matrix}$ và được gọi là định thức. Các chữ số cũng chứa các định thức $\begin{matrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{matrix}$ và $\begin{matrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{matrix}$ .

Tương tự cho hệ thống lời giải

$\begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z = d_1, \\ a_2x + b_2y + c_2z = d_2, \\ a_3x + b_3y + c_3z = d_3 \end{cases}$

mẫu số sẽ chứa định thức bậc ba. yếu tố quyết định

$\begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{matrix}$

cân bằng $a_1(b_2c_3 - b_3c_2) + a_2(b_3c_1 - b_1c_3) + a_3(b_1c_2 - b_2c_1)$ . Lưu ý rằng có định thức bậc hai trong ngoặc đơn. Ký hiệu này của định thức được gọi là phân rã của nó trong cột đầu tiên.

Có thể thống nhất một năm nào của biến $a_1, a_2, \dots, d_4$ định thức cấp 4 bao gồm:

$\begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 & d_3 \\ a_4 & b_4 & c_4 & d_4 \end{matrix}.$

Khó khăn hơn nhiều để đoán những dấu hiệu của những năm này là gì.

Bảng số vuông được gọi là ma trận (vuông), và các định thức tương ứng được gọi là định thức ma trận. Điều thú vị là bây giờ I.M. Gelfand đang bị cuốn hút bởi câu hỏi: định thức của ma trận bậc ba sẽ bằng bao nhiêu? Khi nhận được đáp số, người ta sẽ thấy anh ấy kể về điều đó trên trang «Kvant».

Zadchacha. Chứng minh rằng

$1^2 + 2^2 + \dots + n^2 = n(n+1)(2n+1)/6$

Và

$1^3 + 2^3 + \dots + n^3 = n^2(n+1)^2/4.$

Thật tuyệt vời $1^3 + 2^3 + \dots + n^3 = (1 + 2 + \dots + n)^2$ . Tôi tự hỏi liệu điều này có thể được chứng minh trực tiếp không?

Số Bernoulille cho phép tính tổng tổng $1^p + 2^p + \dots + n^p$ dưới dạng đa thức ở $n$ bậc $p+1$ .

Vấn đề. a) Biểu thị tổng bình phương của các nghiệm của phương trình $x^2 + px + q = 0$ theo các hệ số của nó.

Điều tương tự cũng áp dụng cho tổng lập phương của các nghiệm của phương trình này.

b) Tương tự - đối với tổng bình phương và lập phương của các nghiệm của phương trình

$x^n + a_1x^{n-1} + \dots + a_n = 0.$

Gợi ý: sử dụng công thức của Vieta:

$a_1 = -(x_1 + x_2 + \dots + x_n), \quad a_2 = x_1x_2 + x_1x_3 + \dots + x_n-1x_n, \quad a_3 = -(x_1x_2x_3 + x_1x_2x_4 + \dots + x_n-2x_nx_1x_n),$ trong đó $x_1, x_2, \dots, x_n$ là nghiệm của phương trình.

Giải bài toán tổng quát bài toán về cách biểu diễn tổng lũy thừa của các nghiệm của một phương trình thông qua các hệ số của nó, I. M. Gelfand đã chứng minh được công thức của Newton:

$p_k + a_1p_k-1 + a_2p_k-2 + \dots + a_k-1p_k = 0, \quad k \leq n, \quad p_k + a_1p_k-1 + a_2p_k-2 + \dots + a_np_k-n, \quad k > n.$

Ở đây $p_k$ biểu thị tổng lũy thừa $i$ của các nghiệm $x_i^1 + x_i^2 + \dots + x_i^n$ .

Các công thức của Newton có thể được coi là một hệ phương trình tuyến tính cho $p_i$ với các hệ số $a_1, a_2, \dots, a_n$ . Nếu giải hệ này, bạn sẽ nhận được công thức Variant, biểu thị trực tiếp tổng bậc của các phương trình thông qua các hệ số của nó. Trong toán học hiện đại, làn da này đã có sự phát triển vượt bậc.