Olympic Toán quốc tế XXIX

56

XXIX
Olympic Toán quốc tế

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
V. V. VAVILOV,
Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
A. A. FOMIN

Kỳ thi Olympic Toán quốc tế XXIX được tổ chức từ ngày 9 đến ngày 21 tháng 7 năm 1988 tại Sydney và Canberra, Úc và là một phần trong chương trình cấp bang nhằm kỷ niệm 200 năm thành lập Liên bang Úc.

Tất nhiên, tất cả chúng tôi đều thực sự mong đợi cuộc thi Olympic này và đã chuẩn bị kỹ lưỡng cho nó trong suốt cả năm. Đất nước chúng ta có Sergei Berlov, Sergei Ivanov, Nikolai Filonov, Yury Khokhlov (cả bốn người đến từ Leningrad), Dmitry Ivanov (Dolgoprudny, vùng Moscow), Dmitry Tulykov (Zhdanov). Sergei và Dmitry Ivanov hiện đang học lớp 10 và có cơ hội thực sự được góp mặt vào đội Liên Xô tại XXX Olympiad diễn ra ở Đức năm 1989; Ngoài ra, đối với Sergei Ivanov, Olympic ở Úc đã là Olympic quốc tế thứ hai và anh ấy đã bổ sung thêm kết quả thay thế ở cả hai. Những người đứng đầu trại huấn luyện của đội và chính đội tại Thế vận hội là tác giả của bài báo này. Các thành viên trong ban biên tập của tạp chí «Kvant» đã hỗ trợ rất nhiều trong việc chuẩn bị cho nhóm.

Tại lễ khai mạc, Thành viên Liên minh Nghị viện về Việc làm, Giáo dục và Đào tạo John Downis cho biết: “Việc tham gia sự kiện quốc tế quan trọng này cho thấy những gì có thể đạt được khi các quốc gia trên thế giới cùng nhau cung cấp một môi trường thuận lợi cho giáo dục thanh niên… Bằng cách tham gia cuộc thi này, bạn đang khẳng định những nguyên tắc cốt lõi làm nền tảng cho hệ thống giáo dục trên toàn thế giới: nguyên tắc phấn đấu để đạt được sự xuất sắc trong mọi việc chúng ta làm; nguyên tắc hợp tác cả trong lớp học và trong mọi lĩnh vực của đời sống lao động; và nguyên tắc đơn giản nhưng rất quan trọng của sự chăm chỉ…"

Một số lượng kỷ lục các quốc gia tham gia XXIX IMO - 58, trong đó 50 quốc gia được đại diện bởi các đội học sinh và 8 quốc gia chỉ được đại diện bởi các quan sát viên. Olympic được tổ chức ở trình độ khoa học và tổ chức rất cao. Nó đã được hỗ trợ thành công nhờ công tác chuẩn bị sâu rộng, dẫn đầu bởi Thủ tướng Australia Robert Hawke, Bộ trưởng Bộ Việc làm, Giáo dục và Đào tạo John Downis, Chủ tịch Viện Hàn lâm Khoa học David Curtis, Giám đốc Trường Cao đẳng Giáo dục Đại học Canber Roger Scott, Chủ tịch Giáo viên Toán công cộng Pháp lý Patrick Costello, Giám đốc IBM Australia Brain Finn và nhiều người khác.

Theo truyền thống lâu đời, Olympic quốc tế được tổ chức thành hai vòng, mỗi vòng có ba bài toán được đưa ra. Chuyến tham quan sẽ kéo dài 4,5 giờ làm việc và mỗi bài toán (bất kể độ khó) có giá trị 7 điểm.

Nhiệm vụ XXIX MMO
1 (Luxembourg). Cho hai đường tròn có tâm chung trên mặt phẳng, bán kính của chúng bằng r và R, r<R. Gọi P là điểm cố định trên đường tròn nhỏ và B là điểm biến thiên trên đường tròn lớn. Lấy BP lần thứ hai cắt đường tròn lớn tại điểm C. Vuông góc l với đường thẳng BC đi qua

57

Qua điểm $P$, đường tròn nhỏ cắt nhau lần thứ hai tại điểm $A$ (trong trường hợp $l$ là tiếp tuyến của đường tròn thì ta giả sử rằng $A=P$).

1. Tìm tập giá trị của biểu thức $BC^2+CA^2+AB^2$.

2. Tìm tập hợp các điểm là trung điểm của các đoạn $AB$.

2 (Tiệp Khắc). Cho $n$ là một số tự nhiên và $A_1, A_2, \dots, A_{2n+1}$ là tập con của một tập hợp $B$ nào đó. Giả sử rằng $a)$ mỗi bộ $A_i(i=1, 2, \dots, 2n+1)$ chứa chính xác $2n$ phần tử;

$b)$ mỗi bộ $A_i \cap A_j(1 \leq i < j \leq 2n+1)$ chứa chính xác một phần tử;

$c)$ bất kỳ phần tử nào của tập hợp $B$ lấy ít nhất hai phần tử từ tập hợp $A_i(i=1, 2, \dots, 2n+1)$.

Với những giá trị nào của $n$, mỗi phần tử của tập hợp $B$ có thể được gán một trong các số 0 hoặc 1 sao cho mỗi phần tử trong tập hợp $A_1, A_2, \dots, A_{2n+1}$ chứa các phần tử bằng $n$ tương ứng với số 0?

3 (Anh). Hàm $f$ được xác định trên tập hợp các số nguyên dương và thỏa mãn các điều kiện sau:

$$f(1)=1, f(3)=3, f(2n)=f(n),$$
$$f(4n+1)=2f(2n+1)-f(n),$$
$$f(4n+3)=3f(2n+1)-2f(n).$$

Tìm số lượng tất cả các giá trị như vậy $n$, $1 \leq n \leq 1988$ sao cho $f(n)=n$.

4 (Ireland). Chứng minh rằng tập lời giải bất đẳng thức

$$\sum_{k=1}^{70} \frac{k}{x-k} \geq \frac{5}{4}$$

là tập các khoảng rời nhau có tổng độ dài là 1988.

5 (Hy Lạp). Gọi $AD$ là chiều cao trong tam giác vuông $ABC, <A=90^\circ$. Đường thẳng sơ cấp đi qua tâm của các đường tròn nội tiếp tam giác $ABD$ và $ACD$ cắt các cạnh $AB$ và $AC$ lần lượt tại các điểm $K$ và $L$. Chứng minh rằng

$$S_{ABC} \geq 2S_{AKL}.$$

6 (Đức). Đặt $a$ và $b$ là số nguyên dương sao cho $a^2+b^2$ chia hết cho $ab+1$ không có số dư. Chứng minh rằng $\frac{a^2+b^2}{ab+1}$ là bình phương của một số nguyên.

Hãy nói ngắn gọn về cách bài toán được chọn để tối ưu hóa, cách thành lập và hoạt động của ban giám khảo MMO. Mỗi quốc gia tham gia có cơ hội đề xuất không quá 6 bài toán giải pháp hoàn chỉnh, nếu có thể, phải bao gồm các phần khác nhau của khóa học toán ở trường và có mức độ khó khác nhau. Trong số tất cả bài toán người đăng ký tham gia cuộc thi, một ủy ban đặc biệt của quốc gia tiến hành tối ưu hóa sẽ chọn, theo quy định, 20-30 bài toán cho tầm xa

58

thảo luận thêm tại các cuộc họp bồi thẩm đoàn. Ban giám khảo MMO bao gồm các giám đốc khoa học của tất cả các quốc gia tham gia, cũng như ban giám khảo và người thay thế do các tổ chức chỉ định. Tất cả các vấn đề tại cuộc họp bồi thẩm đoàn đều được giải quyết bằng đa số phiếu đơn giản. Cuộc tranh luận lớn nhất trong ban giám khảo sẽ nảy sinh khi đánh giá độ khó bài toán. Ví dụ điển hình nhất ở đây là với bài toán trong phép đo lập thể - hầu hết các quốc gia không muốn đưa bài toán đó vào danh sách cuối cùng của bài toán Olympic.

Trong số 275 sinh viên tham gia MMO, có khoảng 100.000 sinh viên được trao huy chương vàng, bạc hoặc đồng (tỷ lệ xấp xỉ 1:2:3). Ở đội Liên Xô, N. Filonov (42), S. Ivanov (41), D. Tulykov (37) và D. Ivanov (36) được trao huy chương vàng, còn Y. Khokhlov (31) và S. Berlov (30) được trao huy chương bạc; Số điểm mà người tham gia ghi được (trong số 42 điểm có thể có) được ghi trong ngoặc đơn.

Trong cuộc thi đồng đội không chính thức (cũng như tại các kỳ Olympic thể thao), đội Liên Xô đã giành vị trí đầu tiên (217 điểm trên tổng số 252 điểm có thể). Tiếp theo là: Trung Quốc (201), Romania (201), Đức (174), Việt Nam (166), Mỹ (153), Đông Đức (145), Bulgaria (144), Pháp (128), Canada (124). Chúng tôi đặc biệt lưu ý rằng các đội của Bulgaria và CHDC Đức đã thi đấu với các đội chưa hoàn thiện - mỗi đội có 5 học sinh. Đội Australia ghi được 110 điểm, một thí sinh là Terence Tao giành huy chương vàng (34 điểm) và một thí sinh Jeffrey Bailey (20 điểm) giành huy chương bạc. Terence Tao lần thứ ba thi đấu ở đội tuyển quốc gia - năm ngoái ở Cuba anh đã giành được huy chương bạc, và năm 1986 ở Warsaw - huy chương đồng. Và điều quan trọng nhất là trong Thế vận hội năm nay anh ấy chỉ mới 13 tuổi và trong bữa trưa, tất cả những người tham gia MMO đều hét to lên với anh ấy, qua đó bày tỏ sự ngưỡng mộ và tôn trọng đối với anh ấy.

Các bài kiểm tra toán học diễn ra trong hai ngày và tất cả những ngày còn lại của thời gian lưu trú được dành để tìm hiểu về đất nước, các điểm tham quan, văn hóa và nghệ thuật, thiên nhiên, các sự kiện thể thao cá nhân đơn giản và được tổ chức tốt cũng như giao tiếp lẫn nhau giữa các thành viên của các đội khác nhau. Người ta có thể nói không ngừng về những trải nghiệm ngoại lai từ chuyến tham quan, về những người quen nảy sinh trong thời kỳ Olympic, địa điểm đảo ngược và sự hình thành của Southern Cross, giao thông bên trái, một con kangaroo, một con gấu túi - một con gấu nhỏ có kích thước bằng một cái gối, một con vẹt mào, sóc bay, v.v., v.v….

Chúng ta sẽ kết thúc bằng những câu chuyện từ bài phát biểu của Thủ tướng Australia, Roberta Hawke, tại lễ bế mạc rất trang trọng và cảm động của XXIX IMO: “Trong các lĩnh vực như tranh luận và nghệ thuật, có rất nhiều cơ hội để khuyến khích và phát hiện sớm tài năng, nhưng trong lĩnh vực trí tuệ thì điều này ít phổ biến hơn. Thế vận hội thực sự đại diện cho một cơ hội như vậy và trong bối cảnh việc theo đuổi sự xuất sắc là cực kỳ quan trọng không chỉ đối với các cá nhân cụ thể mà còn đối với các quốc gia nói chung. phát triển, từ đó có thể mang lại cuộc sống tốt đẹp hơn cho người dân ở tất cả các nước chúng ta…

Quan trọng như bản thân thành tựu toán học, tôi tin rằng sự trao đổi văn hóa diễn ra ở đây cũng quan trọng không kém. Tôi hy vọng rằng bạn sẽ tiếp tục duy trì những mối quan hệ đã được rèn giũa này sau khi rời Canberra, rằng bạn sẽ sử dụng tài năng của mình vì lợi ích của quê hương và toàn thế giới, cũng như vì sự thỏa mãn cá nhân và sự viên mãn của cuộc sống con người…

Cùng gửi những lời này và chúc các thành viên của đội Liên Xô thành công sáng tạo, sức khỏe tốt, làm việc chăm chỉ và quyết tâm trong cuộc sống tương lai.