Bài toán M1141—M1145; F1148—F1152

21

Nhiệm vụ
M1141—M1145, F1148—F1152

M1141. Một hình thang được bao quanh một vòng tròn. Chứng minh rằng ít nhất một trong các đường chéo của nó tạo thành một góc không quá 45° với đáy.

H. M. Sedrakin

M1142. Bảng $m \times n$ chứa đầy các số $mn$ sao cho trong mỗi hàng và trong mỗi cột, các số này tạo thành một cấp số cộng. Tổng của bốn số ở các góc của bảng là $s$. Tổng của tất cả các số trong bảng là bao nhiêu?

M1143. Khối lượng của mỗi quả nặng trong số 101 quả cân xếp xung quanh một hình tròn là một số tự nhiên và tổng khối lượng của chúng là 300 g. Chứng minh rằng từ bộ này có thể chọn được một hoặc nhiều quả cân nằm trên một hàng có tổng khối lượng là 200 g.

B. B. Prozovolyov

M1144. Đặt $a_1, a_2, \dots, a_n$ là số không âm. Số nào lớn hơn:

$$\sqrt{a_1^{1988} + a_2^{1988} + \dots + a_n^{1988}}$$ hoặc $$\sqrt{a_1^{1989} + a_2^{1989} + \dots + a_n^{1989}}$$

A. I. Shekhorsky

M1145*. Từ điểm $P$ kẻ hai tiếp tuyến PB và PC với đường tròn và $\angle BPC > 90^\circ$. Lấy điểm A trên cung nhỏ BC. Chứng minh diện tích tam giác cắt khỏi góc BPC bởi tiếp tuyến với đường tròn tại điểm A không vượt quá diện tích tam giác ABC.

V. Yu. Progasov

F1148. Một hình trụ có một sợi ren quấn quanh, đầu thứ hai được cố định, được đặt trên một mặt phẳng nghiêng nhẵn tạo một góc $\alpha$ với đường chân trời, như hình hình 1. Tại thời điểm sợi dây thẳng đứng, tốc độ góc quay của hình trụ bằng $\omega$. Xác định giá trị bằng nhau ở thời điểm này: a) vận tốc của trục hình trụ; b) tốc độ của một điểm trên hình trụ chạm vào mặt phẳng nghiêng. Bán kính của hình trụ là $R$.

S. S. Krotov

F1149. Những dây dẫn bằng đồng mỏng, trần, dài được ném ngẫu nhiên vào đường ray của đường ray đồ chơi, đóng đường ray lại. Ước tính điện trở giữa các thanh ray nếu khoảng cách giữa chúng là $l = 5$ cm, đường kính của dây dẫn là $d = 0,2$ mm, chiều dài của nó là $h = 30$ cm, dây dẫn bị ném $N = 100$.

A. P. Zilberman

F1150. Một vật được cung cấp một loại khí đơn nguyên tử lý tưởng được bao bọc bên trong một bong bóng dầu. Tìm nhiệt dung của khí (trên 1 mol) trong quá trình này, nếu có thể tránh được áp suất của bong bóng.

A. A. Sheronov

F1151*. Vôn kế tĩnh điện là một tụ điện phẳng, một trong các bản của nó