Cân bằng của hệ cơ học và phương pháp chuyển vị ảo

45

Vật lý 8, 9, 10

Ghi chú “Sự cân bằng của một hệ cơ học và phương pháp chuyển vị ảo” được công bố dưới đây dành cho trẻ 8 tuổi, ghi chú “Một chất có bao nhiêu trạng thái?” - dành cho học sinh lớp chín, “Một số thay đổi liên quan đến hiệu ứng ảnh” - dành cho học sinh lớp mười.

Cân bằng của hệ cơ học và phương pháp chuyển vị ảo

Ông nói rằng để xây dựng một trong những nhà thờ ở Thụy Sĩ, kiến ​​trúc sư của nó đã tìm thấy những khối đá cho phép ông nâng những vật nặng đặc biệt lên tầm cao. Ông đã thiết kế một tời xích rất phức tạp, nhưng lại bối rối trước vô số lực căng của dây cáp và không bao giờ có thể tính toán cần thuê bao nhiêu người để bảo trì nó. Để được giúp đỡ, kiến ​​trúc sư đã tìm đến nhà khoa học nổi tiếng Juhann Bernoulli (1667-1748). Hãy tưởng tượng sự ngạc nhiên của kiến ​​trúc sư khi Bernoulli, vừa mới nhìn vào bản vẽ, đã ngay lập tức đưa ra đáp số. Kiến trúc sư kinh ngạc xin tiết lộ bí quyết tính toán cột trụ…

Chúng ta cũng hãy thử (theo Bernoulli) thảo luận về các điều kiện cân bằng của một hệ cơ học từ một vị trí hơi khác so với vị trí đã được thực hiện trong chương tiếp theo của sách giáo khoa phổ thông “Vật lý 8”.

Rõ ràng, để tìm ra các điều kiện cân bằng của một hệ thống, các phản lực của các kết nối cơ học được điều khiển *). Các kết nối thường được gọi là những hạn chế được áp đặt đối với vị trí của các bộ phận riêng lẻ của hệ thống hoặc khả năng chuyển động của chúng.

*) Xem bài viết của A. I. Chernoutsan “Các kết nối động học trong các bài toán đường kính” trong số thứ hai của tạp chí năm 1988.

46

Ví dụ về các kết nối cơ học bao gồm một ren mà tải được treo trên đó, một bản lề kết nối các bộ phận riêng lẻ của một cơ cấu, một mặt phẳng đặt phần thân của hệ thống, v.v. Càng có nhiều kết nối trong một hệ thống (ví dụ: các ren trong khối ròng rọc do kiến ​​trúc sư của chúng tôi thiết kế), thì việc giám sát hoạt động của tất cả các phản lực phát sinh trong chúng càng khó khăn hơn.

Trong nhiều trường hợp, các kết nối cơ học có một số tính chất đáng chú ý mà Bernoulli đã sử dụng làm cơ sở cho phương pháp đơn giản và tinh tế của ông nhằm tìm ra các điều kiện cân bằng của một hệ cơ học. Tính chất này nằm ở chỗ tổng công của tất cả các phản lực phát sinh trong mối liên hệ của hệ đối với mọi sai lệch có thể đủ nhỏ so với vị trí cân bằng đều bằng 0.

Ở đây cần phải quy định cụ thể ý nghĩa của “bất kỳ sai lệch đủ nhỏ nào có thể xảy ra” của hệ so với vị trí cân bằng. Tất nhiên, trước hết, chuyển động của các điểm trong hệ thống xác định những sai lệch đó không được mâu thuẫn với các kết nối cơ học (các sợi không bị sờn, bản lề không bị gãy). Những chuyển động như vậy được gọi là nổi lên, hay ảo (có nghĩa là tinh thần). Chúng cần được phân biệt với các chuyển động thực sự xảy ra dưới tác động của các lực tác dụng. Các chuyển vị ảo không liên quan đến quá trình chuyển động của hệ - chúng chỉ được đưa vào nhằm xác định sự tương ứng của các lực tồn tại trong hệ và thiết lập các điều kiện cân bằng. Cần một lượng dịch chuyển nhỏ để các lực phản ứng có thể được coi là không thay đổi.

Các kết nối mà tổng công cơ bản của các phản lực đối với bất kỳ chuyển vị ảo nào bằng 0 được gọi là lý tưởng. Chúng tôi nhấn mạnh rằng không phải tất cả các kết nối đều lý tưởng. Vì vậy, nếu các phần của hệ nằm trên một mặt phẳng có ma sát, thì kết nối (mặt phẳng) này không còn lý tưởng nữa.

Chúng ta hãy xem xét cách thực hiện tính chất của các kết nối lý tưởng bằng cách sử dụng ví dụ về hệ thống các điểm tạo thành một vật rắn tuyệt đối. Bất kỳ điểm $A$ nào của vật đó đều được kết nối với tất cả các điểm khác bằng phản lực. Chúng ta hãy chọn một số điểm $B$ và biểu thị các phản lực tác dụng giữa các điểm bằng $\vec{F}_{AB}$ và $\vec{F}_{BA}$ (lực đầu tiên được áp dụng cho điểm $A$, lực thứ hai - đến $B$). Chúng ta hãy tạm quên tất cả các điểm khác trên cơ thể, ngoại trừ hai điểm được đánh dấu. Khi đó chúng ta còn lại một hệ gồm hai vật liệu điểm được nối với nhau bằng một thanh cứng không tương thích. Theo định luật thứ ba của Newton,

$$\vec{F}_{AB} = -\vec{F}_{BA}.$$

Bây giờ chúng ta hãy thực hiện một số chuyển động ảo của các điểm $\Delta s_A$ và $\Delta s_B$ này. Chúng ta có thể giả sử rằng $\Delta s_A$ là chuyển vị tịnh tiến của toàn bộ vật rắn, chung cho tất cả các điểm và $\Delta s_B = \Delta s_A + \Delta s'$, trong đó $\Delta s'$ là chuyển vị tương ứng với biểu thức của điểm $B$ so với điểm $A$. Tổng công do các phản lực thực hiện trong quá trình dịch chuyển ảo này là

$$\Delta A = (\vec{F}_{AB} \cdot \Delta s_A) + (\vec{F}_{BA} \cdot \Delta s_B) = \left( (\vec{F}_{AB} + \vec{F}_{BA}) \cdot \Delta s_A \right) + (\vec{F}_{BA} \cdot \Delta s').$$

Số hạng đầu tiên ở vế phải của đẳng thức này bằng 0 do điều kiện (*). Thuật ngữ thứ hai cũng bằng 0, vì độ dịch chuyển $\Delta s'$, tương ứng với biểu thức của điểm $B$ so với điểm $A$, vuông góc với lực $\vec{F}_{BA}$, lực này hướng dọc theo đường thẳng nối các điểm $A$ và $B$. Theo cách tương tự, có thể chứng minh rằng công ảo (tức là tổng công trong các chuyển vị ảo) của các phản lực đối với bất kỳ vật rắn nào khác đều bằng không. Do đó, bằng cách xem xét ví dụ, chúng tôi đã bị thuyết phục về tính hợp lệ của tính chất được thảo luận về các kết nối lý tưởng.

Để cuối cùng xây dựng được một nguyên lý cân bằng mới, chúng ta vẫn phải xem xét tác dụng ảo của các ngoại lực. Lưu ý rằng mỗi ngoại lực tác dụng lên hệ ở điều kiện cân bằng phải cân bằng với các phản lực gây ra bởi