Phân số - lạc đà - sàn gỗ

30

PHÂN SỐ - LẠ ĐẠO -
SỞ HỮU

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
V. L. GUTENMACHER

Điều thường xảy ra là cùng một phép toán bài toán xuất hiện một cách tự nhiên trong các tình huống hiện đại - từ câu đố đến các phép tính ứng dụng. Hôm nay chúng ta gần như đang nói về một trong những bài toán này.

Số học bài toán

Tìm tất cả các bộ tứ số tự nhiên (p, q, r, s) sao cho đẳng thức ở bên phải là

$$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r} + \frac{1}{s} = 1.$$

Chúng tôi sẽ giả định rằng $p \leq q \leq r \leq s$. Khi đó số nhỏ nhất - $p$ - không lớn hơn 4 (nếu không thì $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r} + \frac{1}{s} < 1$) và tất nhiên không nhỏ hơn 2. Do đó, chúng ta cần xét ba trường hợp: $p=2$, $p=3$, $p=4$.

Hãy để $p=2$. Sau đó $\frac{1}{q} + \frac{1}{r} + \frac{1}{s} = \frac{1}{2}$. Hãy ước tính lại số nhỏ nhất - $q$. Nó không thể nhiều hơn 6 (nếu không thì $\frac{1}{q} + \frac{1}{r} + \frac{1}{s} < \frac{1}{2}$) và ít nhất phải là 3.

Bây giờ vào đẳng thức $\frac{1}{q} + \frac{1}{r} + \frac{1}{s} = \frac{1}{2}$ chúng ta thay thế bốn khả năng

32

tương ứng bằng $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{7}$*). Thẩm phán thêm một trong những con lạc đà của mình (hóa ra là 42) và chia lần lượt 21, 14, 6 con lạc đà cho hai anh em (tổng cộng là 41 con) và đưa con lạc đà của anh ta về.

Thực tế bài toán

Cách đơn giản nhất trong các loại sàn gỗ “thông thường” là chia mặt phẳng thành các hình vuông (hình 1). Thật thú vị khi biết có bao nhiêu tấm sàn như vậy: mỗi đỉnh của tấm sàn liền kề với bốn đa giác đều và tất cả các đỉnh của thiết bị đều giống nhau (điều sau có nghĩa là tấm sàn có thể được di chuyển sao cho bất kỳ
*) Bốn số đầu tiên nổi bật so với tất cả các số còn lại ở chỗ nó chứa nhiều số nhất - 42, với 42 = 2·3·7. Trong số các bộ ba số có tổng nghịch đảo là 1, phần đầu của bộ tứ của chúng ta có cùng tính chất: (2, 3, 7). Hóa ra trong số paterok sẽ có (2, 3, 7, 43, 1806), trong đó 1806 = 2·3·7·43; trong số sáu - (2, 3, 7, 43, 1807, 3263443), và sau đó nó sẽ giống nhau. Đây là một định lý rất khó mà các độc giả lớn tuổi của chúng tôi đã gặp trong số 7 của tạp chí «Kvant» năm 1987 trong bài “Phân vùng các đơn vị”.

Nếu đỉnh đã cho của nó đi đến bất kỳ đỉnh nào khác và tất cả các đường thẳng đều trùng nhau). Đây là một bài toán hoàn toàn thiết thực.

Chúng ta biết rằng tổng các góc của một $n$-giác đều là $180^\circ(n-2)$ và một góc của nó bằng

$$\frac{180^\circ(n-2)}{n} = 180^\circ - \frac{360^\circ}{n}.$$

Hãy để các góc của bốn đa giác đều được kết hợp ở đỉnh của sàn gỗ: $p$-gon, $q$-gon, $r$-gon và $s$-gon. Tổng của bốn góc này phải là $360^\circ$. Hãy viết điều kiện này:

$$180^\circ - \frac{360^\circ}{p} + 180^\circ - \frac{360^\circ}{q} + 180^\circ - \frac{360^\circ}{r} + 180^\circ - \frac{360^\circ}{s} = 360^\circ.$$

Dễ hiểu rằng sự đẳng thức này dẫn tới sự tương ứng quen thuộc

$$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r} + \frac{1}{s} = 1.$$

33

Nếu chúng ta giả sử rằng $p \leq q \leq r \leq s$, thì chúng ta biết cả bốn điều này - có 14 điều trong số đó. Vì chúng ta đang nói về đa giác, chúng ta cần loại bỏ bốn đa giác đó ở vị trí $p=2$. Sẽ còn bốn bốn:

(4,4,4,4), (3,4,4,6), (3,3,6,6), (3,3,4,12).

Hình tứ giác đầu tiên tương ứng với một sàn gỗ có các hình vuông giống hệt nhau (mỗi đỉnh liền kề với 4 hình tứ giác đều - xem hình 1).

Bốn thứ hai (3,4,4,6) đại diện cho hai khả năng xây dựng phần trên (hình 2, $a$, $\delta$), nhưng đối với sàn gỗ chính xác, bạn chỉ có thể hoàn thành sàn gỗ ở hình 2, $a$ - hóa ra là hình 2, $\delta$.

Bốn phần thứ ba (3,3,6,6) cũng tương ứng với hai cách sắp xếp đa giác:

Cột thu lôi, chính trị và…
mũ

(Để bắt đầu, xem trang 13)

Sĩ quan truyền thông Séc Prokop Diviš theo các quy tắc của tipula không chính thức “pháp sư điện” (magus electricus). Năm 1754, ông chế tạo cột thu lôi đầu tiên ở châu Âu và ông đã phát minh ra nó một cách độc lập với Franklin. Nhưng hãy tua nhanh về một vài năm trước.

Năm 1750, giáo sư người Vienna Joseph Franz quyết định cho Divish xem trải nghiệm về điện của mình. Franz có một máy phát điện tĩnh điển hình vào thời đó - một quả cầu thủy tinh có thể đo được với dây dẫn (ổ cắm) ở dạng ống hoặc thanh kim loại treo trên dây lụa. Để kiểm tra bất kỳ thí nghiệm điện nào, cần phải quay một quả cầu thủy tinh, sau đó quả cầu này được nhiễm điện nhờ ma sát và truyền đến sàn gỗ.

Divish đến gặp Franz trong bộ tóc giả theo yêu cầu của thời trang. Nhưng bộ tóc giả có một bí mật: nó được bao phủ khắp người bằng những mảnh dây thép. Từ lâu, người ta đã biết rằng sự vắng mặt của kim loại sẽ “lấy đi điện” (đây là một trong những hiện tượng dựa trên hoạt động của cột thu lôi). Dựa đầu vào người soát vé, Divish nhờ đó đã chuyển hướng tàu điện. Có lẽ, Divish đã trải qua những sai lầm khó chịu, khiến một cặp đôi rơi xuống đất xuyên qua cơ thể anh ta, nhưng tại sao không chịu đựng điều đó chỉ vì một trò đùa vui vẻ!

ki! Franz không an toàn: anh ta không thể tính phí cho người soát vé. Anh ta không bao giờ có thể làm ngạc nhiên “pháp sư điện”.

Nếu Divish thực hiện việc vay mượn từ việc cắt dây (tất nhiên là theo cách ẩn giấu), thì anh ta đã tránh được những sai lầm đáng xấu hổ. Một ý tưởng kiểu này nảy sinh vào nửa sau thế kỷ 18. Chúng ta đang nói về một chiếc mũ cột thu lôi. hình (xem trang 2 của trang bìa) trưng bày những người mẫu Paris với khả năng chống sét cá nhân dưới dạng dây xích ở giữa kéo xuống ngón chân từ một thanh kim loại gắn trên mũ. Vào thế kỷ 18, đây không phải là chuyện đùa.

L. N. Krizhanovsky