Viện Vật lý và Công nghệ Moscow

72

Viện vật lý Moscow

Toán học
Bài thi viết
Tùy chọn 1

1. Giải bất đẳng thức
   $$\log_2(x+1) < 1 - 2\log_4x.$$
2. Giải phương trình
   $$\sqrt{\frac{1}{2} + \cos x} \sin(2x + \frac{\pi}{4}).$$
3. Các đường chéo BD và AC của tứ giác lồi ABCD vuông góc và cắt nhau tại O, AO=2, OC=3. Điểm K nằm trên cạnh BC có BK:KC=1:2. Tam giác AKD là tam giác đều. Tìm diện tích của nó.
4. Tập M bao gồm các điểm (a; b) của mặt phẳng tọa độ mà $|a| \neq 1$ và phương trình
   $$(3a-4b+15)x^1+(7a-24b+35)x^2+ |a^2-1|+a^2-1=0$$
   có chính xác ba lời giải. Chứng minh rằng một đường tròn có thể nội tiếp trong một đa giác có miền trong là đa giác M, và tìm tọa độ tâm của đường tròn này.
5. Khi tiếp tục, điểm M được lấy là điểm $A_1$ của cạnh $AA_1$ của tam giác đều $ABCA_1B_1C_1$ (ABC là đáy). Qua điểm M và điểm K - chính giữa cạnh BC - kẻ mặt phẳng α cắt cạnh AC tại điểm $K_1$ sao cho góc $KK_1M$ bằng arctan $\sqrt{55}$. Được biết, phần được nhận biết bởi mặt phẳng α - hình vuông điểm $KK_1K_2K_3K_4$, có $K_1K_2 = \frac{7}{2}, KK_1 = \frac{\sqrt{14}}{2}, K_2K_3 = \frac{3}{8}\sqrt{14}$. Tìm khối lượng của lời thú tội.

Tùy chọn 2

1. Giải phương trình
   $$2\mathrm{ctg}x - \frac{1}{\cos x} = \frac{2}{\sin 2x}.$$
2. Chiều cao DK hạ xuống cạnh BC của hình thoi ABCD. Đường chéo AC cắt đường cao DK tại điểm M sao cho DM:MK=13:7. Tìm DK nếu biết AK=17.
3. Bến A nằm dọc sông cao hơn bến B. Từ A và B, đồng thời hướng một chiếc bè và một ca nô máy vào nhau. Khi đến bến tàu A, thuyền máy lập tức quay đầu lại và đuổi kịp chiếc bè tại thời điểm nó đi được $\frac{2}{3}$ khoảng cách giữa A và B. Tìm thời gian chiếc bè đi từ A đến B nếu biết thuyền máy đi từ B đến A và quay về trong 3 giờ.
4. Tìm tất cả các giá trị của p sao cho đồ thị của hàm số
   $$y=x^4-\sqrt{3}x^2+\frac{21p^2}{2^p+3}$$
   có thể vẽ một tiếp tuyến cắt trục tọa độ tại điểm (0; a), trong đó $a \geq \frac{3}{4}2^pp^2+\frac{1}{4}$.
5. Hai hình vuông ABCD và KLMN nằm trong không gian sao cho tâm của hình vuông KLMN trùng với tâm của cạnh AB. Điểm A nằm trên cạnh LM và AM<AL, điểm N cách đều hai điểm B và C. Khoảng cách từ M đến điểm gần nhất của hình vuông ABCD là $2\sqrt{3}$, khoảng cách từ K đến điểm gần nhất của hình vuông ABCD là 5. Tìm độ dài các cạnh của hình vuông ABCD và KLMN và khoảng cách từ điểm N đến mặt phẳng ABCD.

Vật lý
Bài thi viết
Tùy chọn 1

1. Các phi hành gia đáp xuống bề mặt sao Hỏa đã thay đổi chu kỳ quay của con ngựa-