Hình học lời giải phi hình học bài toán

61

Hình học lời giải phi hình học bài toán

I. A. KUSHNIR

Nhiều bài toán đại số và lượng giác có thể được giải bằng hình học. Trong ghi chú này, chúng tôi sẽ đưa ra một số ví dụ về bài toán như vậy.

Đẳng thức số

Bài 1. Chứng minh đẳng thức

a) $\cos \frac{\pi}{5} - \cos \frac{2\pi}{5} = \frac{1}{2}$;

b) $\frac{1}{\sin \frac{\pi}{7}} = \frac{1}{\sin \frac{2\pi}{7}} + \frac{1}{\sin \frac{3\pi}{7}}$

Lời giải. a) Để chứng minh, hãy xét một tam giác đều $ABC$ có các góc $\pi/5, 2\pi/5, 2\pi/5$ (xem hình 1) và vẽ đường phân giác $BD$ của góc $B$. Sau đó $BC=BD=AD$. Để cho chắc chắn, hãy để $BC=1$. Từ các tam giác $ABD$ và $BCD$ chúng ta thu được $AB=2\cos \frac{\pi}{5}, CD=2\cos \frac{2\pi}{5}$, và từ đẳng thức $AD=AB-AC$ sự tương ứng ngay sau đó.

6. Chứng minh tương tự. Chúng ta chỉ cần xét tam giác đều $ABC$ có góc đỉnh $\pi/7$ (xem hình 2) và chiều cao $BB_1=1$. Từ hình tam giác $ABB_1, BDB_1, BCB_1$ có

$$AB=AC = \frac{1}{\sin \frac{\pi}{7}}; \quad BD=AD = \frac{1}{\sin \frac{2\pi}{7}};$$

$$BC = \frac{1}{\sin \frac{3\pi}{7}}.$$

Vẫn cần lưu ý rằng $AC=AD+CD$.

62

Nhiệm vụ 2. Chứng minh rằng
ctg30° + ctg75° = 2.

Lời giải. Xét tam giác cân bằng ABC sao cho
∠A = 30°, AB = AC. Hãy tìm chiều cao của nó BD. Cho BD = 1. Khi đó AB = AC = 2, AD = ctg30°, CD = ctg75° và AD + CD = AC.

Nhiệm vụ 3. Tính tg15°.

Lời giải. Xét tam giác cân bằng ABC từ bài toán trước đó. Khi đó ∠CBD = 15°, AD = √3 và tan15° = CD = 2 - √3.

Bài 4. Tính sin 18°.

Lời giải. Hãy quay lại hình 1. Cho AB = 1, BC = x = 2sin18°. Tìm △BDC ∞ △ABC, ta có
x/1-x = 1/x, từ đó x = -1 + √5/2. Vậy sin18° = √5 - 1/4.

Bài tập 1. Tính a) sin36°; 6) tg36° tg72°.

Nhiệm vụ 5. Chứng minh rằng
sin9° + sin49° + sin89° + … + sin289° + sin329° = 0.

Lời giải. Xét một hình thập giác bằng nhau A₁A₂…Aₙ, tạo thành một đường tròn đơn vị có tâm tại điểm O (xem hình 3). Cho phép
e₁ = OA₁. Khi đó e₁ + e₂ + … + eₙ = 0. Chúng ta yêu cầu độ quen thuộc của n-giác A₁A₂…Aₙ (cos (9° + i40°); sin (9° + i40°)) bằng 0.

Bài tập
2. Chứng minh rằng với mọi n-giác A₁…Aₙ thì tổng tất cả các vectơ e₁ = OA₁ đều bằng 0 (O là tâm đường tròn ngoại tiếp của n-giác A₁A₂…Aₙ).