Olympic Toán toàn Liên đoàn lần thứ XXIII

65

Olympic Toán Quốc gia lần thứ XXIII

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
V. V. VAVILOV,
Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
S. V. REZNICHENKO

Trong giai đoạn cuối cùng của Olympic Toán học toàn Liên minh XXIII, được tổ chức từ ngày 15 tháng 4 đến ngày 22 tháng 4 năm 1989 tại Riga, 30 đội đã tham gia: 14 đội tài nguyên đồng minh, một đội từ mỗi khu trong số bốn khu vực của RSFSR, các đội từ Moscow, Leningrad, Riga và vùng Riga và 8 đội trường nội trú chuyên biệt tại các trường đại học hàng đầu của đất nước - 164 học sinh (48 học sinh lớp tám, 62 học sinh lớp chín và 54 học sinh lớp mười).

Như thường lệ, người tham gia Olympic được thưởng 4 bài toán trong mỗi hai vòng, với lời giải trong đó có 5 giờ được phân bổ. Đánh giá độ phức tạp của bài toán được đề xuất theo điểm được đưa ra trong Bảng 1.

Trong Bảng 1, điểm số mô tả độ khó tương đối bài toán trong một lớp. Nhìn chung, như kết quả kiểm tra cho phép chúng tôi kết luận, nhiệm vụ của học sinh lớp 8 hóa ra quá khó; Bài tập lớp 9, 10 cân đối tốt cả về độ phức tạp và chủ đề; các sinh viên thích chúng, bằng chứng là kết quả kiểm tra. Bạn có thể tìm thấy cách những người tham gia đối phó với các nhiệm vụ của Olympic trong Bảng 2, trong đó cho thấy số học sinh đã giải được từng nhiệm vụ trong số bài toán.

Khi kết thúc phần kiểm tra, mỗi người tham gia Olympic có thể làm quen với công việc của mình và thảo luận với các thành viên ban giám khảo về những sai sót của mình, đánh giá và thực hiện công việc của các thanh tra viên. Đồng thời, đôi khi việc đánh giá công việc cũng thay đổi. Bảng 3 trình bày số liệu về số người chiến thắng ở mỗi lớp.

Bảng 1

Nhiệm vụ
Lớp học
1 2 3 4 5 6 7 8
Tổng

8 7 6 10 7 6 8 8 8 60
9 5 6 10 9 6 7 8 9 60
10 5 7 9 9 5 7 8 10 60

Bảng 2

Nhiệm vụ
Lớp học
1 2 3 4 5 6 7 8

8 13 24 5 14 23 6 7 10
9 49 22 6 16 34 25 14 15
10 47 40 7 8 47 31 23 7

Bảng 3

Lớp học
8 9 10

Phần thưởng
I 3 4 2
II 9 10 11
III 9 11 7

Giấy chứng nhận, giải đặc biệt

66

Người đi du lịch bằng máy tính.

cuộc gặp gỡ truyền thống của học sinh với các thành viên ban biên tập tạp chí «Kvant», một trận chiến toán học giữa các đội học sinh và zhorny. Lần đầu tiên, một chuyến tham quan máy tính được tổ chức với sự tham gia của 112 học sinh - tất cả những ai muốn tham gia.

Công việc của Thế vận hội đã được báo chí, đài phát thanh và truyền hình địa phương đưa tin. Chương trình văn hóa của Thế vận hội bao gồm các chuyến du ngoạn đến Rita, đến các thành phố Jurmala, Jelgava và Bauska, đến công ty nông nghiệp Aji, đến Bảo tàng Dân tộc học và Lâu đài Rundāle.

Nhìn chung, Olympic được tổ chức có trình độ khoa học, bài bản cao và được tổ chức tốt. Điều này được hỗ trợ rất nhiều nhờ trình độ chuyên môn cao của các nhà tổ chức đến từ Latvia, đặc biệt là công việc chính xác của Ban tổ chức chuẩn bị cho giai đoạn cuối của Thế vận hội, do Chủ tịch Thứ trưởng thứ nhất Bộ Giáo dục Công cộng của Liên Xô Latvia, đồng chí Kubuli- đứng đầu.

Nya B. A. Tôi muốn nói những lời biết ơn tới tất cả những người đã giúp tổ chức và điều hành Thế vận hội 89, đặc biệt là nhà tài trợ cho Thế vận hội, hợp tác xã tích hợp “Inter”.

Chúng tôi xin giới thiệu bài toán của vòng chung kết.

Ngày đầu tiên
lớp 8

1. Mỗi người trong số bảy chàng trai đã đến quán kem 3 lần vào ngày Chủ nhật. Được biết, hai người họ đều gặp nhau gần chiếc knisk. Chứng minh rằng tại một thời điểm nào đó có ít nhất ba cậu bé gặp nhau gần chiếc dao cùng một lúc.

A. Anjan
2. Có 77 thanh thẳng có kích thước 3x3x1. Có thể đặt tất cả các thanh này vào một hộp vuông 7x9x11 (hộp có nắp) không?

A. Berzinysh
3. Gọi M là điểm tiếp tuyến của đường tròn nội tiếp tam giác ABC trên cạnh AB, T là một điểm tùy ý trên cạnh BC khác với đỉnh. Chứng minh rằng ba đường tròn nội tiếp các tam giác BMT, MTA và ATC tiếp xúc với một đường thẳng.

A. Anjan
4. Số tự nhiên N có đúng 12 ước số (gồm 1 và N). Hãy xếp chúng theo thứ tự tăng dần: $d_1 < d_2 < ... < d_{12}$. Được biết, ước số có số $d_4$ - 1 bằng tích $(d_1 + d_2 + d_4)d_8$. Tìm số N

A. Berzinysh
lớp 9

1. Có 2000 đồng xu, trong đó có hai đồng tiền giả: một đồng nhẹ hơn đồng thật và đồng kia nặng hơn. Làm thế nào bạn có thể xác định, sau khi cân nhiều lần trên một chiếc cân không có quả cân, cái nào lớn hơn: tổng trọng lượng của hai đồng tiền giả hay tổng trọng lượng của hai đồng tiền thật; hoặc những trọng lượng này có bằng nhau không?

S. Avgustovich
2. Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác và a+b+c=1 thì bất đẳng thức đúng
$$a^2 + b^2 + c^2 + 4abc < \frac{1}{2}.$$

D. Tereshin
3. Trên các cạnh AB và CD của tứ giác lồi ABCD lấy các điểm K và M. Gọi L là giao điểm của các đoạn AM và KD, N là giao điểm của các đoạn KC và BM.

a) Chứng minh rằng nếu K và M là trung điểm của AB và CD thì $S_{KLMN} < \frac{1}{3} S_{ABCD}$.

6. Chứng minh rằng nếu AK:KB=CM:MD=m:n thì
   $$S_{KLMN} < \frac{mn}{m^2 + mn + n^2} S_{ABCD}.$$

D. Tereshin

67

4. Hình vuông $1 \times 1, 2 \times 2, 3 \times 3$ được sử dụng để tạo hình vuông $23 \times 23$. Có thể sử dụng số hình vuông nhỏ nhất $1 \times 1$ là bao nhiêu?

N. Agakhanov

lớp 10

1. Với số tự nhiên nhỏ nhất $n$ thì phương trình là bao nhiêu

$$\left[ \frac{10^n}{x} \right] = 1989$$

có số nguyên lời giải đến $[a]$ biểu thị phần nguyên của số $a$, tức là số nguyên lớn nhất mà không vượt quá nó $a$?

S. Gashkov

2. Trên các cạnh $AB, BC$ và $AC$ của tam giác $ABC$ lần lượt lấy các điểm $D, E$ và $F$ sao cho $DE=BE$ và $FE=CE$. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADF$ nằm trên đường phân giác của góc $DEF$.

B. Protasov

3. Trên một trong hai hình cầu giao nhau đã cho, các điểm $A$ và $B$ được lấy, mặt khác, các điểm $C$ và $D$ được lấy. Đoạn $AC$ đi qua điểm chung của hình cầu. Đoạn $BD$ đi qua một điểm chung khác của hình cầu và song song với đường chứa tâm của hình cầu. Chứng minh rằng hình chiếu của các đoạn $AB$ và $CD$ lên đường thẳng $AC$ bằng nhau.

H. Ballszin

4. Hai khách du lịch ở cùng độ cao (trên không) tại các điểm $A$ và $B$, nằm ở hai phía đối diện của dãy núi. Đường đi dọc theo các điểm nối đèo $A$ và $B$ có dạng một đường đứt nét, tất cả các đỉnh đều nằm trên hai đầu của nó $A$ và $B$. Cả hai người đi bộ có thể đi qua toàn bộ con đèo trong khi vẫn ở cùng độ cao vào bất kỳ thời điểm nào không?

E. Abakumov, D. Fomin

Ngày thứ hai

lớp 8

5. Có 8 quân cờ được đặt trên một bàn cờ sao cho mỗi hàng ngang và mỗi hàng dọc có một quân. Chứng minh rằng có một số chẵn quân cờ trên các ô vuông màu đen của bàn cờ vua.

B. Protezovol

6. Trên các cạnh $AB, BC$ và $CA$ của tam giác $ABC$, các điểm $C_1, A_1$ và $B_1$, khác với các đỉnh của tam giác, lần lượt được đánh dấu bằng màu xanh lá cây và màu đỏ. Hóa ra là $\frac{AC_1}{C_1B} = \frac{BA_1}{A_1C} = \frac{CB_1}{B_1A}$ và $\angle BAC = \angle B_1A_1C$. Chứng minh tam giác có đỉnh màu xanh đồng dạng với tam giác $ABC$.

H. Ballszin

7. Ở một số vị trí có $n \geq 3$ chuồng chim và mọi khoảng cách giữa các chuồng chim đều khác nhau. Mỗi chuồng chim đều có một con sáo đá. Tại mỗi thời điểm, một số con rời khỏi chuồng chim của mình và bay đến những chuồng chim khác để lại có một con sáo trong mỗi chuồng chim. Hơn nữa, nếu khoảng cách giữa mỗi cặp chim sáo nhỏ hơn khoảng cách giữa một cặp chim sáo khác (một con sáo có thể đọc theo các cặp khác nhau), thì sau chuyến bay, khoảng cách giữa các cặp chim sáo sẽ lớn hơn.

f(n) = f(f(n-1)) + f(f(n+1))?

E. Barabanoov, I. Voronovich

8. Cho một đa giác lồi. Độ dài của đoạn bất kỳ nối đỉnh của đa giác này với một điểm nào đó trên biên của nó và diện tích của nó bị chia đôi, không vượt quá 1. Chứng minh rằng diện tích của đa giác nhỏ hơn $\frac{\pi}{4}$.

S. Anisov, D. Tulykov