Giới thiệu về bida tam giác

30

Tín hiệu điốt, không có hình ảnh quang học. Đây là một nghĩa vụ.

Người định cư, Kanta

phạm vi mét) khúc xạ cũng xảy ra, nhưng điều này đáng trách hơn, vì hành vi của chiết suất ảnh hưởng đối với các cột có bước sóng khác nhau khác nhau đáng kể. Điều này có nghĩa là ánh sáng từ Mặt trăng đến với chúng ta “dọc theo một đường cong” và sóng vô tuyến dọc theo một đường cong khác, do đó hình ảnh quang học và “hình ảnh vô tuyến” không trùng nhau. Nhân tiện, chúng tôi xin lưu ý rằng nếu ăng-ten không tốt lắm (với khả năng định hướng kém hơn) thì hiện tượng được mô tả có thể đã không xảy ra.

A.R. Zilberman

Giới thiệu về bida tam giác

Trong ghi chú này, bổ sung cho bài viết của G. A. Galperin và A. M. Stepin “Chuyển động tuần hoàn của quả bi-a” («Kvant» Số 3, 1989), chúng tôi sẽ mô tả thêm một số kỹ thuật xây dựng quỹ đạo tuần hoàn trong bida tam giác, cụ thể là chúng tôi sẽ giải bài toán M1155. Chúng ta hãy nhớ lại các điều kiện của nó.

M1155. Một điểm chuyển động theo một tam giác, phản xạ từ một cạnh của nó theo định luật “góc tới bằng góc phản xạ”. Định kỳ là quỹ đạo của điểm này là một đường đứt nét khép kín và không đi qua các đỉnh của tam giác.
a) Chứng minh rằng không có tam giác nào có các cạnh khác nhau chứa quỹ đạo tuần hoàn bốn khâu.

Có tam giác nhọn nào có quỹ đạo tuần hoàn 6) gồm 5 khâu không? c) từ 7 liên kết?

Câu a) của bài toán này được chứng minh bằng phản chứng. Giả sử rằng trong một tam giác nhất định có một quỹ đạo tuần hoàn bốn khâu. Khi đó, hai trong số bốn điểm gãy A, B, C, D của nó nằm ở một cạnh của tam giác và hai điểm còn lại không nằm ở cạnh này. Ví dụ: đặt các điểm B và D nằm trên cạnh MN của tam giác (vị trí có điều kiện của điểm ngắt được hiển thị trên hình 1). Người ta biết rằng trên đường thẳng MN chỉ có một điểm X, trong đó $\angle AXM = \angle CXN$ - cấu trúc của nó được thể hiện trong hình 2. Do đó, điểm B và D trùng nhau, và quỹ đạo của chúng ta trở thành một liên kết đôi, điều này cho phép chúng ta thực hiện những điều sau:

mâu thuẫn với giả định đã đưa ra. Đáp số cho cả hai câu hỏi 6) và c) khẳng định; ví dụ về việc xây dựng các phương pháp làm thẳng được thảo luận trong.state đã đề cập.

Chúng ta xây dựng một quỹ đạo tuần hoàn gồm 5 mắt xích (nhiệm vụ 6) trong tam giác nhọn ABC có $\angle B < \pi/4$. Phản ánh nó đối xứng với cạnh BC, chúng ta kéo dài cạnh BA’ của tam giác thu được A’BC đến giao điểm tại điểm C’ với sự tiếp nối của cạnh AC của tam giác ban đầu (hình 3, a). Dễ dàng nhận thấy rằng tam giác thu được $\angle ABC'$ là các góc nhọn ($\angle ABC' = 2\angle B < \pi/2, \angle C' < \angle BCA < \pi/2$), và do đó có một quỹ đạo tuần hoàn trong đó, các điểm gãy H1, H2, H3 trong số đó là đáy của các đường cao của tam giác ABC’ (phát biểu này đã được chứng minh trong phần đã đề cập ở trên).

31

bài viết này). Lưu ý rằng chiều cao $BH_3$ cũng là chiều cao trong tam giác $ABC$, do đó điểm $H_3$ nằm bên trong đoạn $AC$ chứ không nằm trên phần tiếp theo của nó $CC'$ (như nó có thể xuất hiện). Ngoài ra, $H_2 \in BA'$. Bây giờ đã phản xạ đối xứng với đường thẳng $BC$ phần của quỹ đạo ba vân $H_1H_2H_3$ nằm bên ngoài tam giác $ABC$, chúng ta thu được quỹ đạo tuần hoàn 5 vạch trong $\triangle ABC$. Một quỹ đạo tuần hoàn 5 khâu khác cũng thu được theo cách tương tự, nếu trước tiên bạn tạo ảnh phản chiếu của tam giác $ABC$ so với cạnh $AC$.

Tương tự, xây dựng một tam giác nhọn $ABC$, chứa quỹ đạo tuần hoàn 7 khâu (nhiệm vụ $\theta$): nếu $\angle B < \pi/6$ thì cần tạo hai hình phản xạ gương của tam giác $ABC$ quanh đỉnh $B$ ngược chiều kim đồng hồ, kéo dài cạnh $BA''$ của hình thu được $\Phi = BAA'A''$ đến giao điểm tại điểm $C'$ với sự tiếp tục của cạnh $AC$ và xây dựng một quỹ đạo tuần hoàn ba gân $H_1H_2H_3$ trong tam giác nhọn $ABC'$, hoàn toàn nằm trong hình $\Phi$ (hình 3, 6) (Sự thuộc về quỹ đạo $H_1H_2H_3$ với hình $\Phi$ rất dễ chứng minh - chúng ta để lại điều này cho người đọc.) Sau đó, gấp hình $\Phi$ thành một đàn xếp ba lớp, tức là thực hiện các phản xạ nghịch đảo liên tiếp của các tam giác đối xứng gương cùng với các phần của quỹ đạo $H_1H_2H_3$ nằm trong chúng, chúng ta thu được quỹ đạo tuần hoàn 7 khâu trong $\triangle ABC$. Bạn sẽ nhận được một quỹ đạo 7 liên kết khác nếu bạn thực hiện phản xạ

32

Điều này có nghĩa là qua $E$ điểm giao nhau của đoạn $A'B'$ với đường $AC$. Vì trong tam giác $A'EC$ góc $A'EC$ bằng nhau
$$\pi - (\alpha + (\pi - 2\beta)) = = 2\beta - \alpha > \frac{2\pi}{3} - \alpha > > \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{8} > \frac{\pi}{2},$$
điểm $C'$, là điểm đối xứng $C$ so với $A'B'$, nằm bên dưới đường thẳng $AC$. Hóa ra đường thẳng $A'C'$ nghiêng về bên trái, tức là góc $\angle A'DC$ là nhọn: $\angle A'DC = \pi - (2\alpha + (\pi - 2\beta)) = 2(\beta - \alpha) < 4\alpha < \pi/2$. Từ điều kiện trên $\alpha$ suy ra góc $F'AC$ cũng nhọn.
Chúng ta hãy chứng minh rằng trong tam giác dựng $AND$ được hình thành bởi các đường thẳng $AD$, $AF'$ và $DA'$, đáy có chiều cao $H_1$ hạ xuống $AD$ lấy đoạn $AC$. Giá trị hiệu quả, như chúng ta đã thấy, là $\angle A'DA < 4\alpha = \angle F'AD$, vì vậy chỉ cần lưu ý rằng $CD < AC$ là đủ. (Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì trong tam giác $A'CD$
$$\angle A'DC = 2\beta - 2\alpha > > 2\pi/3 - 2\alpha > \pi/2 - 2\alpha > > 4\alpha - 2\alpha = 2\alpha = \angle CA'D,$$
do đó $AC = A'C > CD$.)
Gọi $H_2$ và $H_3$ là đáy của đường cao bị bỏ qua bởi các cạnh của tam giác $AND$. Mỗi góc của tam giác $AND$ tại các đỉnh $A$ và $D$ khác với $\frac{\pi}{2}$ nhỏ hơn 0,004 (kiểm tra!), vì vậy đoạn $H_2H_3$ sẽ vượt qua điểm $B$. Hình $\Phi$, gồm 7 hình tam giác bằng $\triangle ABC$ (xem hình 4), sẽ được đặt “kiểu đàn accordion” trên $\triangle ABC$ (như bước 6) bài toán M1155). Trong trường hợp này, quỹ đạo tuần hoàn $H_1H_2H_3$ trong $\Phi$ sẽ biến thành quỹ đạo tuần hoàn $l$ trong tam giác $ABC$, gồm 15 liên kết, theo yêu cầu.
Lưu ý rằng quỹ đạo được xây dựng $l$ là ổn định: điều này có nghĩa là với một chút biến dạng của tam giác $ABC$, nó sẽ biến thành quỹ đạo tuần hoàn 15 liên kết gần với $l$.
Việc xây dựng được mô tả có thể được khái quát. Hãy bắt đầu với một tam giác phụ $\Delta_0$ có đáy $AC$ và các góc nhọn $\alpha$, $\beta$ ở đáy để tạo nên một chuỗi các hình tam giác
$$\Delta - 2l, \Delta - 1, \Delta_0, \Delta_1, \dots, \Delta_{2k},$$
giao nhau với đường ngang $AC$ và nửa mặt phẳng trên, và các tam giác lân cận của chuỗi có một cạnh chung và đối xứng với nó. Vì kết quả của việc áp dụng hai đoạn thẳng liên tiếp đối với các trục không song song là một phép quay, nên tam giác $\Delta - 2l$ được quay so với $\Delta_0$ một góc nào đó $n_1\alpha + n_2\beta + n_3\pi$; tương tự, tam giác $\Delta_2k$ được quay so với tam giác $\Delta_0$ một góc $m_1\alpha + m_2\beta + m_3\pi$. Giả sử các cặp số chuỗi ($n_1, n_2$) và ($m_1, m_2$) không cân xứng thì các tam giác $\Delta - 2l$ và $\Delta_2k$ có các cạnh vuông góc với đường thẳng $AC$ và không có đỉnh nào khác của các tam giác chuỗi trên đường thẳng này ngoại trừ $A$ và $C$. Sau đó, hóa ra là dù thay đổi góc $\alpha$ và $\beta$ nhỏ đến đâu, người ta cũng có thể thu được các hình tam giác $ABC$ với quỹ đạo tuần hoàn ổn định. Cụ thể, nếu $\Delta_0$ là tam giác vuông có $\alpha = \pi/8$, $\beta = 3\pi/8$ thì tam giác được lấy từ ký hiệu khoảng cách và đối với $\alpha = \pi/2k$, $\beta = \pi/2l$ - tam giác được lấy từ stata ở «Kvant» Số 3 (xem hình 12 trong bài viết này).

G. A. Galperin, A. M. Stepin