Вычисление объёмов с помощью принципа Кавальери

9

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМОВ
С ПОМОЩЬЮ ПРИНЦИАКА КАВАЛЬЕРИ

В. Л. Рабинович

Что такое объем? Как вычислить объем конкретного тела? Уже для ответа на первый из этих вопросов даже для такого «простого» случая, как прямогольный параллелипед, хотя бы одно из измерений которого не созмеримо с фиксированной единицей длины, приходит пользоваться расужением, связанным в той или иной форме с переходом к предлу беконечной последовательности. При переходе к более сложным вопросам — об определении и вычисления обмена произвольного параллелипеда, затем произвольной признамы, потом (очень важный шаг!) примиды, наконец, «круглых» тел: цилиндров, шара и шаровых сегментов — приходится использовать все новые и новые переходы к пределам, буквально нагромождая их друг на друга.

Расужждение эти, с одной стороны, тягтем немало тонкости и трудностей, с другой — представляются (внешне) довольно-tаки «стандартими». И неоспользовать учета всех этих тонкостей и ововорок в школьном курсе математики, и обманчивая «похожеть» всех этих расужений о пределах в равной степени приводят к тому, что на них (на расужении) начинают смотрить зачастую как на неизбежные ритульные заклинания, не вдумываясь и не пытаясь построить их подлинный смысл и цель. Просто пропускать их — тоже как-то «неудобно», «неприлично»: все-tаки математика! . . .

Так нельзя ли хотя бы до лучших времен одним maxом разделаться со всеми этим непряятыми разговорами о пределах? Оказывается, очень можно. Для этого достаточно принять в качестве простата (аксиомы) так называемый принцип Кавальери *. Именно принять, а не доказывать. Это, конечно, не означает, что принцип этот вообще нельзя доказывать и обосновывать. Большое того, рассуждая о «недеlemых», с помощью которых сам Кавальери приSEL к его формулировке (во многом, кстати,妒азительно предвосшенные еще Архимедом с его «методом исчерпивания»), были уже довольно близки к методам интегрального исчисления Ньютона и Лейбница, посредством которых в нашей время и определяются объемы «со всей строгостью». Но раз уж нашей цель как раз и было на этом этапе избавиться от всяческих пределов, недelmых, бесконечно малых и т.п., то разумнее ичеснее будет не пользоваться никакими супрогатами. В конце концов, мы же знаем, что геометрия строится на базе аксиом. Так вот — будет еще одна аксиома. (По ходу дела мы видим, что фактически придется воспользоваться еще парой аксиом, которые, впрочем, можно воспринять и как определения.)

Итак, формулируем принцип Кавальери:

Если при пересечении двух тел **) F и F₁ (см. рис. 1) плоскости, параллельными одной и той же плоскости α, в течение всегда получаются фигуры, площади которых находится

*) Бонавентура Кавальери (1598—1647) — итальянский математик, ученик Галиеля.

**) Под «телом» мы всюду понимаем «нечто имеющее объем», не пытаясь точнее определить заключенные в кавичках слова.

10

в постояном отношении $\lambda(\lambda > 0)$:
$$S = \lambda S_1$$
мо обтемы этих мелих находятся в том же отношении:
$$V(F) = \lambda(F_1)^*$$

Слово «объем» здесь в первые появляется не в «наводящих» рассуждениях, а в составе строго формулируемого предложения; поэтому нашу аксиому мы можем поннимать и как определение объема — конечно, лишь для таких тел $F$, что для них найдется соответствующие $F_1$, для которых понятие объема уже определено предварительно (см. ниже).

Приименим теперь принципи Кавальери для вывода формул объемов некоторых тел. Предварительно нам, однako, придется напомнить, что объем куба, ребро которого равно единице длины, принимается равным единице (такой куб называется единичным**).

*) Общно в литературе принципиом Кавальери называют предложение, являющееся частным случаям приведенного, когда относение площадей сечений, о котором говорится в предложении, равно единице. Однако у самого Кавальери принципи приводится и используется и в указанной более общей форме.

**) Это первое из упомянутых выше дополнительных условий, которое можно поннимать или как аксиому об объеме единичного куба, или как определение этого объема.

Рис. 1.

Рис. 2.

a) Произвольные признаки и цилиндр. Сначала рассмотрим прямоугольный параллеленед с изменениями, равными 1, 1 и $h$ (h может быть как рациональный, так и irrationalным числом). Пусть (рис. 2) в параллеленде $AC_1$ $AB = AA_1 = 1$, $AD = h$. Рассмотрим единный куб $MP_1$, основание которого расположено на той же плоскости $\alpha$, на которой находится основание $ABCD$ параллеленед. Легко видеть, что площади сечений $S_1$ и $S$ параллеленеда и куба любой плоскостью, параллельной плоскости $\alpha$, находятся в постоянном отношении $h$, то есть $S_1 = h \cdot S$. Следовательно, по принципиу Кавальери
$$V(AC_1) = h \cdot V(MP_1) = h \cdot 1 = h^*$$.

Пусть теперь дана произвольная признака (или цилиндр) $F$ (рис. 3) с площью основания $S$ и высотой $h$. Расположим параллеленед $AC_1$ с изменениями 1, 1, $h$ так, чтобы его грань $ABB_1A_1(AB = 1, AA_1 = 1)$ находилась в той же плоскости $\alpha$, что и основание данной признаки $F$. Поскольку $AD = h$, то и верхние основания данной признаки и параллеленеда $AC_1$ лежат в одной плоскости. Тогда в сечении признаки $F$ любой плоскостью, параллельной $\alpha$ и пересекающей признаку, получится фигура, равная основанию признаки. Площадь этой фигуры поэтому равна $S$. Так же плоскость в сечении с

*) Если принять в качестве постулята упомянутый выше частный случай принципи Кавальери при $\lambda = 1$, то вместо только что приведенной «аксиомы единичного куба» (см. предыдущей примечание) придает взять это соответствие в качестве «аксиомы прямогоного параллеленеда».

11

параллепипедом дает квадрат площади 1.

Условия принципика Кавальери выполненны. Значит,

$$V(F) = SV(AC_1).$$

Но мы нашли, что $V(AC_1) = h$. Итак,

$$V(F) = Sh.$$

6. Произвольные параметра и конус. Сначала рассмотрим частный случай. Куб $AC_1$ с ребром, равным $h$ (рис. 4), может быть расчленен на три четырехугольные параметры $A_1ABCD$, $A_1BCC_1B_1$ и $A_1DCC_1D_1$. Эти параметры равны между собой. Действительно, первые параметры могут быть совмещены так, чтобы их основания (равные квадраты $ABCD$ и $B_1C_1CB$) и равные ребра $AA_1$ и $B_1A_1$ совпали. Тогда и параметры совместятся. Аналогично показывается равенство последних двух параметра *). Значит, объем каждой из параметров второе меньше куба $AC_1$:

$$V(A_1ABCD) = \frac{1}{3}h^3$$

Пусть теперь дана произвольная параметра $F$ (или конус) с площадью

*) Необходимые совмещения любой пары из этих трех параметров могут быть реализованы, например, при врашении одной из параметров около оси $A_1C$ на угол 120°.

**) Здесь мы используем последнее из дополнительных определений (аксиом): объем совокупности нескольких мел (в данном случае куба) равен сумме объем этих мел (пaramид). Равенство же объем равных тел (пaramид) легко следует из принципика Кавальери.

Рис. 3.

основания $S$ и высотой $h$. Расположим эту параметру так, чтобы ее основание находилось в той же плоскости $\alpha$, в которой находится основание рассмотренной только что четырехугольной параметры $A_1ABCD$ (ее будем обозначать для краткости $F_1$). Можно считать, что вершины этих параметров находятся по одному сторону от плоскости $\alpha$. Тогда, используя теорему о сечении параметры плоскостью, параллельной основанию, легко получить, что площади сечений обихх тел плоскостью, параллельной плоскости $\alpha$, будут относиться как площади их оснований. Поэтому может быть применен принцип Кавальери:

$$V(F) = V(F_1) \cdot \frac{S}{h^2} = \frac{S}{h^2} \cdot \frac{1}{3}h^3 = \frac{1}{3}Sh.$$

в) Шар, шаровой сегмент. Расмотрим полушар с центром в $O$ и радиусом $R$. Продолжим плоскость $\alpha$ ограничивающего этот полушар большого кругга и помещим на эту плоскость основанием куб с ребрами, равными $R$ (рис. 5). Если мы отделим от этого куба четырехугольную параметру $BA_1B_1C_1D_1$, имеющий верхнюю вершину $B$ куба, а основанием — верхнее основание последнего, то получим некоторое тело, которое будем обозначать через $F_1$. Пересечем оба тела некоторой плоскости $\alpha'$, параллельной плоскости $\alpha$