Соотношение Лейбница и распределительное свойство скалярного произведения векторов

22

Соответствие Лейбницца и распределительное свойство скалярного произведения векторов

З. А. Скопец

Напомним, что скалярное произведение двух векторов есть число, равное произведению длины (модулей) этих векторов на косинус угла между ними:

$$a \cdot b = |a| \cdot |b| \cdot \cos(a, b).$$

(1)

Такое определение годится для векторов и на плоскости, и в пространстве. Скалярное умножение связано со сложением векторов распределительных (дистибутивным) законом:

$$a(b + c) = ab + ac.$$

(2)

Это свойство удобно использовать во многих случаях, в особенности при доказательстве stereometрических теorem о перпендикулярных прямых и плоскости*). Но беда в том, что обычно само свойство (2) доказывается с помощью некоторых из этих теorem**). В этой заметке мы показем, что существует путь, свободный от указанного недостатка: мы выведем свойство (2) из соответствия Лейбницца для элементов треугольной парамиды, а затем доказем это соответствие без использования теorem stereometрии.

Соответствие Лейбницца интересно и само по себе. Оно выражает расстояние от вершины tetraэдра до точки пересечения медian противоложной этой вершине грани tetrahedra

Рис. 1.

разделя длины всех шести его ребер.

1. Соответствие Лейбницца. Пусть дан метраэдр OАВС (рис. 1), G — точка пересечения медian треугольника ABC. Положим: OG = d, OA = a, AB = c₁, OB = b, OC = c, BC = a₁, CA = b₁.
   Тогда
   $$d^2 = \frac{1}{3} (a^2 + b^2 + c^2) - \frac{1}{9} (a_1^2 + b_1^2 + c_1^2).$$

(3)

Это соответствие мы выведем несколько позднее. А сейчас показем,

*) По новым программам операции над векторами в пространстве будут изучаться в 9-м классе в курсе stereometрии.
**) В приложении, помещенном в конце статьи, соответствующая фраза выделена курсивом.