Решение задач по электростатике. (Потенциал)

55

Решение задач по электростатике (Потенциаль)

Г. Я. Мякишев

Нанобольшие трудности в курсе электростатики вызывает понятие потенциаль или разности потенциальов.

Работа электростатических сил равна изменению потенциальной энергии, взятой с обратным знаком:

$$\Delta A = -(\Pi_2 - \Pi_1) = -\Delta \Pi,$$

где $\Pi_1$ и $\Pi_2$ — начальное и конечное значения энергии. Так как работа пропорциональна силе, а сила, в свою очередь, пропорциональная заряду $q$, на которой действует поле, то энергия заряды в поле $\Pi \sim q$. Следовательно, отношение $\frac{\Pi}{q}$ не зависит от заряди и может быть принято за характеристку поля. Эта характеристика называется потенциальом:

$$\varphi = \frac{\Pi}{q}.$$

Отсюда следует, что

$$\Delta A = -q(\varphi_2 - \varphi_1).$$

Проекция напряженного поля на произвольное напряжение, задаваемое малым отрезком $\Delta l$, связана с разностью потенциальов на концах этого отрезка формулой

$$E_l = -\frac{\Delta \varphi}{\Delta l}.$$

Понятие разности потенциальов оказывается довольно сложным из-за того, что работа выражается не через сам потенциаль, а через разность потенциальов (формула (2)). Поэтому добавление к потенциальу любой постоянной не изменит величины работы, а значит, и не изменит ничего, что имело бы физический смысл. Потенциаль определяется с точностью до произвольной постоянной, как и потенциальная энергия *).

Подобно напряженности поля, величина потенциальа зависит от распределения в пространстве электростатических зарядов. В частности, потенциаль равномерно заряженной бесконечной плоскости в системе СИ определяется формулой

$$\varphi = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}x + c,$$

где $\sigma$ — поверхностная плотность заряда, $x$ — расстояние до плоскости, $c$ — произвольная постоянная. Так как напряжение поля плоскости $E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$, то формулу (4) можно переписать в виде

$$\varphi = Ex + c.$$

Потенциаль точчного заряда можно найти с помощью закона Кулона и формулы (2) для разности потенциальов. Но это достаточно сложная задача. Гораздо проще доказать, что, взяв потенциаль точчного заряда в

*) Это трудно представить себе. Ведь если мы знаем потенциаль в каждой точке, то тем самым напряжение электростатического поля также определяется в каждой точке. Но в то же время потенциаль в данной точке может быть любым, раз он определяен с точностью до постоянной.

Дело здесь в следующем. Potенциаль в точке можно считать равным любому значению, но изменение потенциальа при смешении из данной точки в другую, сколь угодно близку, будет выполня определенным, так как зависимости потенциальа от координат $\varphi(x, y, z)$ известна. Если потенциаль вообще не меняется при таком смыщении, то в этой точке равно нулю. Знача характер изменения потенциальа в произвольной точке, можно всегда найти величину и напряжение напряжения поля в этой точке с помощью формулы (3).

56

виде

$$\varphi = \frac{q}{r} + c,$$

где $c$ — произвольная постоянная, можно с помощью (2) получить закон Кулона. Это и будет означает, что формула (6), которая приводится без доказательства в школьном курсе физики, действительное определяет потенциаль точного заряда в системе СГСЭ.

В самом деле, пусть точный заряд $q_2$ смешается в поле другого точного заряда $q_1$ на очень малый отрезок $\Delta r$. Тогда, согласно формулам (2) и (6),

$$\Delta A = -q_2 \left( \varphi_2 - \varphi_1 \right) = -q_2 q_1 \times \left( \frac{1}{r + \Delta r} - \frac{1}{r} \right) = \frac{q_1 q_2 \Delta r}{r^2 + r \Delta r}.$$

Так как $\Delta r$ мало, то $r^2 \gg r \Delta r$ и

$$\Delta A = F \Delta r = \frac{q_1 q_2}{r^2} \Delta r.$$

Следовательно, сила $F$ равна $\frac{q_1 q_2}{r^2}$, а это и есть закон Кулона. Значит, формула (6) справедлива.

Подобно тому как направенно поля сферических симметрино заряженного шара совпадает с направенно точного заряда, потенциаль заряженного шара (вне шара) также определяется формулой (6). В системе СИ

$$\varphi = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon r} + c,$$

если шар находится в однородном диэлектрике с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$.

Для решения задач достаточно хорошо представлять себе физический смысл основных формул. Кроме того, часто приходится использовать простые, но очень важные положения: работа электростанческого поля на замкнутом пути равна нулю и все точки проводника в электростанке имеют один и тот же потенциал.

Задание 1. Можно ли существовать электростанческое поле, направенное которого не меняется в направлении $x$ и возрастает в направлении $y$ (рис. 1)?

Решение е. Не может, так как в таком поле работы при перемещении заряда по замкнутому контуру

Рис. 1.

(например, прямогольному со стороными, параллельными $x$ и $y$) отлична от нуля.

Задание 2. К внутренней стенке изолированного от земли электросетра прикреплен металлический листочек (рис. 2). Стержень и корпус электросетра соединили проводом и после этого сообщили корпусу электросетра неокоторая заряд. Отклоняется ли при этом листочки электросетра? Что произойдет с листочками, если проводубрать и после этого стержень соединить с землей?

Решение е. Корпус и стержень, соединенные проводом, будут иметь

Рис. 2.

правные потенциальы. Поле внутренней электросетра равно нулю и листочки не будут отклоняться. После удаления соединенного провода и замещения стержня оба листочка отклоняется, так как между стержнем и корпусом возникнет разность потенциальов и, соответственно, электросеткое поле. Появление разности потенциальов очень низковая равенства нулю работы электросетского поля при перемещении заряда по замкнутому пути $ABCDEFA$,

57

изображенному на рисунке 3. Работа на участке AC должна быть равна нулю, так как путь CDEFA прохит внутри проводника. Следовательно, разность потенциальных между корпусом и стержнем равна по величины разности потенциальных между корпусом и землей, которая (поскольку корпусу электрометра сообщен заряд) не равна нулю.

Задание 3. Чему равна потенциальная энергия Π взаимодействия двух точных зарядов $q_1$ и $q_2$, находящихся на расстоянии $r$ друг от друга?

Решение е. Согласно определению потенциальа (1) и формулы для потенциальа точного заряда (6),

$$\Pi = \varphi_1 q_2 = \varphi_2 q_1 = \frac{q_1 q_2}{r} + c. \tag{8}$$

Задание 4. Уединиенный проводящий шар радиуса $R$ несет заряд $q$. Какова энергия шара?

Решение е. Если произвольную постоянную в формуле (7) положить равной нулю, то потенциаль шара в пустоте

$$\varphi = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 R}.$$

Не собственная энергия шара не равна $\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 R}$, как это может показаться вначале.

Энергия шара можно найти, вычислив работу, которое нужно совершить для того, чтобы сообщить шару заряд $q$. Будем заряжать шар, перемещая к нему заряд из бесконечности одинаковыми маленьками порциями. При этом потенциаль шара будет линейно уvelличаться от нуля до $\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 R}$. Среднее значение потенциальа $\frac{1}{2} \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 R}$. Поэтому энергия шара оказывается равной

$$\Pi = \frac{q^2}{8\pi\varepsilon_0 R}. \tag{9}$$

Задание 5. На расстоянии $d$ от точного заряда $q$ расположен независимый шар радиуса $R$. Чему равен потенциаль $\varphi$ шара?

Решение е. Потенциаль всех точек шара одинаков. Поэтому для решения задачи достаточно найти потенциаль одной точки шара. Проще всего найти потенциаль центра шара. Он равен потенциальу, созданному в центре шара точным зарядом $q$:

$$\varphi = \frac{q}{d} + \sum_i \frac{\Delta q_1}{r} = \frac{q}{d} + \frac{1}{r} \sum_i \Delta q_1 = \frac{q}{d}.$$

Задание 6. Внутрь полой проводящей сферы радиуса $r$, несущей заряд $+Q$, через маленькое отверстие внесли тело, имеющее заряд $-q$. Чему равен потенциаль точки, находящегося на расстоянии $R > r$ от центра сферы.

Решение е. Поместим вначале заряд $-q$ в центре сферы. На внешней поверхности этот заряд индуктивет заряд $-q$, а на внутренней $+q$, причем заряды распределяются равномерно. Потенциаль в точке, находящего на расстоянии $R$, равен $\varphi_R = \frac{Q - q}{R}$ (так как суммарный потенциал называется потенциальом равен нулю).

При перемещении заряженного тела внутри сферы сливые линей электрического поля деформаруются, но не проникают сквозь проводящий сферы. Поэтому найденное значение потенциальа остается справедливым при любом положении заряд $-q$ внутри сферы.

Задание 7. В центре проводного колца радиуса $R$ находится заряженная частница, имеющая скорость $v_0$ (рис. 4). Заряд колца $+Q$, заряда частцы $-q$. Какую скорость $v$ будет частница вдали от колца?