Московский физико-технический институт (25 лет со дня основания)

70

МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

(25 лет со дня основания)

Многие читатели нашего журнала обращаются с просьбой расссказать о Московском физико-техническом институте. 25 ноября 1971 года МФТИ отметил свое 25-летие. В связи с этим мы помещаем статью, в основу которого положены материалы многотирахной газеты МФТИ «За науку». Статья подготовлена А. П. Савиным и Н. А. Минц.

ИСТORIA МОСКОВСКОГО ORDENA ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА НАЧИНАЛЬСЬ ЗАДОЛГО ДО МОМЕНТА ЕГО ОСНОВАНИЯ. Еще до войны ряд крупнейших ученых нашей страны — академики И. В. Курчатов, А. Ф. Иоффе, М. А. Лаврентьев, П. Л. Капита, Н. Н. Семенов, С. А. Христанович — обращались к правительству с предложением открыть в СССР вышее учебное заведение нового типа для подготовки кадров по новейшим областям физики и техники.

Физтех был создан в ноябре 1946 года.

Особенность системы обучения, принятой в физico-техническом институте, состоит в том, что здесьfundamentalное высшее образование сочетается со специальной подготовкой в так называемых базовых научноисследовательских институтах и конструкторских бюро, где созданы специальные кафедры института.

На первых курсах студентам дается общеаучная подготовка.

Математика, общая и теоретическая физика, общественные науки изучаются в объеме университетских курсов, чтобы будущее специальISTS хорошего Владели знаниями, составляющими основу образования физика-исследовательеля. Быстроу ознакомленное с пространством потоком научно-технической информации способствует углубленное изучение иностранных языков.

Обучение конкретной специализации и самостоятельная исследовательская работа в базовом институте начинается уже со второго—третього курсов.

В базовом институте студент служает lekции по специальности, участвует в работе научных семинаров, глубоко входит в исследовательскую работу лабораторий института. Будущий специалист имеет дело с новейшим приборами; участвует в решении не модельных, специально для его практики приуманных задач, а актуальных проблем, стоящих перед лабораторией. Дилломная работа каждого студента МФТИ входит, как правило, в тематический план базового института. В творческой обстановке научного коллектива студент проходит неоценимую школьнуюоспитания. Работа под непосредственным руководством крупного ученого во многом предопределяет успех его будущее самостоятельности.

Средние базовые институты МФТИ — ведущее научные центры Москвы: физический институт АН СССР им. П. Н. Лебедева, Институт физических проблем АН СССР им. С. И. Вавилова, Институт atomной энергии им. И. В. Курчатова, Институт теоретической и экспериментальной физики

Лекцию читает академик Б. М. Понtekорво.

71

На лекции в большой физической аудитории.

АН СССР, институт химического физики
АН СССР и многое другое.

За годы работы институтом подготовлено 5200 инженеров, аспирантуру окончили 1280 человек. Среды выпускаков института 5 академиков и членов-корреспондентов АН СССР, 78 докторов наук, 12 лауреатов Ленинской премии, 17 лауреатов Государственной премии и премий выданнойся учены. Более 1000 выпускников института имеют ученные степени и завига.

Успехи института во многом обусловлены тем, что им проводится большая работа по подготовке большая работы по подготовке большого полнения студенческих рядов.

Понск талантливой и трудолюбивой молодежи начинается задолго до приемных экзаменов в институте. 120 аспирантов и более 300 студентов преподают в заочной физико-технической школе института. В ней занимается несколько тысяч ребят из самых различных районов страны. Преподаватели и студенты института активно участвуют в проведении различных физических и математических极限пад.

В настоящее время институт готовится специальности и киберnetики.

Готовит инженеров- физиков для исследования в области современной радиоэлектроники. Основными специализциями факультета является электронные вычислительные машины и устройства, системы автоматического управления, техническая киберnetика, теория информации, радиофизика и радиотехника. Студенты, имеющие склонность к экспериментальным исследованиям, могут специализировать в области радиотехнических и физico-технических измерений рекордной точности.

Факультет общей и прикладной физики

Специализности факультета очень разнообразны. Это физика низких температура и actrophизика, физика частных высоких энергий и твердого тела, физика квантовых генераторов и космическая радиосвязь, а также «традиционные» физические специализности: акстика, оптика, теоретическая физика.

Факультет аэрофизики и космических исследований

Основные научные направления факультета, по которым ведется подготовка специалистов, связанны с исследованием космоса, а также с изучением околоземного пространства, атмосферы, гидросферы Земли и собственного Земли. Большое внимание на факультете уделяется подготовке научных работников, обеспечивающих разработку средств космических исследований.

На факультете существует широкий диапазон специализации, связанных с физикой и механикой жидкости, газа и плазмы, физикой и механикой быстропroteкции процессов, механикой управления и пластических сред, технической киберnetикой, управлением полетом и процессами в энергогустановках. Большой популярностью пользуются специализации, связанные с термогидридинамикой моря и атмосферы.

Факультет молекулярной и химической физики

Основные направления, которые изучаются на этом факультете, это физика плазмы, молекулярная биофизика и химическая физика.

В области физики плазмы изучаются проблемы, связанные с разработкой методов неосредственного превращения энергии плазмы в энергию электрического тока.

В области молекулярной биофизики готовятся специализиты по исследованию процессов, протекающих в живых клетках, изучению проблем наследствности.

Изучающие химические физики знакомятся с химей полимеров, химической киберnetкой, радиационной химей, физических методами исследований физico- химических

В лаборатории квантовой электронники.

процессов и физico-химические процессы при высоких температурах и давлениях.

Факультет физической и квантовой электронники

Готовит специалистов по физике твердого тела, газового разряда и плазмы, электронке полупроводников, квантовой и микроэлектронке, по преобразователям и источникам энергии.

На факультете создана лаборатория физической и квантовой электронники, где студенты осваивают современные методы пленочной электронки, электронной микросопии, электроно- иRENTгенографии, изучают квантовые генераторы и усилители, микроэлектронку, преобразователь солнечной и тепловой энергии в электрическую.

Факультет аэромеханики и летательной техники

Задачей факультета является подготовка высококвалифицированных специалистов по аэродинамике, диамике полета, прочности летательных аппаратов различного на-значения. Выпускники факультета должны владеть современными методами аэрофизического эксперимента и расчетно-теоретическими методами.

Факультет управления и прикладной математики

Выпускники факультета должны иметь описывать различные процессы формальным математическим языком, создавать математические языки, способные описывать явления, с которых наука ранее не встречалась, развивать и внедрять новые вычислительные методы для решения различных задач, в том числе и задач математической физики. Они изучают дискретный анализ, машинные языки, теоретическую кибернетики, исследование операций, теорию игр, теорию оптимальных процессов.

Обучение студентов проводится сгугубо индуктивного, поэтому даже студенты, имеющие одинаковые специальности, работают, как правило, в разных направлениях, соответствуют их интересам и склонностям.

73

К «Армянским народным задачам»
(см. стр. 28)

«Камень затянуло дворр». $4^{1/2}$ дня.
«Сто марзан пшеницы». 75, 15, 10.
«Дочери Навасарда». 7 дочерей, 48 мотков.
«Лиса и лисята». $8 \cdot 7^4 = 19208$.

К статье «Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики»

1. По условию $a = kb$ и $b = lc$. Отсюда $a = (kl) c$.

2. Утверждение a) верно: докажем это. Пусть $a + b = c$, причем $a$ делится на 6, а $b$ не делится на 6. Докажем, что $c$ не делится на 6. Предположим противное: пусть $c$ делится на 6. Но тогда $b = c - a$ делится на 6 (см. $1^\circ$). Мы получили противное с условиям задачи.
   Утверждение b) верно: если бы оба слагаемых делились на 6, то тогда и их сумма делилась бы на 6.
   Утверждение г) верно. Противоречий пример: $6 + 5 = 11$.
   Утверждение d) верно. Противоречий пример: $2 \cdot 3 = 6$.

3. Нет, не следует. Противоречий пример: $a = 3$, $b = 1$, $c = 2$; тогда $a + b = 4$ делится на 2, и $a - b$ делится на 2, но ни $a$, ни $b$ не делятся на 2.

4. Из равенств $ab = (a + b)^2 - (a^2 + ab + b^2)$, $a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$ следует, что $ab$ и $a^2 + b^2$ делятся на $a + b$. Из равенства $a^4 + b^4 = (a^2 + b^2)^2 - 2a^2b^2$ следует, что $a^4 + b^4$ делится на $(a + b)^2$.

5. Так как на одном из этажей в каком-то подъезде находится 6 квартир (с № 97 по № 102), то и на всех этажах находится 6 квартир в каком подъезде. Так как в каком подъезде 8 этажей, то всего в подъезде $6 \cdot 8 = 48$ квартир. Поскольку $211 = 48 \times 4 + 19$, то квартира № 211 находится в 5-м подъезде, а так как $19 = 4 \cdot 4 + 3$, то квартира находится на 5-м этаже.

6. При разрезании одного куска на 5 части число всех кусков увеличивается на 4. Таким образом, число кусков будет всегда вид $4k + 1$, то есть давать при делении на 4 остаток 1. Однако 1971 = $4 \cdot 492 + 3$, и ответ отрицательный.

7. Шестизначное число должно делиться на $3 \cdot 7 \cdot 13 = 273$, а $100 \cdot 000 = 366 \cdot 273 + 82$, можно добавить 191, получится $100 \cdot 191 = 367 \cdot 273$.

8. a) 1; 6) 5; b) 8.

9. Пусть $a$ и $b$ — данные числа, $d = \text{НОД}(a, b)$. Тогда $a = kd$, $b = md$, где числа $k$ и $m$ уже не имеют общих делителей, больших единиц, то есть $k$ и $m$ взаимно просты. Из того, что $ab = 600$, следует, что $kmd^2 = 600$. Но наиболееный квадрат целого числа, на котором делится число 600, есть число 100, поэтому наиболее значение $d$ равно 10. Пример: $a = 60$, $b = 10$.

10. 24 букета.

11. a) $\text{НОД}(m, n) + 1$; 6) $\text{НОД}(m, n) - 1$.

12. a) 987 654 321 = $8 \cdot 12 345 789 + 9$; 123 456 789 делится на 9 и
    НОД ($987 654 321$, $123 456 789) = 9$.

14. Два квадраты размером $141 \times 141$, три $42 \times 42$, два $15 \times 15$, один $12 \times 12$, четые $3 \times 3$. НОД ($324, 141$) = 3, поэтому меньше квадратов не будет.
15. $\alpha = \frac{3}{140}$.
16. После деления на $\text{НОД}(85, 204) = 17$ получим: $5x + 12y = 1$. Но $12 = 2 \cdot 5 + 2$, $5 = 2 \cdot 2 + 1$, откуда $1 = 5 - 2 \cdot 2 = 5 - 2 (12 - 2 \cdot 5) = 5 \cdot 5 - 2 \cdot 12$.
    Одно решение: $x = 5$, $y = -2$. Общее решение: $x = 5 + 12t$, $y = -2 - 5t$, где $t$ — любое целое число.
17. a) Да; 6) нет.
18. a) Мы должны найти такие целые числа $x$ и $y$, чтобы выполнялись равенство
    $6x + 16y = 220$
    или
    $3x + 8y = 110$.
    Одно из решений: $x_1 = 330$, $y_1 = -110$. Общее решение можно записать так:
    $x = 330 - 8t$, $y = -110 + 3t$, (*)
    где $t$ — любое целое число. Телерь естественно выбрать такое $t$, чтобы $x$ и $y$ были неотрицательными. (Можно, конечно, подключаать аккумулятор «в обратную сторону» — «плюс» к «плюсу», но мы поставаемся обойтись без этого.)

74

Подставляя $t = 37, 38, 39, 40, 41$ в формулы (*), получаем 5 вариантов:

| батарей по 6 $\theta$ | 34 | 26 | 18 | 10 | 2 |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| батарей по 16 $\theta$ | 1 | 4 | 7 | 10 | 13 |

6. Здесь делено свойство к решению уравнения $6x + 15y = 220$. Однако НОД (6,15) = 3, а 220 не делится на 3. Поэтому уравнение не имеет решений в целых числах.

19. Сумма четного числа нечетных чисел четна, поэтому 45 рублей нельзя разменять указаным способом.

20. Поскольку $a = bd$ и делится на $c$, а НОД $(b, c) = 1$, то по лемме 3 число $d$ делится на $c$.

21. a), 6) и г) верны; 6) неверно.

22. 1971 = $3^3 \cdot 43$; 1972 = $4 \cdot 17 \cdot 29$; 1973 — простое.

23. a) если $am$ делится на $n$ и НОД $(m, n) = 1$, то $a = kn$, поэтому $b = km$.

6. путь в разложении $x$ на простые множители неокоторое простое $p$ входит в степени $a$, а в разложении $y$ — то же $p$ в степени $b$. Тогда из теоремы о единственности разложения на простые множители $am = bn$ и из задачи a) следует, что $a = kn$, $b = km$. В разложение $t$ на простые множители включим $p$ с показателем $k$, и так — для всех простых множителей чисел $x$ и $y$.

К «Вариант вступительных экзаменов»
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М. В. ЛОМОНОСОВА

Физический факультет

1. $x = n\pi$, где $n$ — любое целое число. Указан и е. Выразить cos $2x$ через tg $x$.

2. $3^{-\sqrt{3}} - 1 < x < 3^{\sqrt{3}} - 1$.

3. $a = 12 \text{ km/ч}$. Указан и е. Нало определить, при каком значении $a$ выражение $\frac{BC}{3} + \frac{2BC}{48} + \frac{2a}{48} + \frac{2a}{48}$ принимает наименьшее значение (расстояние $BC$ — фиксированная величины).

4. $\frac{a}{2}$. Указан и е. Пусть прямая $AM$ пересекает ферру в точках $P$ и $Q$, причем на отрезке $AM$ точки расположены в таком порядке: $A, P, Q, M$. По теореме о касательной и секущей получить равенство $AQ \cdot AP = \frac{a}{2}$. Доказать, далее, что вписанная сфера касается грани $DSC$ в точке $M$, и потому точка $Q$ совпадает с точкой $M$. После этого

непосредственным вычислением показать, что $AQ = a$.

5. $d\sqrt{k}$. Указан и е. Убедиться, что $\triangle MQE \sim \triangle PNE$, причем $EM$ и $EP$ — сходственные стороны.

Факультет психологии

2. Точка $P$ должна совпадать либо с вершиной $C$, либо с вершиной $C_1$.

3. $-\frac{1}{\sqrt{2}} < x < 0$.

4. 11 деталей вида $A$, 9 деталей вида $B$.

5. $a = 1$.

МОСКОВСКИЙ ИНСТИТУТ ИНЖЕНЕРОВ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА

Специальности: промышленное и гражданское строительство и др.

1. 3a 30 дней.

2. $x_1 = 0, x_2 = -2, x_{3,4} = -1 \pm \sqrt{\frac{33}{2}}$.

3. $r = \frac{25}{4} \text{ см}$.

Специальности:
автоматика, телемеханика и связи и др.

1. Первая — за 6 и, вторая — за 8 и.

2. $x = 2, y = \frac{1}{2}$.

3. $9,6^2 \pi \text{ см}^2$.

4. $x = (-1)^n \frac{1}{2} \arcsin \frac{2}{5} + \frac{n\pi}{2}$, $n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$.

Специальности:
прикладная математика и др.

1. $0 < a < 68$.

2. $x = -1, y = 1 + \frac{\pi}{4} (2n + 1)$, $n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$.

3. $d^3 \sin \alpha \sin \beta \sqrt{\cos(\alpha + \beta)} \cos(\alpha - \beta)$.

4. $x_1 = \frac{3\pi}{8} + n\pi$, $x_2 = \frac{1}{2} \arctg 5 + \frac{\pi}{2} (2k + 1)$, где $n$ и $k$ — любые числа.

УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Matematiko-mеханический факультет

1. $a = -4, b = 3; x_1 = 2, x_{2,3} = 1 \pm \sqrt{2}$. Указан и е. Подставить число $1 + \sqrt{2}$ в данное уравнение и доказать, что должны одновременно выполнять сравнение $3a + b + 9 = 0, 2a + b + 5 = 0$.

75

2. Решение. Пусть $OC$ — медиана треугольника $OAB_1$ (рис. 1). На продолжении отрезка $OC$ за точку $C$ возьмем точку $D$ так,

Рис. 1.

что $OC = CD$; тогда $OB_1DA$ — параллелограмм. Поскольку $OA = OA_1$, $AD = OB_1 = OB$ и $\Rightarrow OAD = \Rightarrow A_1OB$ (как улысь с соответствием перпендикулярными сторонами), то $\triangle AOD = \triangle A_1OB$. Далее, $\triangle OPA = \triangle OQA_1$, а $\Rightarrow APO = 90^\circ$ (ибо $AD \parallel OB_1$, а $OB_1 \perp OB$); поэтому $OC \perp A_1B$. Аналогично доказывается и второе утверждение задачи 3. $x_1 = 3, y_1 = (2k + 1)\pi$, где $k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots, 0 < x_2 < 1, y_2 - \text{любое вещественное число}.$ Указано и.e. Пусть $z = \log_3 x$; тогда предложенное неравенство записывается в виде

$$z + \frac{1}{z} \leq -2 \cos y. \tag{1}$$

Но при любом $z > 0$ имеем $z + \frac{1}{z} \geq 2$, а потому неравенство (1) может быть справедливым только для тех $y$, для которых $2 \leq -2\cos y$, то есть при $\cos y = -1$. Далее, из (1) получаем $z = 1$. Если же $z < 0$, то $z + \frac{1}{z} \leq -2$, а $-2 \leq -2\cos y$ при любом $y$, то есть неравенство (1) справедливо при всех $z < 0$.

4. Решение существует, если $b < -1$, а $a - \text{любое действительное число}$, или если $b \geq -1$, а

$$k\pi - \arcsin A + \varphi \leq a \leq k\pi + \arcsin A + \varphi, k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots,$$

где $A$ и $\varphi$ определяются равенствами

$$\tg \varphi = \frac{b + 1}{2}, A = \frac{|b - 1|}{\sqrt{b^2 + 2b + 5}}. \tag{3}$$

Указание. Так как $x \neq \frac{\pi}{2} (2k + 1)$, $y \neq \frac{\pi}{2} (2k + 1)$, то исходная система эквивалентна следующей (проверьте!):

$$\begin{align*} x + y &= a, \\ 2\sin(x + y) - (b + 1)\cos(x + y) &= (b - 1)\cos(x - y). \end{align*}$$

Следовательно, исходная система имеет решение тогда и только тогда, когда $(b - 1)\cos(x - y) = 2\sin a - (b + 1)\cos a$. (4)

Если $b \neq 1$, то из (4) получаем, что параметры $a$ и $b$ должны удовлетворять условиям

$$\left| \frac{2\sin a - (b + 1)\cos a}{b - 1} \right| \leq 1.$$

Вводя $\varphi$ и $A$ по формулам (3), это условие представим в виде $|\sin(a - \varphi)| \leq A$. Таким образом, либо $A > 1$ (то есть $b < -1$) и $a - \text{любое действительное число}$, либо $A \leq 1$ (то есть $b \geq -1$, $b \neq 1$), а для $a$ получаются неравенства (2). В случае $b = 1$ соответствие неопределенно.

Физическая факультет

1. $$\frac{q^{nn} - 1}{(q^n - 1)q^{(m-1)n}}.$$ Указание. Заметьте, что если $v$ — средняя скорость на перегорете $A_1A_2$ после отправления, то на перегорете $A_nA_1$, завершающий первый круг, средняя скорость равна $vq^{n-1}$, а на перегорете $A_1A_2$, открывающий второй круг, она равна $vq^n$.

2. $r^2 \cos \alpha \sin \beta \sin 2(\alpha + \beta) \cos (\alpha + \beta).$ Указание и.e. Рассмотреть отдельно случаи, когда $\Rightarrow ODB > \Rightarrow MDB$ и $\Rightarrow ODB < \Rightarrow MDB$. где $O$ — центр круг.

3. $x > 2$.

4. $$\frac{1}{12} \leq a \leq \frac{1}{2};$$

$$x = (-1)^n \arcsin \frac{5a \pm \sqrt{a^2 + 4a}}{2a} + k\pi,$$

$$k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots.$$

МОСКОВСКИЙ ИНЖЕНЕРНО-ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Вариант 1

1. 23. Решение. Искомое число запишем в виде $10x + y$, где $x$ и $y$ — целые числа, причем $1 \leq x \leq 9, 0 \leq y \leq 9$. Так как по условиям при делении двух значений числа на $xy$ получили остаток, равный 5, то $xy \neq 0$; следовательно, $1 \leq y \leq 9$. Из условия запишем получим систему

$$\begin{align*} \frac{10x + y}{x + y} &= 4 + \frac{3}{x + y}, \\ \frac{10x + y}{xy} &= 3 + \frac{5}{xy}. \end{align*}$$

78

Рис. 1.

имеют вид:
в точке $A$
$$m\omega^2R = mg + T_A,$$
(1)

в точке $B$
$$m\omega^2R = T_B - mg,$$
(2)

где $\omega = 2\pi n$ – угловая скорость вращения, $n$ – число оборотов в секунду. Из этих равенств находится
$$T_A = mg \left( \frac{4\pi^2 n^2 R}{g} - 1 \right) \approx -2,7 \text{ н};$$
$$T_B = mg \left( \frac{4\pi^2 n^2 R}{g} + 1 \right) \approx 7,1 \text{ н}.$$

Так как $T_A < 0$, то в действительности штанга ската, когда тело находится в точке $A$. При $n > \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{R}}$ штанга была бы растута и в точке $A$.

3. При вращении проводника $OC$ в нем возникает э. д. с. индукции (рис. 2)
   $$|E_{инд}| = \left| \frac{\Delta\Phi}{\Delta t} \right|,$$
   где $\Phi = B \cdot S = B \frac{r^2 \varphi}{2}$ – магнитный поток через контур $AOC$, $S$ – площадь заштрихового сектора.
   $$E_{инд} = \frac{\Delta\Phi}{\Delta t} = \frac{B r^2}{2} \frac{\Delta\varphi}{\Delta t} = \frac{B r^2}{2} \omega.$$

Сопротивление контура складывается из сопротивления двух прямолинейных учата-

Рис. 2.

стков идуги окружности:
$$R = (\varphi + 2) r\rho.$$
Так в контуре в момент, когда $\varphi = \pi$, равен
$$I_{инд} = \frac{|E_{инд}|}{R} = \frac{B r \omega}{2 \rho (\pi + 2)} \approx 1,5 \cdot 10^{-2} a.$$
По правилу Ленца легко сдержать также направление индукционного тока.

4. При установившемся движенииускорение сосуда и жидкости в нем равно $a = g \sin \theta$. Поверхность жидкости в движущемся сосуде параллельна наклонной плоскости. Определим ход луча в сосуде (рис. 3).

Рис. 3.

На основании закона преломления света $n \sin \theta = \sin \varphi$ получаем $\varphi = 60^\circ$ и $\varphi - \theta = 30^\circ$. Проведем луч $OH$ параллельно луче $AB$. Лучи $OH$ и $BH$ собираются в одной точке фокальной плоскости. Смешение $HF$ луча $AB$ равно $f \cdot tg(\varphi - \theta) = 5,8 \text{ cm}$.

К статье «Решение задач по электростатике»

1. Налряженное поля перpendикулярна эквивпотциальной поверхности и

79

направлена в сторону убывания потенциала, то есть вверх.

2. Энергия заряженного шара $\Pi = \frac{c\varphi^2}{2} = \frac{R\varphi^2}{2}$ (С — емкость, R — радиус шара). При разряде эта энергия выделяется в виде телла. Выражая энергию в калорийх, получим: $\Pi \approx 0,13$ кал.

3. При увеличении радиуса оболочки на малую величины $\Delta x$ электронатическая силы совершают работу $\Delta A = 4\pi R^2 f \Delta x$, где $f$ — сила, приходящая на единицу площади. Работа совершается за счет убыли электронатической энергии:

$$\frac{Q^2}{2R} - \frac{Q^2}{2(R + \Delta x)} = \frac{Q^2 \Delta x}{2R(R + \Delta x)}.$$

Согласно закону сохранения энергии: $4\pi R^2 f \Delta x = \frac{Q^2 \Delta x}{2R(R + \Delta x)}$. Учитывая, что $\Delta x \ll R$, получим $f = \frac{Q^2}{8\pi R^4} = 2\pi \sigma^2$, где $\sigma = \frac{Q}{4\pi R^2}$ — поверхностная плотность заряда.

4. Потенциаль капельки $\varphi_1 = \frac{q}{r}$, где $q$ — заряд, а $r$ — радиус капельки. Потенциаль большой капли $\varphi = \frac{Nq}{R} = \frac{N\varphi_1 r}{R}$. Очевидно, что $\frac{4\pi}{3} r^3 N = \frac{4\pi}{3} R^3$. Следовательно, $\frac{r}{R} = \frac{1}{\sqrt{N}}$ и $\varphi = \frac{N\varphi_1}{\sqrt{N}} = N^{2/3}\varphi_1$.

5. $A = q_2 (\varphi_2 - \varphi_1) = q_1 q_2 \left( \frac{1}{R_2} - \frac{1}{R_1} \right) = 25$ эрг.

К статье «Закон Ома для неоднородного участика цепи»

1. 0. Результат не зависит от числа элементов в батарее.
3. Потенциальы диаметрально противоположных точек колца (см. рис. 1) не равны.

Рис. 1.

Рис. 2.

Соотношение между ними определяется соответствием между $R$ и $r$ и направлением возникшего в колце э. д. с. индукции. В том случае, когда $\varphi_A > \varphi_B$, график распределения потенциала вдоль колца имеет вид, показанный на рисунке 2 ($l_0$ — длина окружности колца).

К «Задачам на осевую симметрию»
(см. стр. 69)

1. 100°.

2. Отразите квадрат относительно стороны $AB$ и используйте точки его пересечения с окружностью.

3. Рассмотите следующий рисунок, на котором изображена последовательность отражений шара в бортах биллиард.

4. Нет. Рассмотите вертикальную (на рисунке в тексте) составляющую вектора скорости шарика.

5. Сравните движение шарика внутри куба с движением горизонтального брошенного тела.
   a) $v \approx 10,4$ м/сек;
   b) $tg \alpha = \frac{3}{2}$.

К заметке «Квант» для младших школьников
(см. «Квант» № 5, 1972 г.)

1. Искомым геометрическим местом точек является дуга «внутренней окружности» обруча от «северного полюса» до точки, диаметрально противоположной точке на стенке, куда вбит гвоздь.
2. Сначала определим, какой из значков соответствует знаку=. Этот знак встречает по одному разу в каждой строке, при этом он не может стоять ни в начале, ни в конце строки. Отсюда легко определить, что это П. Сравнивая число значков слева и справа от него, легко определить, что знаку + соответствует знаку $\bigcirc$, а знаку — соответствует знаок <.
   Подставив найденные значки, получим:
   > 1 $\ominus$ = V $\oplus$ $\ominus$ - □ □ □
   V $\wedge$ $\ominus$ + > V = □ □ □ $\wedge$
   $\oplus$ $\wedge$ □ $\ominus$ = $\oplus$ □ V V + E
   □ □ [ [ -> V = V $\ominus$ O

Очевидно, что □ это 1, а V — 9, далее легко находится цифры, соответствующие остальные значкам: $\wedge$ — 2, $\theta$ — 3, [ — 4, 0 — 5, ] — 6, $\oplus$ — 7, > — 8.
3. См. рисунок.