Замечательные треугольники

31

При спуске же задней шины на большой скорости справиться с машиной очень трудно.

Любопытен еще следующий факт. Из вышеприведенных сообщений ясно, что для улучшения устойчивости автоматия желательно, чтобы центр тяжести был расположен как можно близке к передней оси (то есть нужно, чтобы выполнялось условие $k_1 a < k_2 b$; если $k_1 \approx k_2$, то чем меньше отношение $a/b$, тем лучше).

У автоматия с «задним» расположением двигателя это условие как раз не выполняется. (Двигатель очень тяжелый, и центр тяжести автоматия «смешается» в сторону двигателя.) Для таких автоматических компенсируют этот недостаток понижением давления в передних шинах (это снижает $k_1$).

В свое время для малитражного автоматия фирмы «Фиат» с «задним» расположением двигателя было предложено установливать давление в передних шинах в три разаmenыше, чем в задних. Но даже при таких условиях автоматиль имел критическую скорость 40 км/ч и его эксплуатация была практическим невозможна.

На грузовых автомателях устойчивость замено ухудшается, когда они сильно нагружены, так как при этом центр тяжести сдвигается назад и увеличивается масса $m$ автоматила. Это ухудшение устойчивости компенсируется тем, что у большинства грузовых автомателей задние шины двойные, и это увеличивает вдвое сопротивление уводу задней оси.

У тех же грузовых автомателей, которые имеют задние также колеса, как и спереди (такие автоматили тоже существуют), дело с устойчивостью при полной загрузке обстоит хуже. У таких автомателей приходится тщательно следить за давлением в задних шинах. Далее небольшое снижение давления может в этом случае привести к неустойчивости.

Замечательные треугольники

1. Расмотрим треугольник, пожожий на треугольник Паскала (рис. 1). В нем заданы первые три единицы, а каждое следующие число получается суммированным стоящих выше, образующих вместе с искомым параллелограмм (для чисел, стоящих по боковым сторонам треугольника, параллелограмм вырождается в отрезок).

Обозначим через $a_{ij}$ элемент $i$-й строки этого треугольника, $j$-й по счету от начала строки.

a) Доказите формулы:
$$a_{n1} = 2^{n-2}, \text{ где } n \geq 2;$$
$$a_{n2} = n \cdot 2^{n-3}, \text{ где } n \geq 2;$$
$$a_{n3} = 2^{n-5}(n^2 + n - 4),$$
$$\text{ где } n \geq 3.$$

b) Выведите рекуррентное соотношение, связывающее элемент $a_{nk}$ с предшествующими, у которых второй индекс меньше $k$.

b) Выведите формулы для вычисления $a_{n4}$ и $a_{n5}$.

2. Напишем теперь вместе чисел, образующих треугольник.

Рис. 1

Рис. 2.

угольник на рисунке 1, их последние цифры. Мы получим числовой треугольник, изображенный на рисунке 2. Доказите, что этот треугольник обладает следующими замечательными свойствами:

1°. Треугольник можно разить на ромбки $5 \times 5$ пяты различных видов (не считая верхнего ромба), у которых в верхнем углу и, соответственно, на нижних сторонах этой цифры 0, 2, 4, 6 или 8 (см. рис. 2).

2°. Если вместе каждое ромбка поставить цифру, стоящую в его нижнем углу, то получится числовой треугольник, отличной шириной от данного лише первых tremя строками.

3°. В каждом ромбке либо все цифры — нулы, либо имеется равно два нулы, расположенных в его самом длинной строке на втором и четвертом местах.

4°. Цифра, стоящая в центре любого ромбка, равна каждой из двух цифр, расположенных с ней по соседству ниже строкой.

M. Штеребере (Саратов)