О пользе скатывания шариков

32

В. Матизен

О пользе
скатывания шариков

Бросая в воду камещки, смотри на крупица, или образуемые; иначе такое бросание будет пустого забаво…
Козьма Прутков

Предлагаем вам продолжать такой опыт.

Возьмите комок пластинна и положите его на стол. Накройте комок пластиной и под нажимом раскатайте его. Движения пластины должны быть круговыми с относительной небольшим радиусом. Следите за тем, чтобы все точки пластины описывали окружности равного радиуса на одной и той же высоте над столом.

Попробуйте предсказать, какую форму примет пластинн.

Во-первых, верхняя и нижняя поверхности равноправны: в системе отчета, связанной с пластиной, стол совершает то же самое вращение. Следовательно, полученное тело должно состоять из двух одинаковых половинок.

Во-вторых, увлекаемый пластиной комок катится вокруг некоторой точки на стол. Естественно предположить, что пластинн примет такой форму, которая позволяет бы ему катиться свободно. Этому требованию удовлетворяет, в частности, кончческая поверхность.

И действительно, комок пластинна превращается в два конуса, симметричных относительной обшезония.

Обозначим через α положину угла при вершине освого сечения конуса, через r — радиус освонания конуса и через h — их высоту (см. рисунок). Пусть объем комка пластинна равен V, а радиус вращения пластинны — R. Найдем связь между указанным величиными. Поскольку

$$h = \frac{R}{2\cos\alpha}, \quad r = h \mathrm{tg}\alpha \quad V = \frac{2}{3}\pi r^2 h,$$

получаем

$$\frac{12}{\pi} \frac{V}{R^3} = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^5\alpha}.$$

Другими словами, если вы хотите получить конус с заданным углом α, величины V и R должны быть связаны друг с другом в полное определение соответствия.

Так, при α = 45°

$$\frac{V}{R^3} = \frac{\pi}{3\sqrt{2}}.$$

Если исходный комок пластинна имеет форму шара радиусом q, то

$$V = \frac{4}{3} \pi q^3 \quad \frac{\varphi^3}{R^3} = \frac{1}{4\sqrt{2}}.$$

Отсюда

$$\frac{R}{\varphi} = 2^{\frac{5}{6}} \approx 2,$$

то есть R ≈ 2φ — радиус вращения пластинны при близительной равендировке диаметра пластинного шара.

Заметим также, что на опите нельзя получить правильные конусы с углом α, существенно меньшим 45°. Нетрудно объяснить, почему. Чем меньше угол α, тем больше длина образующей конуса (при неизменном объеме пластинна), а значит, тем на большую поверхность должен распространяться нажим. В таких условиях оказывается практическим невозможным формировать вершины участки конуса, так как основной нажим прихождения на участки вблизи обшезония конуса. Кроме того, малым углом α соответствует большие значения R, при которых неправильно движения рук может сильно исказить форму получшего тела.