Белорусский государственный университет им. В. И. Ленина

53

5. Имеются два различных источника напряжения, обеспечивающие одинаковую интенсивность свечения электрической лампочки. При кратковременном подключении к выходным клеммам источников катушки индуктивности только один источник дает интенсивный дуговой разряд. Объяснить наблюдаемое явление.
   Вариант 3
6. В трубке над поверхностью воды находится воздух, скатый покоящимся тяжелым поршнем до давления $p=3 \cdot 10^5$ Pa (рис. 7). Расстояние от поршня до поверхности воды $h$, глубина слоя воды тоже $h$, температура воздуха и воды $t=6^\circ\text{C}$. На каком расстоянии от поверхности воды оказывается поршень, если трубку с водой нагреть до температуры $t_1=100^\circ\text{C}$? Давлением паров воды при температуре $t=6^\circ\text{C}$ можно пренебреть. Поршень может двигаться без треня.
7. В цепи с источником переменного напряжения волтметр при включении между точками $BB'$ показывает второе меншшее напряжение, чем при включении между точками $AA'$ (рис. 8). Выразить неизвестное сопротивление $R$ через извлечное $r$.
8. В горизонтальной гладкой трубе имеется колцевой изгиб радиусом $R$, расположенный в вертикальной плоскости (рис. 9). С какой минимальной скоростью должны двигаться на горизонтальном участке трубы тяжелый тонкий гибкий канат длиной $l>2\pi R$, чтобы он смотрится изгиб?
9. Оценить вытalkивающий силу, действующего на вас со стороны воздуха в аудитории.
10. Подвижный поршень, замыкающий объем газа, в котором находится кусочек воды, смоченной ацетоном, поднимают вверх. Объяснить характер изменения давления в объеме, изменяемого жидкостьм манометром.
    Г. Меледин, В. Пененко

Белорусский государственный университет им. В. И. Ленина

Matematika

Писменный экзамен
Вариант 1
(механико-математический факультет)

1. При каких значениях параметра $a$ уравнение
   $$x^4 + (1-2a)x^2 + a^2 - 1 = 0$$
   a) не имеет решений?
   b) имеет одно решение?
   b) имеет два решения?
   г) имеет три решений?
2. Решите неравенство
   $(\log \frac{1}{2}x)^2 - \log \frac{1}{2}x^2 > (\log \frac{1}{2}3)^2 - \Gamma.$
3. Найдите область определения функции
   $$y = \sqrt{\log \frac{1}{2}x^2 - 1}.$$
4. Найдите предел
   $$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x \cdot \sin x - tg x}{x^2 \cdot \sin x}.$$
5. Радиус основания конуса равен $R$, а угол развертки его боковой поверхности равен $90^\circ$. Найдите объем конуса.

Вариант 2
(факультет прикладной математики)

1. Вычислите предел
   $$\lim_{x \to 5} \frac{\sqrt{x-1}-2}{x-5}.$$
2. Решите уравнение
   $$\frac{a-2}{\sqrt{x+4}} = 1.$$
3. В возвращающей геометрической прорессии сумма первого и последнего членов равна 66, произведение второго и предпоследнего членов равно 128, сумма всех членов равна 126. Сколько членов в прорессии?
4. Решите уравнение
   $$\sin^4 x + \cos^4 x + \sin 2x + a = 0.$$
5. Основанием прямой прямых с стороны $a$ и углом $DKB = 60^\circ$. Концы $B_1$ и $D_1$ диагонали верхнего основания прямых соединительными прямыми $B_1E$ и $D_1F$ с серединами стороны $KD$ и $KB$ нижнего. В пересечении этих прямых образуется угол $B_1OD_1$, равный $a$. Определить объем прямых.
   Вариант 3
   (физическая факультет и факультет радиофизики и электроники)
6. Найдите область определения функции
   $$y = \sqrt{\log_0.4(x-x^2)}.$$
7. Найдите сумму $1+x^2+x^4+\dots+x^{2n}$, а затем сумму $2x+4x^3+\dots+2n \cdot x^{2n-1}$.
8. Доказите точность
   $$\mathrm{tg} \frac{\pi}{4} + \alpha = \frac{1+\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha}.$$
9. Решите уравнение
   $$\sqrt{15-x} + \sqrt{3-x} = 6.$$
10. Каждое из боковых ребер четырехугольной прямой образует с высотой угол $a$. Основанием прямой прямой прямой образует с высотой угол $b$. Физика
    Задание устиною экзамена
    Физическая факультет и факультет радиофизики и электроники
11. На доске стоит прямой одноподный цилиндр высотой $h=2,5$ см и диаметром $D=10$ мм. Один конец доски медленно поднимают. При какой угле $a$ наклона доски к