Задачи

43

Задачи

1. Из бумаги склеили куб. Ясно, что его можно разрезать на шесть конгруэнтных квадратов. А можно ли его разрезать на двенадцать конгруэнтных квадратов?
2. На рисунке изображено родословное дерево одной семьи коми, родоначальником которого был некий Тихон Федорович. Вот все его потомки (на языке коми): Педот Тикон, Остап Тикон, Тикон Вась, Педот Вась, Падей Остап, Тикон Падей, Падей Илля, Тикон Педот. Известно, что средних нет женщин. Установите, какое имя соответствует каждому узлу дерева.
3. Найдите два числа, разность и частное которых были бы равны пяты.
4. Покажите, что площадь фигуры синего цвета (см. рисунок) равна половине площади прямоугольника.
5. В книгах новгородских писцов XV века упоминаются такие меры жидких тел: бочка, насадка и ведро. Из этих же книг стало известно, что 1 бочка и 20 ведр кваса уравниваются с третья бочками кваса, а 19 бочек, 1 насадка и 15,5 ведра уравниваются с 20 бочками и 8 ведрами.
   Могут ли историки на основании этих данных определить, сколько насадок содержится в бочке?
6. Рассмотрим трехзначные числа, начинающиеся и оканчивающиеся одинаковой цифрой, например 343. Докажите, что если сумма первого и второй цифр делится на 7, то и все число делится на 7.
   Эти задачи нам предложили
   Н. Антонович, Ф. Бартенев,
   В. Беликов, А. Савин, Я. Тестелец

43