33
Как придумать геометрическое неравенство
«Придумать новую, оригинальную задачу — сделать небольшое самостоятельное «открытие», пожалуйста, даже труднее, чем решить готовую чужую». Эти слова стоит в предисловии к Заданнику «Кванта» в первом номере журнала. Многие ребята спрашивают: а как же все-tаки самому придумать задачу?
Рассскажу, как я однажды придумал несколько геометрических неравенств.
Я начал с того, что доказал два известных неравенства:
a 4 + b 4 + c 4 ⩾ 16 S 2 , a^4 + b^4 + c^4 \geqslant 16S^2, a 4 + b 4 + c 4 ⩾ 16 S 2 , a 2 b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2 ⩾ 16 S 2 , a^2 b^2 + a^2 c^2 + b^2 c^2 \geqslant 16S^2, a 2 b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2 ⩾ 16 S 2 ,
в которых a , b , c a, b, c a , b , c S S S
Написав формулу для площины треугольника
S = 1 2 a b sin γ S = \frac{1}{2} ab \sin \gamma S = 2 1 ab sin γ
и теорему косинусов
c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos γ , c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma, c 2 = a 2 + b 2 − 2 ab cos γ ,
я нашел синус и косинус
sin γ = 2 S a b , \sin \gamma = \frac{2S}{ab}, sin γ = ab 2 S , cos γ = a 2 + b 2 − c 2 2 a b \cos \gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} cos γ = 2 ab a 2 + b 2 − c 2
и подставил их значения в тригонометрическое тожество sin 2 γ + cos 2 γ = 1. \sin^2 \gamma + \cos^2 \gamma = 1. sin 2 γ + cos 2 γ = 1.
4 S 2 a 2 b 2 + a 4 + b 4 + c 4 + 2 a 2 b 2 − 2 a 2 c 2 − 2 b 2 c 2 4 a 2 b 2 = 1 , \frac{4S^2}{a^2 b^2} + \frac{a^4 + b^4 + c^4 + 2a^2 b^2 - 2a^2 c^2 - 2b^2 c^2}{4a^2 b^2} = 1, a 2 b 2 4 S 2 + 4 a 2 b 2 a 4 + b 4 + c 4 + 2 a 2 b 2 − 2 a 2 c 2 − 2 b 2 c 2 = 1 ,
или
16 S 2 = 2 ( a 2 b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2 ) − a 4 − b 4 − c 4 . 16S^2 = 2(a^2 b^2 + a^2 c^2 + b^2 c^2) - a^4 - b^4 - c^4. 16 S 2 = 2 ( a 2 b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2 ) − a 4 − b 4 − c 4 .
Отсюда, воспользоваться алгебраическим неравенством (доказите его)
a 4 + b 4 + c 4 ⩾ a 2 b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2 , a^4 + b^4 + c^4 \geqslant a^2 b^2 + a^2 c^2 + b^2 c^2, a 4 + b 4 + c 4 ⩾ a 2 b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2 ,
я и получил неравенства (1) и (2).
Подумав немного, я решил попытать использовать другое тригонометрическое тожество. Вместо sin 2 γ + cos 2 γ = 1 \sin^2 \gamma + \cos^2 \gamma = 1 sin 2 γ + cos 2 γ = 1
3 sin γ + cos γ = 2 sin ( γ + 30 ∘ ) , \sqrt{3} \sin \gamma + \cos \gamma = 2 \sin (\gamma + 30^\circ), 3 sin γ + cos γ = 2 sin ( γ + 3 0 ∘ ) , 3 sin γ + cos γ ⩽ 2 , \sqrt{3} \sin \gamma + \cos \gamma \leqslant 2, 3 sin γ + cos γ ⩽ 2 ,
подставил соответствия (3) и (4) в последнее неравенство и после преобразования получил
c 2 − a 2 − b 2 + 4 a b ⩾ 4 3 S . c^2 - a^2 - b^2 + 4ab \geqslant 4\sqrt{3} S. c 2 − a 2 − b 2 + 4 ab ⩾ 4 3 S .
Заметив, что длинны a , b , c a, b, c a , b , c
a 2 − b 2 − c 2 + 4 b c ⩾ 4 3 S , a^2 - b^2 - c^2 + 4bc \geqslant 4\sqrt{3} S, a 2 − b 2 − c 2 + 4 b c ⩾ 4 3 S , b 2 − a 2 − c 2 + 4 a c ⩾ 4 3 S . b^2 - a^2 - c^2 + 4ac \geqslant 4\sqrt{3} S. b 2 − a 2 − c 2 + 4 a c ⩾ 4 3 S .
и, сложив их, получил
( 4 a b + a c + b c ) − ( a 2 + b 2 + c 2 ) ⩾ 12 3 S . (4ab + ac + bc) - (a^2 + b^2 + c^2) \geqslant 12\sqrt{3} S. ( 4 ab + a c + b c ) − ( a 2 + b 2 + c 2 ) ⩾ 12 3 S .
Глядя на (7), я решил воспользоваться неравенством
a 2 + b 2 + c 2 ⩾ a b + a c + b c a^2 + b^2 + c^2 \geqslant ab + ac + bc a 2 + b 2 + c 2 ⩾ ab + a c + b c
и получил, как при доказательстве (1) и (2), два красных (но, к сожалению, довольно хорошего известных!) неравенства
a 2 + b 2 + c 2 ⩾ 4 3 S , a^2 + b^2 + c^2 \geqslant 4\sqrt{3} S, a 2 + b 2 + c 2 ⩾ 4 3 S , a b + b c + c a ⩾ 4 3 S . ab + bc + ca \geqslant 4\sqrt{3} S. ab + b c + c a ⩾ 4 3 S .
После этого мне уже было ясно, как можно получить еще много геометрических неравенств.
Ураженя
Доказите неравенство2 a b + 2 b c − b 2 ⩾ 4 3 S 2ab + 2bc - b^2 \geqslant 4\sqrt{3} S 2 ab + 2 b c − b 2 ⩾ 4 3 S
Доказите, что для равностороннего треугольника неравенство (7) превращается в равенство. Верно ли обратное?
Применить тригонометрическое неравенство sin 2 γ + cos 2 γ ⩽ 2 , \sin^2 \gamma + \cos^2 \gamma \leqslant \sqrt{2}, sin 2 γ + cos 2 γ ⩽ 2 ,
c 2 − a 2 − b 2 + 2 2 a b ⩾ 4 S , c^2 - a^2 - b^2 + 2\sqrt{2}ab \geqslant 4S, c 2 − a 2 − b 2 + 2 2 ab ⩾ 4 S , 2 ( a b + b c ) − b 2 ⩾ 4 S , \sqrt{2}(ab + bc) - b^2 \geqslant 4S, 2 ( ab + b c ) − b 2 ⩾ 4 S ,
и исследуйте, когда они превращаются в равенства