Hãy tham dự kỳ thi vấn đáp

44

Chúng tôi sẽ nói với bạn trong bài kiểm tra miệng

E. B. Vakhovsky, A. B. Volinsky

Bạn đã làm gì trong bài kiểm tra miệng môn toán? Câu hỏi này đặc biệt thường được hỏi bởi những người nhận cuộc gọi khi có yêu cầu ngày càng cao (Đại học Bang Moscow, Viện Vật lý và Công nghệ Moscow và các trường khác). Tiêu chuẩn đáp số, bao gồm việc bạn cần trả lời rõ ràng các yêu cầu và biết tất cả các điểm của chương trình, sẽ làm hài lòng rất ít người. Những người nộp đơn cho biết: “Chúng tôi biết cách trả lời tấm vé và những tấm vé nào có sẵn trong kỳ thi cuối cấp ở trường, nhưng chúng tôi không biết phải làm gì sau đáp số trên tấm vé.”

Ở một mức độ nhất định, câu hỏi này là hợp lý. Mặc dù tài liệu hiện có có thể giúp người nộp đơn hiểu gần như đầy đủ về bài kiểm tra viết, nhưng tài liệu dành cho bài kiểm tra miệng chỉ tồn tại dưới dạng tập sách nhỏ do nhiều viện khác nhau xuất bản để sử dụng nội bộ.

Hiện tại, các tác giả tiểu bang đã cố gắng nêu bật các chi tiết cụ thể của bài kiểm tra vấn đáp bằng một số ví dụ.

Bài viết được chia thành hai phần. Phần đầu tiên sẽ đưa ra các công thức của bài toán không có lời giải (phần phức tạp hơn bài toán sẽ được đưa ra ngắn gọn trước); phần thứ hai sẽ chứa dữ liệu lời giải hoặc gợi ý. Giả định rằng trước tiên người đọc sẽ tự mình thử sức, sau đó nhìn vào gợi ý, nếu có, và chỉ sau đó nhìn vào lời giải nếu mọi điều kiện đều không thành công.

Nếu chúng ta xem xét tất cả các câu hỏi (bài toán) được hỏi trong bài thi vấn đáp thì tình trạng của chúng có thể được chia thành hai cấp độ.

Đối với các câu hỏi ở cấp độ đầu tiên (đơn giản hơn), bạn có thể trả lời những câu hỏi mà người nộp đơn hiểu rõ về chương trình có thể và nên trả lời gần như ngay lập tức - trong vài phút. Nếu người nộp đơn trả lời sai hoặc gây khó khăn với đáp số cho một câu hỏi như vậy, thì điều này có nghĩa là người đó có vấn đề xám về những kiến ​​​​thức cơ bản của toán học cơ bản.

Bài toán cấp độ thứ hai - phức tạp hơn. Tất nhiên, họ sẽ yêu cầu người nộp đơn phải chủ động nắm vững chương trình giảng dạy ở trường. Tuy nhiên, cần lưu ý rằng những câu hỏi như vậy chỉ có thể gặp ở những viện có yêu cầu cao hơn về toán học.

Câu hỏi cấp độ đầu tiên

1. Giải phương trình
   $$\frac{x^2 + 2x + 1}{x^2 + 2x + 1} = 1.$$

2. Nếu trong phương trình $x^2 + px + q = 0$, trong đó $p, q$ là số thực
   a) $q > 0$, vậy có đúng là các nghiệm của nó cùng dấu không?
   b) $q < 0$ thì có phải gốc của nó là các dấu khác nhau không?

45

3. Bên trong một đường tròn bán kính $R$ có hai đường tròn khác tiếp xúc nhau và đường tròn đã cho. Tìm chu vi của một tam giác có các đỉnh là tâm của ba đường tròn.

4. Các góc của một tam giác có thể thỏa mãn đẳng thức không
   $$\sin A + \sin B = \sin C?$$

5. Sự bình đẳng $\sin \alpha = \lg \sin \alpha$ có thể xảy ra không?

6. Chứng minh rằng một tam giác cân bằng nếu hai đường trung tuyến của nó bằng nhau.

7. Chứng minh rằng đối với một hình thang tùy ý $ABCD$ đẳng thức $AO \cdot BO = DO \cdot CO$ là đúng, trong đó $O$ là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

8. Hình bán nguyệt có bán kính $R$ được chia thành ba phần bằng nhau và điểm phân chia là điểm nối có một đầu của đường kính phụ thuộc hình bán nguyệt này. Tìm diện tích giới hạn bởi hai dây cung và cung bao quanh chúng.

9. Trong một số paramid có hai ranh giới, các góc ở đáy là $\alpha$ và diện tích của đáy là $S$. Tìm diện tích bề mặt bên.

Câu hỏi cấp độ thứ hai

1*. Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng $M(x, y)$ có tọa độ thỏa mãn phương trình

$$\sin x + \sin y = \frac{x}{|x|} + \frac{y}{|y|}.$$

2*. Giải phương trình $tg x + \text{ctg} x = -1,75$.

3*. Giải bất đẳng thức $2^{3x} + 3^{2x} - 2 \cdot 11^x > 0$.

4*. Trong điều kiện nào thì một tam giác vuông $ax^2 + bx + c (a \neq 0)$ với các hệ số thực là một bình phương của một nhị thức tuyến tính có các hệ số thực?

5*. Một quả cầu có thể được vẽ bao xa qua các điểm trong không gian?

6* Có thể cắt một hình song song với một mặt phẳng để thu được một hình ngũ giác đều không?

Gợi ý. Áp dụng định lý về giao điểm của hai mặt phẳng tam giác song song.

7*. Tam giác $ABC$ là nhọn, $\angle A = \alpha$. Ở bên $BC$ hình bán nguyệt được mô tả là đường kính; $P$ và $Q$ lần lượt là giao điểm của hình bán nguyệt này với các cạnh $AB$ và $AC$. Tìm tỉ số diện tích của các hình tam giác $ABC$ và $PAQ$.

8*. Trên cạnh của một tứ giác lồi tùy ý, các đường tròn được dựng theo đường kính. Chứng minh rằng chúng bao phủ toàn bộ tứ giác.

9*. Tìm ba chữ số thập phân đầu tiên của số $7, 0,999$.

10*. a) Có tham số bộ nhớ nào có các cạnh bằng nhau không?

6. Đối với $n$ nào có tham số $n$-giác đều với tất cả các cạnh bằng nhau?

11*. Trong hình bình hành $ABCD$, các điểm $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của cạnh $BC$ và $CD$. Chứng minh rằng các đoạn $AM$ và $AN$ chia đường chéo $BD$ thành ba phần bằng nhau.

12*. Hai đường tròn nội tiếp một góc: $A$ và $B$ là các điểm tiếp tuyến của đường tròn thứ nhất với cạnh của góc, $A_1$ và $B_1$ là đường tròn thứ hai. Đoạn $AB_1$ cắt các đường tròn này tại các điểm $C$ và $C_1$. Chứng minh rằng $AC = B_1C_1$.

13*. Xây dựng một hình tam giác nếu dữ liệu là: một đường thẳng trên đó có đáy và hai điểm - đáy có độ cao hạ xuống hai bên.

14*. Có tam giác nào có trung điểm

a) các đường phân giác cùng nằm trên một đường thẳng;

b) Các đường cao có thẳng hàng không?

Gợi ý. Hãy xem xét sự khác biệt giữa a) và b).

15*. Chứng minh rằng $tg 5^\circ$ là số vô tỉ.

Gợi ý. Giả sử điều ngược lại và từ đó đưa ra kết luận nào đó về tiếp tuyến của một góc nào đó mà chúng ta đã biết.

46

16*. Trong một tam giác, tất cả các cạnh đều nhỏ hơn một. Chứng minh rằng diện tích của nó là $\frac{\sqrt{3}}{4}$.

Gợi ý. Không áp dụng định lý Heron.

17*. Cho ví dụ về hai tam giác đồng dạng nhưng không bằng nhau có hai cạnh tương ứng bằng nhau.

Gợi ý. Cố gắng tìm không phải một cách tiếp cận hình học mà là một cách tiếp cận đại số, làm việc với độ dài các cạnh của các hình tam giác này.

18*. Cho $l_1$ và $l_2$ là hai đường thẳng cắt nhau trong không gian. Tìm quỹ tích các điểm mà từ đó không thể kiểm tra được đường thẳng cắt nhau $l_1$ và $l_2$.

19*. Có một paramida hình tam giác với ít nhất một góc phẳng tù kề với mỗi cạnh không?

Gợi ý. Chứng minh rằng một paramda như vậy không tồn tại, sử dụng thực tế là một số cạnh của một tam giác tù không thể lớn nhất.

GIẢI PHÁP VÀ ĐÁP ÁN

Câu hỏi cấp độ đầu tiên

1. Đáp số: $x \neq -1$. Đôi khi họ cho đáp số: $x$ - bất kỳ, quên rằng mẫu số không được bằng 0.

2. Rõ ràng những câu hỏi này được hỏi liên tiếp - đầu tiên là a), sau đó là b). Hãy nhớ định lý Vieta: $x_1 x_2 = q$, người nộp đơn thường trả lời câu hỏi a) ở dạng khẳng định mà không cần suy nghĩ. Đáp số sai, điều này được chứng minh bằng nguyên lý đơn giản

Cơm. 1.
Cơm. 2.
Cơm. 3.

48

$D = b^2 - 4ac = 0$. Thông thường sự tương ứng này được coi là đáp số. Tuy nhiên, điều này là không đủ. Cần lưu ý rằng nếu $D = 0$ thì chúng ta chỉ có thể nói rằng $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)^2$, trong đó $x_1$ là nghiệm của tam thức, nhưng biểu thức $a(x - x_1)^2$ chưa phải là bình phương của một nhị thức có hệ số thực. Nó có thể rút gọn về dạng $(\sqrt{a}x - \sqrt{ax_1})^2$ khi và chỉ khi $a > 0$.

5*. Đáp số. If four points lie in the same plane, then either it is impossible to check through them any sphere (if they do not lie on the same circle), or it is possible to check an infinitely many sphere (if these points lie on the same circle). Nếu bốn điểm không nằm trong cùng một mặt phẳng thì có thể kiểm tra một hình cầu đi qua chúng.

6*. Để mặt cắt tạo thành hình ngũ giác, mặt phẳng cắt phải cắt nhau năm mặt. Vì chỉ có sáu mặt trong hình bình hành nên trong số mặt thứ năm này có hai mặt song song. Mặt phẳng cắt phải cắt hai mặt này dọc theo các đường thẳng song song, nhưng hình ngũ giác đều không có hai cạnh song song.

7*. Vì $BC$ là đường kính (Hình 7) nên $BQ \perp AC$ và $CP \perp AB$. Từ đây

$$AQ = AB \cos \alpha$$ và $$AP = AC \cos \alpha.$$
$$\frac{S_{\triangle PQA}}{S_{\triangle ABC}} = \frac{\frac{1}{2}AP \cdot AQ \sin \alpha}{\frac{1}{2}AB \cdot AC \sin \alpha} = \cos^2 \alpha.$$

8*. Đặt $O$ là điểm bất kỳ trong tứ giác $ABCD$. Cả bốn góc $\Rightarrow BOA$, $\Rightarrow BOC$, $\Rightarrow COD$, $\Rightarrow DOA$ đều không thể nhọn vì tổng của chúng là 2π. Do đó, một trong các góc chẳng hạn là $\Rightarrow BOC \geq \frac{\pi}{2}$. Nhưng khi đó đường tròn được tạo với đường kính $BC$ chứa điểm $O$.

9*. Từ các tính chất của hàm số mũ suy ra rằng
$$0,999 < \sqrt{7}0,999 < 1.$$

10*. Tất cả các mặt bên của paramid này là các hình tam giác đều. Do đó, tất cả các góc phẳng tại một đỉnh đều bằng $60^\circ$. Nhưng người ta biết rằng tổng các góc phẳng của một góc đa diện lồi nhỏ hơn $360^\circ$. Một lý do tương tự cho thấy rằng một tham số $n$-giác như vậy chỉ có thể tồn tại với $n \leq 5$. We leave it to the reader to prove the fact that for $n = 3, 4, 5$ such paramids exist, noting only that the existence of such a $n$-gonal paramid is equivalent to the condition $a_n > R_n$ (where $a_n$ is the side of a regular $n$-gon, and $R_n$ is the radius of the circumscribed circle).

11*. Let $O$ be the point of intersection of the diagonals, and $E$ and $F$ be the points of intersection of $BD$ with $AM$ and $AN$, respectively (Fig. 8). Dễ dàng nhận thấy $E$ là giao điểm các đường trung tuyến của tam giác $ABC$ nên $BE = \frac{2}{3}BO$ và $EO = \frac{1}{3}BO$. Tương tự như $FD = \frac{2}{3}OD$ và $OF = \frac{1}{3}OD$. Nhưng vì $BO = OD$, rồi $BE = FD$ và $EF = EO + OF = \frac{2}{3}BO$, $EF = BE = FD$.

Cơm. 7.
Cơm. 8.
Cơm. 9.

49

12*. Đặt (Hình 9) $AC = x, CC_1 = y, B_1C_1 = z$. Theo định lý nổi tiếng
$$AA_1^2 = AB_1 \cdot AC_1 = (x + y + z) \times (x + y).$$
Tương tự như vậy
$$BB_1^2 = AB_1 \cdot B_1C_1 = (x + y + z) \times (y + z).$$
Nhưng sau đó từ đẳng thức hiển nhiên $AA_1^2 = BB_1^2$ nó dẫn đến $x + y = y + z$, tức là $x = z$.

13*. Vì vậy, đã cho là đường thẳng $l$ và các điểm $D$ và $E$ (Hình 10). Giả sử rằng bài toán đã được giải. Vì $\Rightarrow ADC = \Rightarrow AEC = 90^\circ$, các điểm $A, D, E$ nằm trên hình bán nguyệt được tạo với đường kính $AC$. Đây là nơi bắt nguồn của phương pháp xây dựng. Từ giữa đoạn $DE$ ta dựng đường vuông góc với nó thì nó sẽ cắt $l$ tại điểm $O$. Từ điểm $O$ cũng như từ tâm chúng ta vẽ một hình bán nguyệt có bán kính $OE = OD$; nó sẽ giao nhau $l$ tại các điểm $A$ và $C$. Dây $AD$ và $CE$, chúng ta nhận được điểm $B$.

14*. Rõ ràng, trung điểm của các đường phân giác (cũng như các đường cao) nằm trên các cạnh (hoặc trên các cạnh con của chúng) của tam giác $A_1B_1C_1$ được hình thành bởi các đường trung bình của tam giác ban đầu $ABC$ (Hình 11). Sự khác biệt giữa các trường hợp $a$ và $b$ là trung điểm của các đường phân giác nằm bên trong cạnh của tam giác $A_1B_1C_1$, và trung điểm của các đường cao nói chung có thể nằm trên các cạnh của tam giác đó hoặc thậm chí nằm ngoài tam giác. Nếu giả sử trung điểm của các đường phân giác cùng nằm trên một đường thẳng thì ta có mâu thuẫn, từ đó sẽ có

Рис. 10. Рис. 11.

Cơm. 10. Hình 11.

tồn tại một đường thẳng cắt cả ba cạnh của tam giác $A_1B_1C_1$. Một ví dụ đơn giản về tam giác vuông cho thấy trung điểm của các đường cao nằm trên cùng một đường thẳng.

15*. Từ điểm
$$tg(\alpha + \beta) = \frac{tg\alpha + tg\beta}{1 - tg\alpha tg\beta}$$

theo đó $tg(\alpha + \beta)$ là số hữu tỉ nếu $tg\alpha$ và $tg\beta$ cùng tồn tại. Nếu bây giờ chúng ta giả sử rằng $tg 5^\circ$ là một số hữu tỷ, thì chúng ta thu được rằng $tg 10^\circ = tg(5^\circ + 5^\circ)$ cũng là một số hữu tỷ và hơn nữa, $tg 20^\circ$ và $tg 30^\circ$ cũng là số hữu tỷ. Tuy nhiên, điều sau mâu thuẫn với tính vô tỷ của số $tg 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

16*. Các điều kiện chính trong bài toán này, theo quy luật, có liên quan đến nhiều nỗ lực khác nhau để hình thành công thức Heron, vì các điều kiện liên quan đến các cạnh và diện tích. Tuy nhiên, lời giải ngắn nhất lại gắn liền với một ý tưởng khác.

Tất cả các góc của tam giác $ABC$ không thể lớn hơn $60^\circ$, vì nếu không thì tổng của chúng sẽ lớn hơn $180^\circ$. Ví dụ: giả sử $\Rightarrow A \leq 60^\circ$. thì từ công thức $S = \frac{bc}{2} \sin A$ suy ra rằng
$$S_{ABC} < \frac{1}{2} \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{4}.$$

17*. Hãy để các cạnh của tam giác tạo thành một cấp số nhân: $1, q, q^2 (q > 1)$. Hãy tăng các cạnh của tam giác này lên $q$ lần; tam giác mới sẽ có các cạnh $q, q^2, q^3$. Cả hai tam giác đều bằng nhau và có hai cạnh bằng nhau: $q$ và $q^2$. Cần lưu ý rằng những hình tam giác như vậy thực sự tồn tại. Chỉ cần kiểm tra rằng bất đẳng thức $q^2 < 1 + q$ đúng với $1 < q < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ là đủ.

18*. Qua mỗi đường thẳng $l_1$ và $l_2$ người ta có thể kiểm tra được điểm duy nhất