Lời giải bài toán trong tĩnh điện. (Tiềm năng)

55

Lời giải bài toán trong Tĩnh điện (Tiềm năng)

G. Vâng. Myakishev

Khái niệm về điện thế hay hiệu điện thế gây ra những khó khăn lớn trong quá trình nghiên cứu tĩnh điện.

Công của lực tĩnh điện bằng độ biến thiên của thế năng, lấy dấu ngược lại:

$$\Delta A = -(\Pi_2 - \Pi_1) = -\Delta \Pi,$$

trong đó $\Pi_1$ và $\Pi_2$ là giá trị năng lượng ban đầu và cuối cùng. Vì công tỉ lệ với lực và lực lần lượt tỉ lệ với điện tích $q$ mà trường tác dụng lên, nên năng lượng của điện tích trong trường là $\Pi \sim q$. Do đó, tỷ số $\frac{\Pi}{q}$ không phụ thuộc vào điện tích và có thể được coi là đặc tính của trường. Đặc tính này được gọi là tiềm năng:

$$\varphi = \frac{\Pi}{q}.$$

Nó theo sau đó

$$\Delta A = -q(\varphi_2 - \varphi_1).$$

Việc chiếu cường độ trường lên một điện áp tùy ý được xác định bởi một đoạn nhỏ $\Delta l$ có liên quan đến hiệu điện thế ở hai đầu đoạn này theo công thức

$$E_l = -\frac{\Delta \varphi}{\Delta l}.$$

Khái niệm về hiệu điện thế hóa ra khá phức tạp do thực tế là công được biểu thị không phải thông qua bản thân điện thế mà thông qua hiệu điện thế (công thức (2)). Do đó, việc thêm bất kỳ hằng số nào vào thế năng sẽ không làm thay đổi khối lượng công và do đó sẽ không thay đổi bất cứ thứ gì có ý nghĩa vật lý. Điện thế được xác định theo một hằng số tùy ý, giống như thế năng *).

Giống như cường độ trường, độ lớn của điện thế phụ thuộc vào sự phân bố điện tích trong không gian. Cụ thể, thế năng của mặt phẳng vô hạn tích điện đều trong hệ SI được xác định theo công thức

$$\varphi = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}x + c,$$

trong đó $\sigma$ là mật độ điện tích bề mặt, $x$ là khoảng cách đến mặt phẳng, $c$ là một hằng số tùy ý. Vì điện áp trường của mặt phẳng là $E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$ nên công thức (4) có thể được viết lại dưới dạng

$$\varphi = Ex + c.$$

Thế năng của một điện tích điểm có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng định luật Coulomb và công thức (2) về hiệu điện thế. Nhưng điều này khá phức tạp bài toán. Việc chứng minh điều đó sẽ dễ dàng hơn nhiều nếu xét điện thế của một điện tích điểm trong

*) Thật khó để tưởng tượng. Suy cho cùng, nếu chúng ta biết điện thế tại mỗi điểm thì điện áp của trường tĩnh điện cũng được xác định tại mỗi điểm. Nhưng đồng thời, điện thế tại một điểm nhất định có thể là bất kỳ thứ gì vì nó được xác định trong một hằng số.

Vấn đề ở đây là thế này. Điện thế tại một điểm có thể được coi là bằng bất kỳ giá trị nào, nhưng sự thay đổi điện thế khi di chuyển từ điểm này sang điểm khác, dù gần đến đâu, sẽ là chắc chắn, vì đã biết sự phụ thuộc của điện thế vào tọa độ $\varphi(x, y, z)$. Nếu điện thế hoàn toàn không thay đổi với độ lệch như vậy thì tại thời điểm này nó bằng 0. Biết bản chất của sự thay đổi điện thế tại một điểm tùy ý, bạn luôn có thể tìm thấy độ lớn và điện áp của điện áp trường tại điểm này bằng công thức (3).

56

hình thức

$$\varphi = \frac{q}{r} + c,$$

trong đó $c$ là hằng số tùy ý, chúng ta có thể sử dụng (2) để thu được định luật Coulomb. Điều này có nghĩa là công thức (6), được đưa ra mà không cần chứng minh trong môn vật lý ở trường, thực sự xác định thế năng của điện tích chính xác trong hệ thống SGSE.

Trên thực tế, hãy trộn điện tích chính xác $q_2$ trong trường của một điện tích chính xác khác $q_1$ đối với một đoạn rất nhỏ $\Delta r$. Khi đó, theo công thức (2) và (6),

$$\Delta A = -q_2 \left( \varphi_2 - \varphi_1 \right) = -q_2 q_1 \times \left( \frac{1}{r + \Delta r} - \frac{1}{r} \right) = \frac{q_1 q_2 \Delta r}{r^2 + r \Delta r}.$$

Vì $\Delta r$ nhỏ nên $r^2 \gg r \Delta r$ và

$$\Delta A = F \Delta r = \frac{q_1 q_2}{r^2} \Delta r.$$

Do đó, lực $F$ bằng $\frac{q_1 q_2}{r^2}$ và đây là định luật Coulomb. Điều này có nghĩa là công thức (6) là hợp lệ.

Giống như trường định hướng của quả cầu tích điện đối xứng trùng với điện tích có hướng chính xác, thế năng của quả cầu tích điện (bên ngoài quả bóng) cũng được xác định theo công thức (6). Trong hệ SI

$$\varphi = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon r} + c,$$

nếu quả bóng ở trong một chất điện môi đồng nhất có hằng số điện môi $\varepsilon$.

Đối với lời giải bài toán chỉ cần hiểu rõ ý nghĩa vật lý của các công thức cơ bản là đủ. Ngoài ra, thường phải sử dụng những quy định đơn giản nhưng rất quan trọng: công của trường điện nhà máy điện trên một đường dẫn kín bằng 0 và tất cả các điểm dẫn trong nhà máy điện đều có điện thế như nhau.

Nhiệm vụ 1. Có thể tồn tại một điện trường có hướng không thay đổi theo hướng $x$ và tăng theo hướng $y$ (Hình 1)?

Lời giải e. Điều đó là không thể, vì trong lĩnh vực công việc như vậy khi di chuyển điện tích dọc theo một mạch kín

Cơm. 1.

(ví dụ: hình chữ nhật có các cạnh song song với $x$ và $y$) là khác không.

Nhiệm vụ 2. Một lá kim loại được gắn vào thành trong của lưới điện cách ly với mặt đất (Hình 2). Thanh và thân của máy phát điện được nối với nhau bằng một sợi dây và sau đó một điện tích nhất định được truyền vào thân của máy phát điện. Các lá công tơ điện có lệch cùng một lúc không? Điều gì xảy ra với những chiếc lá nếu dây được tháo ra và thanh được nối với mặt đất?

Lời giải e. Thân và thanh nối bằng dây sẽ có

Cơm. 2.

đúng tiềm năng. Điện trường của lưới điện bên trong bằng 0 và các lá sẽ không bị lệch. Sau khi tháo dây nối và thay thế thanh, cả hai lá đều bị lệch do có sự chênh lệch điện thế và theo đó, một trường lưới điện sẽ xuất hiện giữa thanh và thân. Sự xuất hiện của một hiệu điện thế rất thấp bằng công của điện trường bằng 0 khi di chuyển một điện tích dọc theo một đường kín $ABCDEFA$,

57

được hiển thị trong Hình 3. Công trên phần AC phải bằng 0 vì đường CDEFA đi qua dây dẫn. Do đó, hiệu điện thế giữa vật và thanh có độ lớn bằng hiệu điện thế giữa vật và mặt đất, hiệu điện thế này (vì thân điện kế được tích điện) không bằng không.

Bài tập 3. Thế năng Π của tương tác giữa hai điện tích $q_1$ và $q_2$, nằm cách nhau một khoảng $r$ là bao nhiêu?

Lời giải e. Theo định nghĩa về điện thế (1) và công thức tính điện tích chính xác (6),

$$\Pi = \varphi_1 q_2 = \varphi_2 q_1 = \frac{q_1 q_2}{r} + c. \tag{8}$$

Bài tập 4. Một quả cầu dẫn điện đơn độc có bán kính $R$ mang điện tích $q$. Năng lượng của quả bóng là gì?

Lời giải e. Nếu một hằng số tùy ý trong công thức (7) được đặt bằng 0 thì thế năng của quả cầu trong chân không

$$\varphi = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 R}.$$

Năng lượng tự thân của quả bóng không bằng $\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 R}$, như lúc đầu nó có vẻ như vậy.

Năng lượng của quả bóng có thể được tìm thấy bằng cách tính công cần thực hiện để khiến quả bóng tích điện $q$. Chúng ta sẽ tích điện cho quả bóng bằng cách di chuyển một điện tích về phía nó từ vô cực theo từng phần nhỏ bằng nhau. Trong trường hợp này, thế năng của quả bóng sẽ tăng tuyến tính từ 0 đến $\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 R}$. Giá trị tiềm năng trung bình $\frac{1}{2} \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 R}$. Do đó năng lượng của quả bóng bằng nhau

$$\Pi = \frac{q^2}{8\pi\varepsilon_0 R}. \tag{9}$$

Bài tập 5. Ở khoảng cách $d$ tính từ điện tích chính xác $q$ có một quả cầu độc lập có bán kính $R$. Tiềm năng của quả bóng $\varphi$ là gì?

Lời giải e. Thế năng của mọi điểm trên quả bóng là như nhau. Vì vậy, với lời giải bài toán chỉ cần tìm thế của một điểm của quả bóng là đủ. Cách dễ nhất là tìm thế năng của tâm quả bóng. Nó bằng điện thế được tạo ra ở tâm quả bóng bởi điện tích chính xác $q$:

$$\varphi = \frac{q}{d} + \sum_i \frac{\Delta q_1}{r} = \frac{q}{d} + \frac{1}{r} \sum_i \Delta q_1 = \frac{q}{d}.$$

Nhiệm vụ 6. Bên trong một quả cầu dẫn điện rỗng có bán kính $r$, mang điện tích $+Q$, một vật có điện tích $-q$ được đưa vào qua một lỗ nhỏ. Thế năng của một điểm nằm cách tâm quả cầu một khoảng $R > r$ là bao nhiêu.

Lời giải e. Đầu tiên chúng ta đặt điện tích $-q$ vào tâm quả cầu. Ở bề mặt bên ngoài, điện tích này tạo ra điện tích $-q$, và ở bề mặt bên trong $+q$, và các điện tích được phân bố đều. Điện thế tại một điểm nằm ở khoảng cách $R$ bằng $\varphi_R = \frac{Q - q}{R}$ (vì tổng điện thế được gọi là điện thế bằng 0).

Khi một vật tích điện chuyển động bên trong một quả cầu, các đường hợp lưu của điện trường bị biến dạng nhưng không xuyên qua quả cầu dẫn điện. Do đó, giá trị tìm thấy của điện thế vẫn có giá trị đối với mọi vị trí của điện tích $-q$ bên trong quả cầu.

Bài tập 7. Ở tâm vòng dây có bán kính $R$ có một hạt tích điện có tốc độ $v_0$ (Hình 4). Điện tích vòng $+Q$, điện tích hạt $-q$. Hạt sẽ rời khỏi vòng với tốc độ bao nhiêu $v$?