Mối quan hệ Leibniz và tính chất phân bố của tích vô hướng của vectơ

22

Sự tương ứng Leibniz và tính chất phân bố của tích vô hướng của vectơ

Z. A. Skopets

Hãy nhớ lại rằng tích vô hướng của hai vectơ là một số bằng tích của độ dài (mô đun) của các vectơ này và cosin của góc giữa chúng:

$$a \cdot b = |a| \cdot |b| \cdot \cos(a, b).$$

(1)

Định nghĩa này phù hợp với các vectơ trên mặt phẳng và trong không gian. Phép nhân vô hướng có liên quan đến phép cộng các vectơ phân phối (phân phối):

$$a(b + c) = ab + ac.$$

(2)

Tính chất này thuận tiện sử dụng trong nhiều trường hợp, đặc biệt khi chứng minh các định lý lập thể về đường thẳng và mặt phẳng vuông góc*). Nhưng vấn đề là bản thân tính chất (2) thường được chứng minh bằng cách sử dụng một số định lý này**). Trong lưu ý này, chúng tôi sẽ chỉ ra rằng có một cách thoát khỏi nhược điểm này: chúng tôi sẽ rút ra tính chất (2) từ sự tương ứng Leibniz cho các phần tử của một paramit tam giác, và sau đó chứng minh sự tương ứng này mà không cần sử dụng các định lý lập thể.

Bản thân thư từ của Leibniz rất thú vị. Nó biểu thị khoảng cách từ đỉnh của tứ diện đến giao điểm của đường trung tuyến đối diện với đỉnh này của mặt tứ diện

Cơm. 1.

chia chiều dài của cả sáu xương sườn của nó.

1. Thư từ Leibniz. Cho hình tứ diện OABC (Hình 1), G là giao điểm của đường trung tuyến của tam giác ABC. Đặt: OG = d, OA = a, AB = c₁, OB = b, OC = c, BC = a₁, CA = b₁.
   Sau đó
   $$d^2 = \frac{1}{3} (a^2 + b^2 + c^2) - \frac{1}{9} (a_1^2 + b_1^2 + c_1^2).$$

(3)

Chúng tôi sẽ rút ra sự tương ứng này một lát sau. Bây giờ hãy thể hiện

*) Theo chương trình mới, các phép tính trên vectơ trong không gian sẽ được học ở lớp 9 trong môn học lập thể.
**) Trong phần phụ lục ở cuối bài viết, cụm từ tương ứng được in nghiêng.