Tính khối lượng bằng nguyên lý Cavalieri

9

TÍNH KHỐI LƯỢNG
VỚI SỰ GIÚP ĐỠ CỦA PRINCIAC CAVALIERI

V. L. Rabinovich

Khối lượng là gì? Làm thế nào để tính khối lượng của một cơ thể cụ thể? Đã dành cho đáp số câu hỏi đầu tiên trong số những câu hỏi này, ngay cả đối với trường hợp “đơn giản” như hình chữ nhật song song, ít nhất một trong các kích thước của nó không tương xứng với một đơn vị chiều dài cố định, liên quan đến việc sử dụng lý luận liên quan đến dạng này hay dạng khác với việc chuyển sang giới từ của một chuỗi vô hạn. Khi chuyển sang các câu hỏi phức tạp hơn - về định nghĩa và tính toán sự trao đổi của một hình song song tùy ý, sau đó là một lăng kính tùy ý, sau đó (một bước rất quan trọng!) một vật thể nguyên thủy và cuối cùng là các vật thể “tròn”: hình trụ, hình cầu và các đoạn hình cầu - chúng ta phải sử dụng ngày càng nhiều chuyển đổi mới đến các giới hạn, theo đúng nghĩa đen là xếp chúng chồng lên nhau.

Những lập luận này một mặt chứa đựng rất nhiều tinh tế và khó khăn, mặt khác chúng có vẻ (bề ngoài) khá “chuẩn mực”. Và việc không tính đến tất cả những điều phức tạp và khúc mắc này trong khóa học toán ở trường, cũng như sự “giống nhau” gây hiểu lầm của tất cả các cuộc thảo luận về giới hạn này đều dẫn đến thực tế là họ (trong cuộc thảo luận) thường bắt đầu coi chúng như những phép thuật nghi lễ không thể tránh khỏi mà không suy nghĩ về nó cũng như không cố gắng xây dựng ý nghĩa và mục đích thực sự của chúng. Bỏ qua chúng cũng có phần “bất tiện”, “không đứng đắn”: suy cho cùng thì đó là toán học! . . .

Vì vậy, không phải là có thể, ít nhất là cho đến thời điểm tốt hơn, để loại bỏ tất cả những cuộc nói chuyện bẩn thỉu về giới hạn này chỉ bằng một mức tối đa? Hóa ra là rất có thể. Để làm được điều này, chỉ cần chấp nhận cái gọi là nguyên tắc Cavalieri * như một tuyến tiền liệt (tiên đề) là đủ. Đó là chấp nhận chứ không phải chứng minh. Tất nhiên, điều này không có nghĩa là nguyên tắc này không thể được chứng minh và biện minh. Hơn nữa, lý luận về “những phần không thể chia được”, với sự giúp đỡ của chính Cavalieri đã tiếp cận công thức của mình (nhân tiện, theo nhiều cách, được Archimedes dự đoán một cách nổi bật với “phương pháp vét cạn” của ông), đã khá gần với các phương pháp tính tích phân của Newton và Leibniz, nhờ đó mà khối lượng thời gian của chúng ta được xác định “một cách nghiêm ngặt”. Nhưng vì mục tiêu của chúng ta ở giai đoạn này chính xác là loại bỏ mọi loại giới hạn, không thể chia cắt, vô cùng nhỏ, v.v., nên sẽ khôn ngoan và trung thực hơn nếu không sử dụng bất kỳ vật thay thế nào. Rốt cuộc, chúng ta biết rằng hình học được xây dựng trên cơ sở các tiên đề. Vậy sẽ có thêm một tiên đề nữa. (Khi tiếp tục, chúng tôi thấy rằng thực tế chúng tôi phải sử dụng thêm một vài tiên đề nữa, tuy nhiên, chúng cũng có thể được coi là định nghĩa.)

Vì vậy, chúng tôi xây dựng nguyên tắc Cavalieri:

Nếu, khi hai vật **) F và F₁ (xem Hình 1) cắt các mặt phẳng song song với cùng một mặt phẳng α thì luôn thu được các hình có diện tích là

*) Bonaventura Cavalieri (1598-1647) - Nhà toán học người Ý, học trò của Galiel.

**) Bằng “nội dung”, chúng ta ở mọi nơi đều hiểu “thứ gì đó có khối lượng”, mà không cố gắng xác định chính xác hơn các từ được đặt trong dấu ngoặc kép.

10

trong mối quan hệ không đổi $\lambda(\lambda > 0)$:
$$S = \lambda S_1$$
Chủ đề của những melikh này có cùng mối quan hệ:
$$V(F) = \lambda(F_1)^*$$

Từ “khối lượng” ở đây lần đầu tiên xuất hiện không phải trong lý luận “gợi ý”, mà là một phần của một câu được xây dựng chặt chẽ; Do đó, chúng ta cũng có thể hiểu tiên đề của mình như một định nghĩa về thể tích - tất nhiên, chỉ đối với những vật thể $F$ mà đối với chúng thì có $F_1$ tương ứng, mà khái niệm thể tích đã được xác định trước đó (xem bên dưới).

Bây giờ chúng ta hãy áp dụng nguyên lý Cavalieri để rút ra công thức tính thể tích của một số vật. Tuy nhiên, trước tiên, chúng ta sẽ phải nhớ lại rằng thể tích của một khối lập phương có cạnh bằng một đơn vị chiều dài được giả sử bằng một (khối lập phương như vậy được gọi là khối lập phương đơn vị**).

*) Nhìn chung, trong văn học, nguyên lý Cavalieri là một mệnh đề là trường hợp đặc biệt của mệnh đề đã cho, khi tỉ số diện tích mặt cắt tham chiếu trong mệnh đề bằng một. Tuy nhiên, chính Cavalieri trình bày và sử dụng các nguyên tắc ở dạng tổng quát hơn được chỉ định.

**) Đây là điều kiện đầu tiên trong số các điều kiện bổ sung được đề cập ở trên, có thể được hiểu như một tiên đề về thể tích của một khối đơn vị, hoặc như một định nghĩa về thể tích này.

Cơm. 1.

Cơm. 2.

a) Dấu và hình trụ tùy ý. Đầu tiên hãy xem xét một hình chữ nhật song song với các biến thể bằng 1, 1 và $h$ (h có thể là số hữu tỷ hoặc số vô tỷ). Đặt (Hình 2) song song với $AC_1$ $AB = AA_1 = 1$, $AD = h$. Hãy xem xét một khối lập phương $MP_1$, đáy của nó nằm trên cùng một mặt phẳng $\alpha$ mà trên đó có đáy song song $ABCD$. Dễ dàng nhận thấy diện tích mặt cắt ngang $S_1$ và $S$ của hình lập phương song song và hình lập phương với mặt phẳng bất kỳ song song với mặt phẳng $\alpha$ đều có tỉ số không đổi $h$, tức là $S_1 = h \cdot S$. Vì vậy, theo nguyên lý Cavalieri
$$V(AC_1) = h \cdot V(MP_1) = h \cdot 1 = h^*$$.

Bây giờ, hãy cho một đối tượng địa lý (hoặc hình trụ) tùy ý $F$ (Hình 3) với diện tích đáy $S$ và chiều cao $h$. Chúng ta hãy định vị hình $AC_1$ song song với các thay đổi 1, 1, $h$ sao cho mặt $ABB_1A_1(AB = 1, AA_1 = 1)$ của nó nằm trong cùng một mặt phẳng $\alpha$ làm đáy của đặc điểm đã cho $F$. Vì $AD = h$, nên cả hai đáy trên của dấu này và $AC_1$ song song đều nằm trong cùng một mặt phẳng. Sau đó, trong phần của đối tượng địa lý $F$ theo bất kỳ mặt phẳng nào song song với $\alpha$ và giao với đối tượng địa lý, sẽ thu được hình bằng đáy của đối tượng địa lý. Do đó, diện tích của hình này là $S$. Ngoài ra mặt phẳng trong phần với

*) Nếu chúng ta coi trường hợp đặc biệt nêu trên của nguyên lý Cavalieri tại $\lambda = 1$ làm tiên đề, thì thay vì “tiên đề của khối lập phương đơn vị” vừa cho (xem chú thích trước), chúng ta coi sự tương ứng này là “tiên đề của sự song song góc vuông”.

11

hình bình hành cho hình vuông có diện tích 1.

Các điều kiện của nguyên lý Cavalieri được thỏa mãn. Có nghĩa,

$$V(F) = SV(AC_1).$$

Nhưng chúng tôi đã tìm thấy điều đó $V(AC_1) = h$. Vì thế,

$$V(F) = Sh.$$

6. Các tham số và hình nón tùy ý. Đầu tiên chúng ta hãy xem xét một trường hợp đặc biệt. Khối lập phương $AC_1$ có cạnh bằng $h$ (Hình 4) có thể được chia thành ba tham số tứ giác $A_1ABCD$, $A_1BCC_1B_1$ và $A_1DCC_1D_1$. Các thông số này bằng nhau. Thật vậy, các tham số đầu tiên có thể được kết hợp sao cho các cơ sở của chúng (hình vuông bằng nhau $ABCD$ và $B_1C_1CB$) và các cạnh bằng nhau $AA_1$ và $B_1A_1$ trùng nhau. Khi đó các thông số sẽ khớp nhau. Sự bằng nhau của hai tham số cuối cùng được thể hiện theo cách tương tự *). Điều này có nghĩa là âm lượng của từng tham số thứ hai nhỏ hơn khối $AC_1$:

$$V(A_1ABCD) = \frac{1}{3}h^3$$

Bây giờ giả sử một tham số tùy ý $F$ (hoặc hình nón) có diện tích

*) Có thể nhận ra sự kết hợp cần thiết của bất kỳ cặp nào trong số ba tham số này, ví dụ: bằng cách xoay một trong các tham số quanh trục $A_1C$ một góc 120°.

**) Ở đây chúng tôi sử dụng định nghĩa cuối cùng trong số các định nghĩa bổ sung (tiên đề): thể tích của một tập hợp nhiều viên phấn (trong trường hợp này là một khối lập phương) bằng tổng thể tích của những viên phấn này (paramid). Sự bằng nhau về thể tích của các vật bằng nhau (paramid) dễ dàng tuân theo nguyên lý Cavalieri.

Cơm. 3.

đáy $S$ và chiều cao $h$. Chúng ta hãy định vị tham số này sao cho đáy của nó nằm trong cùng một mặt phẳng $\alpha$ trong đó đáy của tham số tứ giác $A_1ABCD$ vừa xét nằm (chúng ta sẽ ký hiệu là $F_1$ cho ngắn gọn). Chúng ta có thể giả sử rằng các đỉnh của các tham số này nằm trên một cạnh của mặt phẳng $\alpha$. Khi đó, sử dụng định lý về tiết diện các tham số bởi một mặt phẳng song song với đáy, dễ dàng suy ra rằng diện tích các phần của cả hai vật thể bởi một mặt phẳng song song với mặt phẳng $\alpha$ sẽ liên hệ với diện tích các đáy của chúng. Vì vậy có thể áp dụng nguyên lý Cavalieri:

$$V(F) = V(F_1) \cdot \frac{S}{h^2} = \frac{S}{h^2} \cdot \frac{1}{3}h^3 = \frac{1}{3}Sh.$$

c) Quả cầu, đoạn hình cầu. Xét một bán cầu có tâm $O$ và bán kính $R$. Chúng ta hãy tiếp tục mặt phẳng $\alpha$ của vòng tròn lớn bao quanh bán cầu này và đặt trên mặt phẳng này một khối lập phương có các cạnh bằng $R$ (Hình 5). Nếu chúng ta tách khỏi khối này tham số tứ giác $BA_1B_1C_1D_1$, có đỉnh trên $B$ của khối và đáy là đáy trên của khối sau, thì chúng ta thu được một phần thân nhất định, mà chúng ta sẽ biểu thị bằng $F_1$. Chúng ta hãy giao nhau cả hai vật thể của một mặt phẳng nào đó $\alpha'$, song song với mặt phẳng $\alpha$