Sự chuyển động của các hạt mang điện trong điện trường

35

Sự chuyển động của các hạt mang điện trong điện trường

Bản chất chuyển động của một vật thể (loại quỹ đạo, công thức, biểu thức sự phụ thuộc của chuyển động và tốc độ của vật thể vào thời gian, v.v.) không phụ thuộc vào bản chất của lực tác dụng lên vật thể. Nó chỉ được xác định bằng cách lực này phụ thuộc vào tọa độ của vật và đúng thời gian. Do đó, bài toán, khác nhau về hình thức, trong đó sự phụ thuộc của lực, chẳng hạn như vào tọa độ, là như nhau, ngày nay được giải quyết theo cách tương tự. Điều này cho phép chúng ta, với lời giải nhiều bài toán về chuyển động của các hạt tích điện trong điện trường, sử dụng những gì chúng ta biết về chuyển động của một vật thể trong các trường “tương tự” khác.

Ví dụ: hãy xem xét bài toán sau đây.

Bài toán 1. Khi xem xét một ngôi nhà có mặt phẳng liền khối đồng nhất nằm ngang, tốc độ của electron phẳng tích điện bằng $v_0$ và vectơ $v_0$ tạo một góc a với phương thẳng đứng (Hình 1). Mật độ điện tích của mặt phẳng là $\sigma$. Quỹ đạo của electron là gì nếu chúng ta đi qua mặt phẳng của nó? Vận tốc của electron khi nó ở cách mặt phẳng một khoảng b là bao nhiêu?

Cơm. 1.

Khi lời giải bài toán preregregreb do lực hấp dẫn và ảnh hưởng của electron lên sự phân bố điện tích dọc theo lassine.

Lời giải. Một mặt phẳng không hữu hạn, được tích điện đều với mật độ điện tích bề mặt $\sigma$, tạo ra một trường đều có hướng

$$E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0},$$

và ở trên và dưới tấm vectơ được định hướng theo các hướng khác nhau. Do đó, khi xem xét chuyển động của một electron, sẽ thuận tiện hơn khi xem xét riêng chuyển động của electron ở trên và dưới tấm.

Trong một điện trường đều có hướng $E$, một lực không đổi tác dụng lên electron

$$F = eE,$$

(trong đó $e = -1,6 \cdot 10^{-19} \text{ к} - \text{заряд электрона}).$ Lực này truyền gia tốc không đổi cho electron

$$a = \frac{F}{m} = \frac{e}{m} E,$$

$$a = \frac{e}{m} E = \frac{e\sigma}{2\varepsilon_0 m}$$

(m là khối lượng electron). Nhưng, như chúng ta đã biết, với gia tốc không đổi của chuyển động của hạt gần bề mặt Trái đất, nơi lực hấp dẫn có thể được coi là không đổi. Do đó, electron trong trường hợp của chúng ta sẽ chuyển động giống như cách một hạt được ném từ Trái đất theo một góc so với đường chân trời. Đặc biệt, điều này có nghĩa là quỹ đạo của electron sẽ là một parabol. Chính xác hơn, không phải là một parabol mà là hai parabol ghép lại với nhau:

36

Một cái ở trên mặt phẳng, còn cái kia ở dưới. Vai trò của gia tốc rơi tự do $g$ được thực hiện bởi gia tốc $a$. Để trả lời các câu hỏi khác bài toán, chúng ta cần xét hai trường hợp: a) tấm được tích điện âm và b) tấm được tích điện dương.

Xét trường hợp a). Trong trường hợp này, vectơ chỉ phương của điện trường hướng về phía mặt phẳng và gia tốc $a$ của electron hướng ra xa mặt phẳng. Một số quỹ đạo có thể có của chuyển động của electron (đối với các giá trị khác nhau của $\sigma$) được hiển thị trong Hình 2. Nếu gia tốc “rơi tự do” $a$ lớn thì electron có thể không chạm tới mặt phẳng. Vì thành phần thẳng đứng của vận tốc ban đầu của electron bằng $v_y = v_0 \cos \alpha$, nên độ cao cực đại $H$ của “độ tăng” của nó bằng

$$H = \frac{v_y^2}{2a} = \frac{(v_0 \cos \alpha)^2}{2a} = \frac{(v_0 \cos \alpha)^2 \varepsilon_0 m}{\varepsilon \sigma}.$$

Nếu $H < d$, thì điều này có nghĩa là electron sẽ không chạm tới tấm. Trong trường hợp này, khoảng cách tối thiểu mà tại đó electron tiếp cận mặt phẳng là

$$h = d - H = d - \frac{(v_0 \cos \alpha)^2 \varepsilon_0 m}{\varepsilon \sigma}.$$

Tại $H = d$ quỹ đạo của electron chạm vào mặt phẳng và ở $H > d$ electron sẽ đi qua mặt phẳng. Bên dưới tấm quỹ đạo chuyển động của electron sẽ có một parabol khác.

Vì vậy, vì ở đây gia tốc hướng ra xa bản, nên electron sẽ luôn chuyển động ra xa bản.

Chúng ta hãy tìm xem electron sẽ đi qua tấm tại thời điểm nào và tốc độ của nó tại thời điểm đó. Để làm điều này, chúng tôi viết ra các phương trình chuyển động của electron. Hình chiếu của vận tốc electron lên trục $X$ (Hình 2) được vẽ và bằng $v_x = v_0 \sin \alpha$. Do đó, tọa độ $x$ của electron thay đổi theo thời gian theo định luật

$$x = v_x t = v_0 \sin \alpha \cdot t.$$ (4)

Vì gia tốc của electron $a$ hướng dọc theo trục $Y$ nên tọa độ $y$ thay đổi theo thời gian như sau:

$$y = v_0 \cos \alpha \cdot t + \frac{at^2}{2}.$$ (5)

Tại thời điểm $t = t_1$, lúc đó electron đi qua tấm, $y = y_1 = d$ và $x = x_1$. Thay các giá trị này $t$, $x$ và $y$ vào phương trình (4) và (5), chúng ta thu được:

$$x_1 = v_0 \sin \alpha \cdot t_1,$$

$$d = v_0 \cos \alpha \cdot t_1 + \frac{at^2}{2}.$$ (6)

Giải hệ phương trình này, ta tìm được

$$t_1 = \frac{-v_0 \cos \alpha + \sqrt{v_0^2 \cos^2 \alpha + 2ad}}{a}$$

$$x_1 = v_0 \sin \alpha \cdot \frac{-v_0 \cos \alpha + \sqrt{v_0^2 \cos^2 \alpha + 2ad}}{a}$$

*) Giải phương trình thứ hai (6), chúng tôi loại bỏ nghiệm thứ hai, lớn hơn cho $t_1$. Phương trình này cho phép chúng ta xác định những thời điểm đó khi tần số có tọa độ $y$ bằng $d$. Nếu tấm ở xa và electron không đi qua nó trong quá trình chuyển động của nó, thì giá trị $y$ này sẽ được lặp lại hai lần: lần đầu tiên khi electron “tăng” và lần thứ hai khi nó “rơi”. Giá trị tọa độ $y = d$ trong quá trình “quay trở lại” của electron tương ứng với căn bậc hai của $t_1$, bằng

$$-v_0 \cos \alpha - \sqrt{v_0^2 \cos^2 \alpha + 2ad}$$

37

Tại $H = d$ ($2ad = -v_0^2 \cos^2 \alpha$) quỹ đạo của mặt phẳng điện tiếp xúc với tấm tại điểm $x_2 = -\frac{v_0^2 \sin \alpha \cos \alpha}{a} = -\frac{v_0^2 \sin 2\alpha}{2a}$. Đây là một nửa quãng đường bay của một vật được ném theo một góc so với đường chân trời.

Để tìm tốc độ của một điện cực tại bất kỳ thời điểm nào, bạn chỉ cần tìm thành phần thẳng đứng $v_y$ của tốc độ của nó tại thời điểm này, vì $v_x = \text{const}$. Giá trị $v_y$ thay đổi theo thời gian theo công thức

$$v_y = v_0 \cos \alpha + at.$$

Vào thời điểm $t = t_1$

$$v_y = v_0 \cos \alpha + at_1 = \sqrt{v_0^2 \cos^2 \alpha + 2ad}.$$

Tốc độ của điện lúc này là

$$v_1 = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{v_0^2 + 2ad} = \sqrt{v_0^2 + \frac{e\sigma d}{\varepsilon_0 m}}.$$

Để tìm tốc độ của điện, người ta có thể tính toán theo cách khác - sử dụng thực tế là độ biến thiên động năng của một vật luôn bằng công do một lực tác dụng lên vật đó. Điều này có nghĩa là

$$\frac{mv_1^2}{2} - \frac{mv_0^2}{2} = Eed.$$

Từ đây

$$v_1 = \sqrt{v_0^2 + \frac{2Eed}{m}} = \sqrt{v_0^2 + \frac{e\sigma d}{\varepsilon_0 m}}.$$

Tốc độ này được thực hiện ở một góc thẳng đứng $\beta$ sao cho

$$\sin \beta = \frac{v_x}{v_1} = \frac{v_0}{\sqrt{v_0^2 + \frac{e\sigma d}{\varepsilon_0 m}}} \sin \alpha.$$

Theo cách tương tự, bạn có thể tìm tốc độ $v'$ của điện cực tại thời điểm nó ở dưới tấm và cách nó một khoảng $b$. Vì bên dưới tấm là lực tác dụng lên điện cực

Hãy giải quyết một vấn đề hiển nhiên khác với việc truyền bài toán.

Bài 2. Ta đặt một electron vào giữa một tụ điện phẳng có vận tốc $v_0$, hướng song song với các bản của tụ điện. Khoảng cách giữa các bản của tụ điện là $d$, chiều dài của các bản là $L$. Electron sẽ bị cuốn ra khỏi tụ điện với khoảng cách bao nhiêu $l$ so với hướng chuyển động ban đầu, nếu tụ điện được tích điện bằng hiệu giữa các lần trao đổi $U$? Tốc độ của điện cực $v$ khi chạy bằng tụ điện sẽ là bao nhiêu? Bằng sức mạnh của sự mềm mại, hãy giả vờ.

Lời giải. Trường của tụ điện đều. Do đó, tụ điện bên trong của điện di chuyển giống như cách một vật bị ném theo đường chân trời chuyển động.

38

đếm trong một trường trọng lực đều. Gia tốc rơi tự do hướng dọc theo trục $Y$ (Hình 4) và bằng

$$a = \frac{eE}{m} = -\frac{e}{m} \frac{U}{d} (E < 0).$$

Dọc theo trục $X$, electron chuyển động với tốc độ không đổi $v_x = v_0$. Do đó, sau một thời gian electron sẽ bay ra khỏi tụ điện.

$$t = \frac{L}{v_0}.$$

Dọc theo trục $Y$ trong thời gian này anh ấy cười vào khoảng cách

$$l = \frac{at^2}{2} = -\frac{1}{2} \frac{eU}{md} \left(\frac{L}{v_0}\right)^2.$$

Vận tốc của electron tại thời điểm nó rời khỏi tụ điện sẽ được tính bằng định luật bảo toàn năng lượng:

$$\frac{mv^2}{2} - \frac{mv_0^2}{2} = Eel,$$

$$v = \sqrt{v_0^2 + \frac{2Eel}{m}} = \sqrt{v_0^2 + \left(\frac{eUL}{mdv_0}\right)^2}.$$

Vectơ vận tốc $v$ tạo một góc $\beta$ với hướng của vectơ $v_0$ sao cho

$$\cos \beta = \frac{v_0}{v} = \frac{v_0}{\sqrt{v_0^2 + \left(\frac{eUL}{mdv_0}\right)^2}}.$$

Như bạn có thể thấy, bài toán là về chuyển động của một hạt tích điện trong quá trình ngưng tụ

$$F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Qq}{r^2},$$

trong đó $r$ là khoảng cách giữa các điện tích. Lực này hướng dọc theo đường nối các điện tích và truyền gia tốc cho điện tích $q$

$$a = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Qq}{r^2 m}$$

($m$ là khối lượng điện tích $q$).

Lực $F$ tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa các điện tích. Nhưng cường độ của lực hấp dẫn cũng phụ thuộc vào khoảng cách. Điều này có nghĩa là trong trường của một điện tích chính xác cố định, một hạt tích điện chuyển động giống như một vật chuyển động trong trường hấp dẫn ở một khoảng cách lớn tính từ tâm tiếp nhận - theo hình tròn, hình elip, parabol hoặc hyperbol, tùy thuộc vào tốc độ của hạt.

Trong phần lớn bài toán có thể gặp trong các kỳ thi, quỹ đạo chuyển động là một vòng tròn. bài toán như vậy cần phải được giải theo cách tương tự như bất kỳ bài toán nào khác đối với chuyển động của một vật thể theo đường tròn - viết phương trình chuyển động (P. phương trình của định luật Newton), lợi dụng thực tế là khi một vật chuyển động trong một vòng tròn bán kính $R$ với tốc độ $v$ thì gia tốc hướng tâm của nó bằng

$$a = \frac{v^2}{R}.$$

Hãy xem một ví dụ.

Bài toán 3. Trong mô hình Bohr-Rutherfor của nguyên tử hydro, electron di chuyển dọc theo vòng tròn

39

Cơm. 5.

hạt nhân mang điện tích dương. Điện tích hạt nhân $|e|$. Xác định tốc độ và gia tốc của electron trong nguyên tử nếu bán kính của nguyên tử hydro là $r = 0,5 \cdot 10^{-10}$ m.

Lời giải e. Hãy viết phương trình chuyển động của electron:

$$\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{e^2}{r^2} = m \frac{v^2}{r},$$

trong đó $m$ là khối lượng của electron và $v$ là tốc độ của nó. Từ đây chúng ta sẽ tìm thấy

$$v = \sqrt{\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{e^2}{mr}} \approx 2,2 \cdot 10^6 \text{ m/c.}$$

$$a = \frac{v^2}{r} \approx 9,7 \cdot 10^{22} \text{ m/c}^2.$$

Bài toán 4. Hai điện tích cực mạnh giống hệt nhau $q$ chuyển động theo một vòng tròn bán kính $R$ xung quanh điện tích $Q$. Trong trường hợp này, các điện tích $q$ nằm ở hai đầu của đường kính dải đơn (Hình 5). Vận tốc được đặt tên của các điện tích $q$ và tỷ số giữa động năng tổng cộng của các điện tích và tức thời.

Lời giải. Các khoản phí $Q$ và $q$ phải có biểu tượng khác nhau, nếu không các khoản phí $q$ sẽ bay xa. Mỗi điện tích $q$ chịu tác dụng của một lực

$$F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{Qq}{R^2} - \frac{q^2}{(2R)^2} \right).$$

Lực này truyền cho mỗi điện tích một gia tốc hướng tâm bằng $\frac{v^2}{R} = \omega^2 R$, trong đó $\omega$ là vận tốc góc của điện tích. Đó là lý do tại sao

$$\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{Qq}{R^2} - \frac{q^2}{(2R)^2} \right) = m\omega^2 R.$$

Từ đây

$$\omega = \sqrt{\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{Qq}{R^2} - \frac{q^2}{4R^2} \right)} \frac{1}{mR} =$$

$$= \frac{1}{4R} \sqrt{\frac{1}{\pi\varepsilon_0 mR}} \left( 4Qq - q^2 \right).$$

Động năng của hệ vết thương là tổng động năng của các điện tích $q$:

$$W_{\text{киин}} = 2 \frac{mv^2}{2} = m(\omega R)^2 =$$

$$= \frac{1}{16\pi\varepsilon_0 R} \left( 4Qq - q^2 \right).$$

Thế năng của hệ bằng số lượng với công cần thiết để biến đổi $q$ từ vô cực sang khoảng cách $R$ từ điện tích $Q$. Để xác định lại một trong các điện tích trong lĩnh vực điện tích $Q$ cần phải thực hiện công việc

$$A_1 = -\varphi \cdot q = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{R} q,$$

(f là thế năng của trường điện tích $Q$ ở khoảng cách $R$ tính từ điện tích), và để thiết lập lại điện tích thứ hai (teler đã có trong trường điện tích $Q$ và $q$) cần phải thực hiện công

$$A_2 = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{R} q + \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{2R} q.$$

Thế năng Posny của hệ bằng

$$W_{\text{пот}} = A_1 + A_2 =$$

$$= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{q^2}{2R} - 2 \frac{Qq}{R} \right),$$

Và

$$\frac{W_{\text{киин}}}{W_{\text{пот}}} = -\frac{1}{2}.$$

Bài toán 5. Hạt tích điện có khối lượng $m$ được quấn quanh điện tích $Q$ theo quỹ đạo hình elip (Hình 6). Điện tích của hạt là $q$. Khoảng cách tối thiểu giữa điện tích $Q$ và hạt là $r$ và tối đa là $R$. Mất bao lâu để $T$ thực hiện một vòng quay hoàn chỉnh xung quanh điện tích $Q$?

Lời giải. Lực mà điện tích $Q$ tác dụng lên một hạt từ điện tích-

41

và ở khoảng cách $l$ tính từ nó có điện tích $+q$ (Hình 7). Điện tích $q$ được giải phóng. Tốc độ tối đa anh ta sẽ đạt được là bao nhiêu?

Lời giải. Điện tích $q$ chịu tác dụng của hai lực - lực $F_1$ tương tác với điện tích $Q$: $F_1 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Qq}{x^2}$ (x là khoảng cách giữa các điện tích) và lực $F_2$ tương tác với trường $E$:

$$F_2 = Eq.$$

Nếu tại thời điểm ban đầu $F_1 > F_2$, tức là $\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{qQ}{l^2} > Eq$, thì sau khi điện tích $q$ được giải phóng, nó sẽ di chuyển sang phải và nếu $F_1 < F_2$ - sang trái. Để xác định trường hợp, chúng ta hãy xem xét trường hợp $F_1 > F_2$. Lực đa tác dụng $F_1$ và $F_2$ truyền cho điện tích $q$ gia tốc $a = \frac{F_1 + F_2}{m}$, hướng vào thời điểm bắt đầu chuyển động dọc theo đường tác dụng của lực $F_1$ ($a = \frac{F_1 - F_2}{2}$). Lực $F_2$ không phụ thuộc vào vị trí của điện tích, nhưng lực $F_1$ sẽ phá hủy khi khoảng cách giữa các điện tích tăng lên. Khi độ lớn là $F_2$, lực đa tác dụng $F_1$ và $F_2$ sẽ hướng về phía điện tích $Q$ và sẽ làm giảm tốc độ của điện tích $q$. Rõ ràng, tốc độ sạc $q$ là tối đa khi $F_1 = F_2$, tức là khi

$$\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Qq}{x^2} = Eq.$$

Khoảng cách giữa các điện tích $q$ và $Q$ tại thời điểm này là

$$x_1 = \sqrt{\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 E}}.$$

Để tìm tốc độ điện tích $q$ tại thời điểm này, chúng ta sử dụng định luật bảo toàn năng lượng:

$$-\Delta W_{\text{пот}} = \Delta W_{\text{кини}}$$

hoặc

$$(\varphi_1 - \varphi_2)q = \frac{mv^2}{2},$$

trong đó $\varphi_1$, $\varphi_2$ là thế của các điểm $x = l$ và $x = x_1$. Nhưng

$$\varphi_1 - \varphi_2 = -E(x_1 - l) +$$

Cơm. 7.

$$+\left(\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}l - \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 x_1}\right) =$$

$$= (x_1 - l)\left(-E + \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 x_1}\right) =$$

$$= \left(\sqrt{\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 E}} - l\right)\left(-E + \frac{1}{l}\sqrt{\frac{QE}{4\pi\varepsilon_0}}\right).$$

Bởi vì

$$v = \sqrt{\frac{2q}{m}\left(\sqrt{\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 E}} - l\right)} \times \sqrt{\left(-E + \frac{1}{l}\sqrt{\frac{QE}{4\pi\varepsilon_0}}\right)}.$$

Bài tập

1. Chu kỳ dao động của ma trận toán học sẽ thay đổi bao nhiêu lần nếu quả cầu có khối lượng $m$ của nó được tích điện $q$ và nam châm được đặt trong một điện trường đều có cường độ $E$ (trường dọc hoặc ngang)?
2. Với tốc độ tương đối tối thiểu nào thì các proton ở cách nhau $l_1 = 5$ cm có thể tiếp cận nhau ở khoảng cách $l_2 = 10^{-4}$ cm?
3. Một trong các bản của tụ điện phẳng có khoảng cách giữa các bản $d = 10$ mm được “chiếu sáng” bởi tia RENT, tách ra các quang điện tử khỏi nó với tốc độ $v = 10^6$ m/s. Các electron được thu thập trên tấm thứ hai. Sẽ mất bao lâu để dòng quang dừng lại nếu $n = 10^{13}$ electron mỗi giây bị bật ra khỏi mỗi cm vuông của tấm?
4. Trong một quả cầu tích điện có bán kính cố định $R$ có một lỗ nhỏ mà qua đó một điện tích $q$ bay vào đó, chuyển động dọc theo bán kính của quả cầu. Điện tích này sẽ có tốc độ bao nhiêu tại tâm quả cầu nếu ở khoảng cách $l$ tính từ quả cầu, tốc độ của nó là $v$ và điện tích của quả cầu là $Q$?