Viện kỹ sư vận tải đường sắt Moscow

49

Khoa MCHMIS và MCRMiS

Tùy chọn 3

1. Đường trung bình của hình chữ nhật tam giác đều là $a$, và các mặt bên nghiêng với mặt phẳng đáy một góc $\alpha$. Tìm bề mặt bên của hình chữ nhật.
2. Giải phương trình:
   $$\left( x + \frac{1}{2} \right)^{\frac{1}{2}} - \left( x - \frac{1}{2} \right)^{\frac{1}{2}} = 2x^{\frac{1}{2}} \left( x + \frac{1}{2} \right)^{-\frac{1}{2}}.$$
3. Giải bất đẳng thức:
   $$\log_{2} \frac{x^2 + x - 6}{x - 4} < \frac{x^2 - 16}{x - 4} - x - 3.$$
4. Chứng minh điểm hành động:
   $$\frac{1 + \cos(2\alpha + 630^\circ) + \sin(2\alpha + 810^\circ)}{1 - \cos(2\alpha - 630^\circ) + \sin(2\alpha + 630^\circ)} = \text{ctg} \alpha.$$
   Tùy chọn 4
5. Đáy của hình chữ nhật có đáy bằng $a$, các mặt bên nghiêng với mặt phẳng đáy, hai mặt cạnh còn lại tạo thành hai góc với mặt phẳng đáy, mỗi cạnh bằng $a$. Chiều cao của hình chữ nhật là $h$. Xác định mặt bên của hình chữ nhật.
6. Giải bất đẳng thức:
   $$\lg 2 + \lg (4^{x-2} + 9) < 1 + \lg (2^{x-2} + 1).$$
7. Bốn số tạo nên một cấp số cộng. Nếu chúng ta thêm 1, 1, 3 và 9 vào chúng tương ứng, chúng ta sẽ có được một cấp số nhân. Tìm những con số này.
8. Giải phương trình:
   $$\cos^8 \left( x + \frac{\pi}{4} \right) + \sin^8 \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1 + \sin 2x}{4}.$$
   V.V. Goldberg.
   L. G. Dymbtskaya

Viện kỹ sư vận tải đường sắt Moscow
Viện Kỹ sư Vận tải Đường sắt Moscow là một trong những trường đại học lâu đời nhất ở Liên Xô và hiện là một trong những trường đại học kỹ thuật hàng đầu trong nước.
Cuộc cách mạng khoa học và công nghệ, diễn ra trên khắp đất nước và một phần trong lĩnh vực vận tải đường sắt, đã quyết định sự phát triển về chất của MINTA và mở ra những triển vọng rộng lớn mới cho sinh viên tốt nghiệp của viện tham gia vào các lĩnh vực quan trọng cả kỹ thuật và khoa học. bài toán: tăng khối lượng vận tải, tốc độ giao thông tăng mạnh, phát triển và triển khai các thiết kế hiện đại mới của ô tô, đầu máy diesel, đầu máy điện, áp dụng các phương pháp và phương tiện hiện đại xây dựng đường ray, kết cấu kỹ thuật, địa điểm và đường hầm, thay đổi bản chất quản lý quá trình vận chuyển hàng hóa, áp dụng rộng rãi tự động hóa, cơ điện tử, điện tử, máy tính và các phương pháp kỹ thuật lập kế hoạch và tối ưu hóa vận tải. Do có nhiều sinh viên tốt nghiệp, MINT về cơ bản đã trở thành học viện bách khoa lớn nhất.

Viện có 10 khoa đào tạo chuyên gia thuộc 19 chuyên ngành: hệ thống điều khiển tự động; tự động hóa và tự động hóa từ xa (trong công nghiệp); tự động hóa, viễn thông và thông tin liên lạc trong vận tải đường sắt; kế toán; vận chuyển và vận chuyển nông nghiệp; đầu máy; địa điểm và đường hầm; tổ chức cơ giới hóa xử lý thông tin kinh tế; toán ứng dụng; năng lượng công nghiệp; xây dựng công nghiệp và dân dụng; xây dựng đường sắt, quản lý đường ray; xây dựng và máy móc, thiết bị đắt tiền; xe tải và các phương tiện vận chuyển rơm; kinh tế và tổ chức xây dựng (trên đường sắt); khai thác đường sắt; điện khí hóa vận tải đường sắt; máy tính điện tử.

Ứng viên sẽ tham gia các kỳ thi sau: toán (viết và nói), vật lý (nói), tiếng Nga và văn học (viết).

50

Bài kiểm tra đầu vào môn toán ở tất cả các khoa của MIIT bao gồm một bài viết, việc hoàn thành bài viết này được phân bổ trong bốn giờ thiên văn và một bài kiểm tra miệng. Ngoại lệ là chuyên ngành “kế toán”, chỉ thực hiện bài kiểm tra vấn đáp về toán.

Kinh nghiệm cho thấy, bài thi viết là khó nhất đối với thí sinh, mặc dù ban giám khảo đã ghi bài toán vào vé, chỉ yêu cầu kiến ​​thức vững chắc về môn toán ở trường.

Vé thi vấn đáp bao gồm hai câu hỏi lý thuyết về đại số, hình học hoặc lượng giác và một câu hỏi bài toán về phương trình đại số lời giải, bất đẳng thức hoặc hệ phương trình, phương trình lượng giác hoặc đẳng thức, nghiên cứu về hàm số hoặc vẽ đồ thị.

Các lựa chọn cho bài viết và bài toán bài kiểm tra miệng được chia theo mức độ phức tạp thành ba khái niệm, tùy thuộc vào yêu cầu về kiến ​​thức cơ bản của toán học trong các chuyên ngành khác nhau. Điểm bài toán cao nhất được trình bày ở chuyên ngành “toán ứng dụng”. Điều này khá dễ hiểu; các kỹ sư tương lai được yêu cầu phải có kiến ​​thức cao hơn về những điều cơ bản của toán học.

Các lựa chọn khó khăn nhất tiếp theo được trình bày trong chuyên ngành: hệ thống điều khiển tự động, máy tính điện tử, tự động hóa và cơ điện tử trong công nghiệp.

Các biến thể của khái niệm thứ ba, và hầu hết chúng đều được thể hiện bằng kiến ​​thức về các chuyên ngành khác.

Dưới đây là các lựa chọn năm 1972.

Tùy chọn 1
(chuyên ngành: kỹ thuật công nghiệp và dân dụng, chuyên môn giao thông vận tải, kinh tế xây dựng, kinh tế vận tải, xây dựng đường sắt, địa điểm và đường hầm).

1. Hai công nhân bắt đầu làm một số công việc cùng một lúc. Sau 2 giờ, họ ngừng làm việc và tính rằng nếu làm riêng thì một người trong 3,2 giờ, người kia làm xong phần công việc còn lại trong 4,8 giờ. Hỏi mỗi người sẽ hoàn thành riêng công việc này trong bao lâu?

2. Giải hệ phương trình:

$$\begin{cases} \frac{x-y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} = 10, \\ \sqrt{xy} = 16. \end{cases}$$

3. Xác định thể tích của một đường thẳng tứ giác đều nếu diện tích tiết diện chéo của nó là S và cạnh bên tạo thành một góc α với mặt phẳng đáy.

4. Giải phương trình:

$$\sqrt{2}\cos x \cdot \text{ctg}x + \sqrt{6}\cos x - \text{ctg}x = \sqrt{3}.$$

Tùy chọn 2
(chuyên ngành: tự động hóa, cơ điện tử và truyền thông, điện tử vận ​​tải, kỹ thuật đầu máy, hệ thống điều khiển tự động).

1. Hai hình trụ lăn dọc theo một mặt phẳng nghiêng có chiều dài nào đó, một hình trụ có chu vi 2 cm, hình còn lại có chu vi 3 cm. Hình trụ thứ nhất quay nhiều hơn hình trụ thứ hai 10 vòng, lăn xuống mặt phẳng nghiêng. Chu vi của cả hai hình trụ được điều chỉnh bằng cùng một số cm, sau đó một trong số chúng quay nhiều hơn hình trụ thứ hai 3 vòng. Chiều dài của mặt phẳng nghiêng là bao nhiêu và chu vi của hình trụ được thông báo là bao nhiêu?

2. Giải hệ phương trình:

$$\begin{cases} x^2 + y^2 = 4 + \frac{y}{2}, \\ \log_3(x+2y) + \log_3(x-2y) = 1. \end{cases}$$

3. Trong một tam giác vuông, cho góc nhọn α và khoảng cách a từ đỉnh của góc nhọn kia đến tâm của đường tròn nội tiếp. Xác định diện tích của hình tam giác.

4. Tìm cos (70° + α) nếu sin (40° + α) = b và 0° < α < 45°.

Tùy chọn 3
(chuyên ngành: toán ứng dụng, máy tính điện tử, xử lý thông tin kinh tế).

1. Một số người đặt ra làm một công việc nhất định và nếu họ làm chung thì họ sẽ hoàn thành công việc trong 8 giờ. Tuy nhiên, họ bắt đầu làm việc lần lượt và mỗi người tiếp tục công việc cho đến khi hoàn thành. Phần cuối cùng của tác phẩm (bắt đầu từ thời điểm