Hãy tính số e

8

HÃY TÍNH SỐ $e$

Chúng ta. 4 người ta đã chứng minh rằng số $e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ bằng tổng của chuỗi $1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \dots$. Tuy nhiên, có thể chỉ định một chuỗi có tổng từng phần hội tụ về $e$ nhanh nhất so với tổng từng phần của chuỗi $1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \dots$. Dưới đây là một số bài toán, cách giải mà với sự trợ giúp của một số phép tính, bạn sẽ học cách tính chính xác nhiều chữ số của số $e$.

1. Chứng minh rằng với $n \geqslant 2$ đẳng thức sau đúng:

$$1 + 1 + \frac{1}{2!} +$$

$$+ \frac{1}{3!} + \dots + \frac{1}{n!} +$$

$$+ \frac{1}{n \cdot n!} = 3 - \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 2!} -$$

$$-\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 3!} - \dots - \frac{1}{(n-1) \cdot n \cdot n!}$$

Gợi ý. Áp dụng phương pháp quy nạp toán học.

2. Chứng minh rằng

$$e = 3 -$$

$$- \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+1) \cdot (n+2) \cdot (n+2)!}$$

3. Chứng minh rằng

$$e = \frac{87}{32} -$$

$$- \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+4) \cdot (n+5) \cdot (n+5)!}$$

4. $e = \frac{87}{32} -$$$$- \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+4) \cdot (n+5) \cdot (n+5)!} -$$$$- R_k$. Đánh giá phần còn lại $R_k$.

5. Tính giá trị gần đúng của $e$, lấy mục tiêu của chuỗi (1) và ước tính độ chính xác của phép tính gần đúng.

6. Chứng minh rằng

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+4) \cdot (n+5) \cdot (n+5)!} < 0,00047.$$

G. Sorokin