Trường thể chất buổi tối

62

Trường thông tin tại NSU

Từ năm 1968, Đại học bang Novosibirsk đã điều hành một trường tương ứng dành cho học sinh từ lớp 8 đến lớp 10 đến từ Siberia, Viễn Đông, Kazakhstan và Trung Á. Hiện nay, Trường Cao đẳng có 3 khoa: toán, vật lý và hóa học với hơn 2.000 sinh viên theo học. Học tại trường tương ứng giúp học sinh đào sâu kiến ​​thức, thúc đẩy sự phát triển tư duy logic độc lập và mở rộng tầm nhìn của họ.

Học sinh trường tương ứng trong năm học phải hoàn thành 5-6 bài tập, các chủ đề trùng với tài liệu các em đã học gần đây hoặc hiện đang học trong chương trình giảng dạy của trường. Đặc biệt chú ý đến những phần của chương trình chưa được giảng dạy đủ sâu ở trường trung học.

Mỗi nhiệm vụ bắt đầu bằng việc lựa chọn ngắn gọn tài liệu lý thuyết, đủ để sau khi nghiên cứu cẩn thận và sử dụng sáng tạo, có thể giải được tất cả 15 bài toán được đề xuất. Trong trường hợp này, lấy ví dụ, 1-2 bài toán, tương tự như những gì được đưa ra trong bài tập, sẽ được xem xét chi tiết. Nhiệm vụ chứa bài toán gồm hai loại: một số bài toán đơn giản, cần thiết cho lời giải và 3-4 nhiệm vụ phức tạp, rất mong muốn giải quyết toàn bộ hoặc một phần.

Hàng ngày, từ ngày 1 tháng 8 đến ngày 22 tháng 8, những học sinh giỏi nhất của Trường Tương ứng được mời đến Trường hè tại NSU, nơi họ cùng với những người chiến thắng Olympic Siberia tham dự các bài giảng của các nhà khoa học nổi tiếng, gặp gỡ giáo viên của họ,

Trường thể chất buổi tối

Trường Vật lý buổi tối (VPS) thuộc Khoa Vật lý của Đại học quốc gia Moscow. MV Lomonosov thông báo tuyển sinh lớp 8-10 cho năm học 1979/80. Các lớp học có hệ thống tại VPS góp phần phát triển các kỹ năng lời giải thể chất bài toán độc lập và giới thiệu cho sinh viên các vấn đề của vật lý hiện đại. Các lớp hội thảo được thực hiện bởi sinh viên năm cuối và nghiên cứu sinh. Những vấn đề phức tạp nhất của chương trình học ở trường đều được các giáo viên và nhà nghiên cứu của Khoa Vật lý thảo luận chi tiết trong các bài giảng. Các chuyến tham quan phòng thí nghiệm của Khoa Vật lý, Viện Nghiên cứu Vật lý Hạt nhân và Viện Thiên văn Nhà nước sẽ giúp sinh viên VPS tìm hiểu về

Cam kết về phương pháp thực nghiệm khoa học.

Kỳ tuyển sinh cạnh tranh vào Trường Vật lý buổi tối diễn ra vào tháng 9. Để tham gia cuộc thi, bạn phải nộp đơn đăng ký cho hiệu trưởng Trường Cao đẳng Vật lý trước ngày 20/9, điền đơn tại Ủy ban Komsomol của Khoa Vật lý, đồng thời nộp 2 thẻ có kích thước 3x4 cm.

Đơn đăng ký sẽ được tiếp nhận từ ngày 2 tháng 9 đến ngày 20 tháng 9, từ 16 giờ đến 18 giờ (trừ Chủ nhật) tại Ủy ban Komsomol của Khoa Vật lý Đại học Tổng hợp Mátxcơva (tòa nhà Khoa Vật lý, phòng 2-47).

Việc xét tuyển vào trường dựa trên kết quả học tập. Yêu cầu về quyền sở hữu không vượt quá chương trình giảng dạy của trường.

Địa chỉ của chúng tôi: Moscow, Leninskie Gory, Đại học quốc gia Moscow, Khoa Vật lý. Điện thoại để được tư vấn: 139-26-56.

A. Vasiliev

63

Hình bầu dục, hình số tám, hai hình bầu dục…

1. “Tám” chứa một điểm (0; 0); Thay $x=0$, $y=0$ vào phương trình (5), chúng ta thu được $\frac{2}{c^2} = \frac{1}{b^2}$, tức là $c = b\sqrt{2}$.

2. Gợi ý e. Tìm các điểm giao nhau của đường cong của chúng ta với trục $Oy$; thay thế một trong các giá trị thu được $y$ vào phương trình (5) (ý nghĩa hình học của thao tác này được mô tả trong Hình 1). Nếu phương trình kết quả (so với $x$) có một lời giải thì hình bầu dục là lồi và nếu có ba thì đó là hình bầu dục có thắt lưng.

Đáp số. a) $0 \leq c \leq b/\sqrt{2}$; b) $b/\sqrt{2} < c < b\sqrt{2}$.

3. Đáp số. $|c| < R-r$ - hai hình bầu dục; $|c| = R-r$ - tám; $R-r < |c| < R$-hình bầu dục có eo; $R \leq |c| < R+r$ - hình bầu dục lồi; $|c| = R+r$ - dấu chấm, $|c| > R+r-\emptyset$.

4. Phương trình $x^2+y^2-1=0$ xác định đường tròn có bán kính 1 có tâm tại gốc tọa độ; phương trình $x^2+y^2-4=0$ là một đường tròn có bán kính 2 có cùng tâm. Do đó, phương trình $(x^2+y^2-1)(x^2+y^2-4)=0$ xác định sự hợp của các đường tròn này.

5. Phương trình $P(x,y)=\frac{x^2}{10^2}+y^2-1=0$ chỉ định một hình elip “nằm”, có bán trục ngang bằng 10 và nửa trục dọc là 1. Hơn nữa, như dễ thấy, đối với các điểm $(x; y)$ bên trong hình elip $P(x,y)<0$,

Hình 1.

Hình 2.

Hình 3.

và cho các điểm nằm ngoài hình elip $P(x,y)>0$. Tương tự, phương trình $Q(x,y)=x^2+\frac{y^2}{10^2}-1=0$ xác định một hình elip “thẳng đứng” với $Q(x,y)>0$ bên trong và $Q(x,y)>0$ bên ngoài. Rõ ràng là phương trình $P(x,y)\cdot Q(x,y)=0$ chỉ ra sự kết hợp của hai hình elip này và dấu của hàm $F(x,y)=P(x,y)\times Q(x,y)$ sẽ như trong Hình 2. Do đó, nếu chúng ta lấy một số rất nhỏ $\varepsilon>0$, thì đường cong là đồ thị của phương trình $F(x,y)=-\varepsilon$ sẽ hoàn toàn đi qua “vùng âm” (trong Hình 2 nó giới hạn độ sâu của đám mây).

7. Bạn có thể thực hiện tương tự như trong bài toán trước đó, với hai hình elip được định vị như trong Hình 3.

8. Để đường cong bậc bốn $P(x,y)=0$ chứa, ngoài hai hình bầu dục (một trong số đó được nhúng vào hình kia), ít nhất một điểm nữa. Chúng ta hãy vẽ một đường thẳng qua điểm này cắt cả hai hình bầu dục; đường thẳng thu được có 5 điểm chung trở lên với đường cong của chúng ta. Đặt phương trình của đường thẳng này là $Ax+By+C=0$. Hãy viết hệ thống:

$$\begin{cases} P(x,y)=0 \\ Ax+By+C=0 \end{cases}$$

Sử dụng phương trình (2), chúng ta biểu thị một trong các biến theo biến kia và thay thế nó vào phương trình (1). Ta được phương trình bậc bốn. Như đã biết, nó có thể có nhiều hơn bốn lời giải, điều này mâu thuẫn với sự hiện diện của điểm thứ năm trên một đường thẳng và một đường cong.

9. Để đường cong $P(x,y)$ bao gồm 5 hình bầu dục trở lên. Hãy lấy một điểm trên mỗi hình bầu dục và vẽ một đường cong bậc hai thông qua 5 điểm thu được (phương trình của nó là $Q(x,y)=0$). Rõ ràng là các điểm có thể được chọn sao cho đường cong này cắt tất cả các hình bầu dục và không chạm vào chúng. Khi đó các đường cong $P(x,y)=0$ và $Q(x,y)=0$ sẽ có 10 (hoặc nhiều) điểm giao nhau. Chúng ta sẽ gặp mâu thuẫn nếu chứng minh rằng hệ

$$\begin{cases} P(x,y)=0 \\ Q(x,y)=0 \end{cases}$$

có nhiều nhất 8 lời giải (hãy nhớ rằng $P(x,y)$ và $Q(x,y)$ lần lượt là các đa thức bậc bốn và bậc hai); Một thực tế tổng quát hơn cũng đúng: nếu $P(x,y)$ có bậc $m$ và $Q(x,y)$ có bậc $n$, thì hệ thống (3) có nhiều nhất là $m \cdot n$ lời giải *). Để chứng minh điều này,

*) Cần lưu ý: số lời giải của hệ (3) có thể là vô hạn. (Ví dụ: đường cong $P(x,y)$ bao gồm hai vòng tròn và $Q(x,y)=0$ là một trong những vòng tròn này.) Tuy nhiên, trường hợp này không thú vị đối với chúng tôi (tại sao?). Nếu số lời giải là hữu hạn thì nó không vượt quá $m \cdot n$.

64

chúng ta rút gọn hệ (3) thành một phương trình đại số bậc 8 như sau:

1. Bằng cách thay các biến $z = ax + by + c$, $t = dx + ey + f$ và chọn số phù hợp $a, b, c, d, e, f$, ta rút gọn phương trình $Q(x, y) = 0$ về một trong các dạng sau:
   (a) $z + At^2 = B$
   (b) $z^2 + At^2 = B$.

Hơn nữa, phương trình $P(x, y) = 0$ cũng có thể được viết lại dưới dạng các ẩn số mới: $R(z, t) = 0$; đồng thời (điều này rất quan trọng!) nó sẽ vẫn là phương trình bậc bốn (giải thích!).

2. Trong trường hợp (a), sau khi biểu thị $z = -At^2 + B$, chúng ta thay biểu thức này cho $z$ vào phương trình $R(z, t) = 0$ và thu được phương trình bậc 8 đối với $t$.

3. Trong trường hợp (6), chúng ta lấy phương trình $R(z, t) = 0$ và để lại trong đó dấu vết của các đơn thức trong đó $z$ xuất hiện ở mức chẵn và phần còn lại giao nhau ở vế phải và bình phương cả hai vế của phương trình thu được. Chúng ta đã thu được một phương trình bậc tám, chứa lũy thừa phân tử chẵn $z$. Thay biểu thức $z^2 = -At^2 + B$ vào nó (xem (6)), chúng ta thu được phương trình bậc tám đối với $t$.

Sai lầm ở đâu?

Cộng các phương trình (1), (2), ta thu được phương trình
$$0x + 0y + 0z + 2d = 0.$$ (3)
Do đó, đẳng thức số $d = 0$ chỉ đạt được với điều kiện phương trình (3) có ít nhất một lời giải. Do đó, “bằng chứng” của chúng ta chỉ chứng minh điều sau: nếu hai mặt phẳng đối xứng với gốc tọa độ tương đối $O$ và cắt điểm này thì cả hai đều đi qua điểm $O$.

«Kvant» cho học sinh nhỏ
(xem «Kvant» số 7)

1. Hãy điền vào hai ô trống đầu tiên bằng các chữ cái $x$ và $y$. Lưu ý rằng $x + y = 9$, thì trong ô tiếp theo sẽ có số 6, trong $x$ tiếp theo, trong $y$ tiếp theo, v.v., cho đến khi chúng ta đến ô có số 4, nhưng sẽ có số $y$, do đó, $y = 4$ và $x = 5$, và trong ô trống cuối cùng có số 5.

2. Đáp số:

3. VI+III=IX.

4. Xét sự đối xứng trục với trục $OE$, trong đó $O$ là tâm của hình bán nguyệt (xem Hình 4) và chứng minh rằng cạnh của hình vuông lớn hơn dài gấp đôi cạnh của hình vuông nhỏ.

Hình 4.

5. Hãy để một cuốn sách có giá $x$ kopecks. Sau đó $9x < 1000$, tức là $x \leq 111$. Đồng thời $10x > 1100$, tức là $x > 110$. Do đó, $x = 111$ - một cuốn sách có giá 1 rúp. 11 kopecks

Phòng đã được chuẩn bị:
A. Vilenkin, I. Klumova, T. Petrova,
A. Sosinsky, V. Tikhomirova,
Yu. Shikhanovich

Số đã được phát hành:
M. Dubakh, E. Nazarov, A. Ponomareva,
I. Smirnova, V. Chernov

Chủ biên tập bởi L. Chernov

Biên tập nghệ thuật T. Makarova

Người hiệu đính L. N. Borovina, V. P. Sorokina

113035, Moscow M-35, B. Ordynka, 16/21,
«Kvant», điện thoại. 231-83-62
Giao tới bộ 1/VI-79
Đã ký con dấu 12/VII-79
Giấy 70×108\footnote{Nhà máy in Chekhov Soyuzpoligraproma Ủy ban Nhà nước Liên Xô về Xuất bản, In ấn và Kinh doanh Sách, Chekhov, Khu vực Moscow} 6.76 T-11249
Giá 30 kopecks. Đặt hàng 1209 Phát hành 279.035 bản.