Vòng Chín Điểm

36

Vòng tròn
chín điểm
(xem trang 4 của bìa)

Hãy dựng một tam giác ABC tùy ý và vẽ các đường cao và đường trung tuyến trong đó. Trong Hình 1, các đường chính là L, M, N của các đoạn nối trực tâm (giao điểm của các đường cao) của tam giác với các đỉnh của nó. Vì vậy, đôi khi nó còn được gọi là đường tròn điểm thứ chín.

Để chứng minh tất cả điều này, hãy xem xét một tứ giác tùy ý có các đường chéo vuông góc. Trong Hình 2, bạn thấy tứ giác ABCD trong cống, nhưng nói chung, nó có thể không lồi và thậm chí tự giao nhau. Hãy xem xét phần giữa

Hình 1.

Các độ cao (điểm D, E, F) và đáy của các đường trung tuyến (điểm K, P, G) được tô màu đỏ. Hóa ra tất cả những điểm này đều nằm trên cùng một đường tròn. Nó thường được gọi là vòng tròn Euler. Ngoài sáu điểm đã nêu, các cạnh giữa X, Y, Z, U nằm trên cùng một đường tròn. Dễ dàng nhận thấy chúng là các đỉnh của hình chữ nhật (chứng minh điều này). Do đó, chúng nằm trên cùng một đường tròn và XX và YU là đường kính của chúng. Từ những điểm này chúng ta thả các đường vuông góc XV, YW, ZT và US tới các cạnh đối diện của tứ giác hoặc phần kéo dài của chúng. Rõ ràng các điểm V, T, W và S nằm trên cùng một đường tròn: số thực, ví dụ các góc XVZ và XTZ là các góc vuông.

Bây giờ chúng ta có thể chứng minh rằng trong Hình 1 các điểm D, E, F, K, P và G nằm trên cùng một đường tròn. Trên đó, khi xem xét kỹ hơn, người ta có thể phát hiện ba hình tứ giác không lồi AHBC, ABHC có các đường chéo vuông góc. Ví dụ, trong tứ giác AHBC các đường chéo đó là các đoạn HC và AB. Chúng ta hãy chứng minh bằng tứ giác này rằng các điểm E, P, D và G thực sự thuộc cùng một đường tròn. Điểm P là trung điểm của cạnh BC và điểm E là đáy đường vuông góc kẻ từ BC đó đến cạnh đối diện AH. Tương tự, điểm D là đáy của đường vuông góc kẻ từ điểm G, chính giữa cạnh AC, tới cạnh đối diện BH của cùng một tứ giác. Tương tự như vậy, xét tứ giác ABCH, ta tin rằng điểm F cũng nằm trên cùng một đường tròn, v.v.

Dễ dàng nhận thấy rằng bán kính của đường tròn Euler bằng một nửa bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Hãy chứng minh rằng tâm đường tròn Euler chia đôi đoạn nối tâm đường tròn ngoại tiếp và trực tâm H.

V. Berezin

Hình 2.

Các độ cao (điểm D, E, F) và đáy của các đường trung tuyến (điểm K, P, G) được tô màu đỏ. Hóa ra tất cả những điểm này đều nằm trên cùng một đường tròn. Nó thường được gọi là vòng tròn Euler. Ngoài sáu điểm đã nêu, các cạnh giữa X, Y, Z, U nằm trên cùng một đường tròn. Dễ dàng nhận thấy chúng là các đỉnh của hình chữ nhật (chứng minh điều này). Do đó, chúng nằm trên cùng một đường tròn và XX và YU là đường kính của chúng. Chúng ta thả từ các điểm này vuông góc XV, YW, ZT và US xuống các cạnh đối diện của tứ giác hoặc các cạnh của chúng.