Tính toán không có tính toán

10

nghiên cứu thiên nhiên chỉ sử dụng giấy và bút chì, nghĩa là mối quan hệ suy luận giữa các đại lượng có thể quan sát được, dựa trên các định luật lý thuyết và thực nghiệm đã được tìm thấy trước đó của tự nhiên. Lý do tách biệt hai quá trình này không chỉ vì mỗi quá trình đòi hỏi kiến ​​​​thức đặc biệt của riêng mình: kiến ​​thức về các phương pháp đo lường - trong một trường hợp, và sự thông thạo bộ máy tư duy toán học và các hình thức trực giác khác nhau. Trực giác, tức là khả năng nhận biết con đường đúng đắn, đóng một vai trò quan trọng, đặc biệt là trong giai đoạn đầu làm việc. Thật không may, năng khiếu trực giác không nảy sinh ngay lập tức mà là kết quả của sự làm việc chăm chỉ, như một phần thưởng cho lời giải của nhiều bài toán khoa học.

Vì vật lý lý thuyết đề cập đến những khái niệm trừu tượng hơn vật lý thực nghiệm nên vật lý lý thuyết đòi hỏi một dạng trực giác trừu tượng hơn, đôi khi gần với trực giác của toán học. Trong thế kỷ trước, khi vật lý chưa chuyên sâu đến vậy, nhiều nhà vật lý đã kết hợp cả hai quá trình. Do đó, Maxwell, người về mặt lý thuyết đã thu được các phương trình mô tả mọi hiện tượng điện từ, cũng tham gia vào các thí nghiệm. Hertz, người đã khám phá ra sóng điện từ bằng thực nghiệm, cũng là một nhà khoa học lý thuyết giỏi. Chưa hết, trong mỗi trường hợp, có thể chỉ ra đám rước nào là đám rước chính: đối với Maxwell, đó là vật lý lý thuyết, và đối với Hertz, đó là vật lý thực nghiệm.

Vào thế kỷ 20, một trong những ví dụ đáng chú ý nhất về nhà vật lý “phổ quát” - vừa là nhà lý thuyết vừa là nhà thực nghiệm - là Enrico Fermi. Cùng với nhiều công trình khác, Fermi đã tạo ra lý thuyết về sự phân rã phóng xạ và cùng với các nhà vật lý trong nhóm của ông đã phát hiện ra các nguyên tố phóng xạ nhân tạo thực nghiệm phát sinh khi bị neutron bắn phá.

Một ví dụ khác về một nhà lý thuyết xuất sắc gắn liền với thực nghiệm là Viện sĩ G.I. Nụ-

ker, người đã kết hợp vật lý lý thuyết với những ý tưởng kỹ thuật thay thế. Ông lãnh đạo việc phát triển lý thuyết và triển khai thực tế máy gia tốc sử dụng các chùm hạt tích điện va chạm tại Thị trấn Học viện Novosibirsk.

Tuy nhiên, đây là những trường hợp ngoại lệ hiếm hoi, và một người trẻ quan tâm đến vật lý phải tự mình quyết định mình chọn cách nào trong hai đám rước.

Trong phần tiếp theo chúng ta sẽ nói về công việc của các nhà vật lý lý thuyết.

Vật lý và toán học

Vì vậy, bài toán của một nhà vật lý lý thuyết là thu được mối quan hệ giữa các đại lượng có thể quan sát được bằng các phép tính toán học. Điều này không có nghĩa là vật lý lý thuyết là một cái gì đó của toán học ứng dụng sao? Quan điểm này là hoàn toàn sai lầm. Cả về bản chất của bài toán và phương pháp tiếp cận vấn đề, toán học và vật lý lý thuyết đều khác nhau về mặt phân loại.

Trong toán học, vai trò quan trọng nhất của các khía cạnh toán học, đó là tính không thể hoàn hảo về mặt logic của tất cả các kết luận phát sinh từ các tiên đề được chấp nhận và nghiên cứu về tất cả các mối quan hệ logic có thể có. Bài toán các nhà vật lý - để có được một bức tranh chính xác nhất có thể về thế giới mà không có “luật chơi” nghiêm ngặt, sử dụng tất cả các sự kiện lý thuyết và thực nghiệm đã biết, sử dụng những sự kiện cơ bản dựa trên trực giác của hợp đồng, sau này sẽ được kiểm tra bằng thực nghiệm. Do đó, một nhà toán học khám phá tất cả các loại hình học logic có thể có, trong khi một nhà vật lý tìm ra những mối quan hệ hình học nào được hiện thực hóa trong thế giới của chúng ta.

Một nhà toán học, ngay cả khi anh ta giải quyết các vấn đề ứng dụng, tức là, bài toán không đến từ toán học, chỉ xử lý lời giải những vấn đề bài toán không yêu cầu các mệnh đề bổ sung chưa được chứng minh. Theo quy luật, một nhà vật lý sẽ giải quyết các vấn đề trong đó không có đủ dữ liệu ban đầu.

11

chính xác cho lời giải, và nghệ thuật là đoán xem những mối quan hệ hiện thực còn thiếu về bản chất là gì. Đối với những hợp đồng này, không cần phải có trực giác toán học mà là trực giác vật lý.

Sự tự tin về vật lý có thể đạt được bằng cách thu được cùng một kết quả từ những câu đầu tiên khác nhau. Trong trường hợp này, cần phải làm nổi bật những tiên đề không cần thiết, logic, không cần thiết, bản thân mỗi tiên đề đó không hoàn toàn đáng tin cậy. Điều kiện duy nhất là giảm mức độ thuyết phục của một đề xuất và phải làm rõ đề xuất nào cần được xác minh thêm.

Nếu bất kỳ lĩnh vực vật lý nào đạt đến mức phát triển đến mức tất cả các kết quả của nó có thể được suy ra từ một số tiên đề thực nghiệm được thiết lập nghiêm ngặt, thì lĩnh vực này sẽ không còn là một phần của khoa học vật lý đang phát triển và sẽ được chuyển sang lĩnh vực toán học ứng dụng hoặc công nghệ. Đây là điều đã xảy ra với cơ học cổ điển.

Tất nhiên, sẽ rất hữu ích khi phân tích cấu trúc của một lý thuyết vật lý, nghĩa là tìm ra từ đó những mệnh đề ban đầu thu được những kết quả nhất định. Tuy nhiên, trọng tâm trong cách tiếp cận tiên đề như vậy không nằm ở tính tổng quát và cấu trúc toán học của các kết luận, mà nằm ở việc lựa chọn chính xác các đề xuất ban đầu và đánh giá đề xuất nào trong số chúng được kinh nghiệm xác nhận một cách đáng tin cậy nhất. Và điều này đòi hỏi trực giác của một nhà vật lý. Trong trường hợp công việc này được thực hiện bởi một nhà toán học thì ít nhất trong một thời gian, nó cần phải được thực hiện bởi một nhà vật lý lý thuyết. Nếu không, anh ta có nguy cơ thấy mình, theo lời của catrika hữu ích Letz, ở vị trí của một eximoca, người phát triển các quy tắc ứng xử cho cư dân Congo trong thời tiết nắng nóng.

Vì vậy, toán học và vật lý là những ngành khoa học với sự phát triển của các vấn đề và phát triển các phương pháp tiếp cận vấn đề.

Trong toán học, cấu trúc logic đạt được bằng cách phân tích tất cả các logic có thể có lời giải. Trong vật lý, chỉ những lời giải có thể hiện thực hóa được trong tự nhiên mới được xem xét và độ tin cậy đạt được bằng cách kiểm tra nhiều lần các đề xuất được đưa ra. Sự chặt chẽ về mặt toán học trong vật lý là không thể và không cần thiết ở Nga. Việc đạt được một cấu trúc toán học trong vật lý không cần thiết hơn việc yêu cầu những người quản lý khai thác gỗ phải nói bằng thơ tại nơi làm việc. Nhưng đồng thời, từ lý thuyết vật lý là làm chủ bộ máy toán học, nghĩa là biết và có thể sử dụng tất cả các phương pháp toán học có thể hữu ích trong lời giải vật lý bài toán.

II. PHÂN TÍCH ĐỊNH TÍNH

Chúng ta hãy cố gắng chỉ ra bằng các ví dụ đơn giản cách làm việc của một nhà vật lý lý thuyết ở giai đoạn đầu tiên, giai đoạn quan trọng nhất của công việc, khi thực hiện phân tích định tính về bài toán đã nêu. Như chúng ta sẽ thấy, ở giai đoạn làm việc này, hầu như không cần bất kỳ phép tính nào, người ta thu được mối quan hệ sơ bộ giữa các đại lượng có trong bài toán. Giai đoạn tiếp theo của công việc - thu thập các mối quan hệ định lượng chính xác bằng cách sử dụng bộ máy toán học của lý thuyết - hoàn toàn dựa trên giai đoạn đầu tiên, trong đó bức tranh vật lý của hiện tượng được làm rõ và nảy sinh một dự án về lời giải mong đợi. Nếu không có một dự án đề xuất như vậy, người ta không thể bắt đầu tìm kiếm lời giải chính xác. Thật vậy, chỉ có thể chứng minh những phát biểu đã được đoán trước. Hầu như không có ngoại lệ cho quy tắc này.

Một trong những yếu tố chính của phân tích định tính là lời giải bài toán trên các mô hình được tha thứ, trong đó tất cả những mô hình không tồn tại đều bị loại bỏ. Làm phức tạp lời giải bài toán dễ dàng hơn nhiều so với việc giải quyết một vấn đề phức tạp.

Trong một số trường hợp đơn giản, việc phân tích thứ nguyên đơn giản về các đại lượng bài toán và khả năng có mối quan hệ giữa chúng sẽ làm sáng tỏ nhiều điều.

12

Ước tính kích thước

Để minh họa, chúng tôi chứng minh định lý Pythagore bằng cách sử dụng thông điệp thứ nguyên. Từ thứ nguyên, diện tích $S$ của một tam giác vuông có thể được viết là tích của bình phương cạnh huyền và hàm neoctor của một trong các góc nhọn: $S=c^2f(\alpha)$. Theo cách tương tự, bạn có thể tưởng tượng diện tích của hai tam giác vuông giống nhau, có được bằng cách bỏ qua chiều cao khỏi góc vuông. Đối với những tam giác này, vai trò của cạnh huyền được thực hiện bởi cạnh huyền của tam giác. Bởi vì

$$c^2f(\alpha)=a^2f(\alpha)+b^2f(\alpha).$$

Giảm $f(\alpha)$, ta thu được định lý Pythagore.

Một ví dụ khác, xét bài toán về vị trí chu kì dao động ngoài của vật nặng. Trước hết, chúng ta hãy tìm hiểu những đại lượng nào có thể được đưa vào biểu thức cho kỳ. Vì các lực tác dụng lên vật nặng là trọng lực và lực đàn hồi nên đương nhiên có thể giả sử rằng chu kỳ dao động phụ thuộc vào nghiệm rơi tự do $g$ và khối lượng $m$ của vật nặng và độ cứng của lò xo $k$. Tất nhiên, các đại lượng như nhiệt độ và độ nhớt của không khí sẽ không được đưa vào bài toán nếu chúng ta bỏ qua việc tắt dần các dao động. (Để đơn giản hóa bài toán, bạn cần biết những gì có thể bỏ qua!) Từ các giá trị $g$, $m$ và $k$, bạn chỉ có thể tạo một kết hợp có thứ nguyên thời gian - $V/m/k$. Do đó, khoảng thời gian $T$ bằng

$$T=C\sqrt{m/k}.$$

Diagram of triangle with sides $S_1 = S_2 + S_3$, $S_1 = c^2f(\alpha)$, $S_2 = a^2f(\alpha)$, $S_3 = b^2f(\alpha)$

Gia tốc $g$ không được bao gồm trong đáp số. Không thể tìm thấy hằng số không thứ nguyên $C$ từ các thông điệp thứ nguyên; chúng ta chỉ có thể nói rằng nó không lớn lắm cũng không nhỏ lắm - nó thuộc trật tự thống nhất. Thật vậy, giá trị của $C$ phải được tìm thấy từ lời giải của phương trình chuyển động của vật nặng mà chúng ta chưa viết. Và các hệ số không thứ nguyên phát sinh từ phương trình gặp trong vật lý, như một quy luật, hóa ra có thứ nguyên thống nhất *). Tính toán chính xác sẽ cho giá trị 2π cho $C$.

Như vậy, không cần tính toán, chỉ sử dụng phân tích thứ nguyên, chúng ta đã tìm được giá trị gần đúng của chu kỳ dao động của trọng lượng bên ngoài.

Ví dụ tổng quát hóa - bộ dao động

Trong tất cả các lĩnh vực vật lý đều có bài toán liên quan đến bình của các hệ thống vị trí gần. Để hiểu nhiều hiện tượng và do đó để phân tích định tính các hiện tượng này, bạn cần biết các đặc tính chung của các hệ thống đó. Các hệ dao động xung quanh vị trí cân bằng, bất kể cấu trúc của chúng như thế nào, được gọi là bộ dao động. Ví dụ đơn giản nhất về dao động là một trọng lượng bên ngoài, một tấm thảm toán học. Một ví dụ phức tạp hơn là một quốc gia căng thẳng; nó có thể có nhiều loại rung động: rung có một nút âm ở giữa (âm cơ bản), có một nút, hai nút, v.v. (âm bội). Vì vậy, một quốc gia là một tập hợp các bộ dao động có tần số khác nhau. Một ví dụ tương tự là cột không khí trong tổ chức lao động; nó có thể được tạo ra để rung với tần số cao nhất (âm cơ bản) hoặc với tần số cao hơn, khi tại một số điểm không khí đứng yên (tương tự như các nút trong máy rung dây).

Đặc tính chung của tất cả các bộ dao động là như sau: bất kể thiết bị cụ thể nào, bộ dao động

*) Tuyên bố này không thể được chứng minh một cách tổng quát, nhưng nó hầu như luôn đúng và thực tế này được sử dụng rộng rãi trong mọi đánh giá.

13

cổ (tức là dao động quanh vị trí cân bằng) của hệ, năng lượng của hệ tại bất kỳ thời điểm nào có thể được viết dưới dạng

$$E = \gamma q^2 / 2 + \beta \dot{q}^2 / 2,$$

(*)

trong đó $q$ là các đại lượng đặc trưng cho độ lệch so với vị trí cân bằng và $\dot{q}$ là tốc độ thay đổi của đại lượng $q$ theo thời gian (nghĩa là $\dot{q} = \Delta q / \Delta t$, trong đó $\Delta t$ là một khoảng thời gian nhỏ). Thuật ngữ $\Pi = \gamma q^2 / 2$ là thế năng của bộ dao động; hệ số $\beta$ được gọi là khối lượng dao động. Thuật ngữ $K = \beta \dot{q}^2 / 2$ là động năng của bộ dao động; hệ số $\beta$ được gọi là khối lượng dao động. (Hãy nhớ cách viết năng lượng của bộ dao động đơn giản nhất—một trọng lượng bên ngoài—và bạn sẽ hiểu tại sao $\gamma$ được gọi là độ cứng và $\beta$ là khối lượng của bộ dao động.)

Cho dù bộ dao động được thiết kế đặc biệt như thế nào thì phần góc $\omega = 2\pi/T$ của nó được biểu thị như sau thông qua độ cứng $\gamma$ và khối lượng $\beta$:

$$\omega = \sqrt{\gamma / \beta}.$$

Sự ra đời của một bộ dao động “tổng quát”, tọa độ của nó không nhất thiết phải là khoảng cách từ vị trí cân bằng, nhưng có thể có bất kỳ ý nghĩa nào, miễn là năng lượng cũng có cấu trúc như $E$ trong biểu thức (*), cho phép chúng ta đưa ra kết luận về hành vi của một hệ dao động không có khoảng cách về bản chất vật lý và nguồn gốc của các quá trình trong đó.

Để rõ ràng hơn, hãy đưa ra một ví dụ khác về bộ dao động, không giống với tất cả các ví dụ đã nêu ở trên. Giả sử rằng có một cuộn cảm $L$ được làm bằng dây dẫn điện tốt, các đầu của nó được nối với điện dung của tụ điện $C$, có điện tích $Q_0$. Dao động điện từ xuất hiện trong mạch. Nếu cuộn dây được làm bằng chất siêu dẫn (điều này đòi hỏi nhiệt độ thấp), thì dao động thực tế sẽ không bị tắt dần.

Năng lượng của một hệ thống như vậy bao gồm hai thành phần: năng lượng của từ trường trong cuộn dây và năng lượng của điện trường trong tụ điện. Năng lượng điện trường của tụ điện tỉ lệ với bình phương điện tích $Q$ hiện tại nằm trên bản tụ: $\Pi = \frac{1}{C} Q^2 / 2$.

Năng lượng từ trường của cuộn dây tỉ lệ với bình phương cường độ dòng điện $I$ hiện đang chạy qua cuộn dây: $K = L I^2 / 2$. Nhưng cường độ dòng điện bằng tốc độ thay đổi điện tích của tụ điện theo thời gian: $I = \dot{Q}$. Do đó, năng lượng từ trường của cuộn dây là $K = L \dot{Q}^2 / 2$.

Do đó, năng lượng của hệ tại thời điểm bất kỳ bằng

$$E = \frac{1}{C} Q^2 / 2 + L \dot{Q}^2 / 2.$$

Hệ thống của chúng tôi là một bộ dao động; vai trò của tọa độ dao động được thực hiện bởi điện tích $Q$, thế năng của bộ dao động là năng lượng của tụ điện và động năng là năng lượng của từ trường của cuộn dây. Từ bản ghi năng lượng, rõ ràng độ cứng của bộ dao động này là $1/C$, và vai trò của khối lượng điện cảm là $L$. Bạn có thể viết ngay một phần dao động: $\omega = \sqrt{1/LC}$.

14

Mạch dao động như vậy được gọi là mạch dao động điện.

Làm thế nào để đoán lời giải?

Chúng ta hãy đưa ra một ví dụ về cách một số tính năng lời giải được yêu cầu trước khi bộ máy xác định chính xác lời giải bài toán được xây dựng, trước khi tìm ra các phương trình trên cơ sở đó bài toán sẽ được giải. Đây là sự ngược lại và là một ví dụ về phân tích thứ nguyên phức tạp hơn so với trường hợp bộ dao động.

Một trong những vấn đề khó khăn nhất và chưa được giải quyết bài toán vật lý lý thuyết—mối liên hệ giữa hiện tượng hấp dẫn và điện.

Nếu một kết nối như vậy tồn tại, thì nhờ lời giải một số phương trình chưa được tìm thấy, sẽ thu được một số không thứ nguyên *), đưa ra sự tương ứng giữa lực hấp dẫn được xây dựng γ và các đại lượng đặc trưng cho hiện tượng điện từ, chẳng hạn như tốc độ ánh sáng c, điện tích của electron e và khối lượng m của nó.

Nếu hiện tượng lượng tử tồn tại thì bài toán có thể bao gồm Planck’s h. Biết thứ nguyên của các đại lượng γ, c, e, m, h, thật dễ dàng để xác minh rằng từ các đại lượng này chỉ có thể tạo ra hai tổ hợp không thứ nguyên độc lập:

$$\alpha = e^2/\hbar c; \quad \xi = \hbar c/\gamma m^2$$

(nhớ lại $\hbar = h/2\pi$).

Sự kết hợp đầu tiên trong số này đặc trưng cho sự tương tác của electron với trường điện từ (“điện tích” không thứ nguyên của electron) và được gọi là cấu trúc tinh tế được xây dựng. Thay thế các giá trị số sẽ cho $\alpha = 1/137$, $\xi = 5 \cdot 10^{44}$. Một số lớn như ξ có thể phát sinh từ lời giải bất kỳ phương trình hợp lý nào không? Các số không thứ nguyên sinh ra từ lời giải vật lý bài toán, như chúng ta đã nói, có cấp độ của một số đơn vị hoặc phân số của các đơn vị.

*) Để sự tương ứng giữa các đại lượng vật lý khác nhau không phụ thuộc vào việc lựa chọn đơn vị thì phải viết dưới dạng tổ hợp không thứ nguyên.

Do đó, chúng ta có thể mong đợi rằng đại lượng ξ sẽ nhập bài toán ở dạng sao cho kết quả sẽ là số cấp 1. Cho đến nay chúng ta đã áp dụng lẽ thường. Bây giờ cần phải thực hiện một bước nhảy vọt nhỏ về logic trực quan. Có khả năng là lý thuyết sẽ bao gồm sự kết hợp

$$\alpha \ln \xi \sim 1.$$

Rõ ràng là việc biết về sự tương ứng như vậy sẽ giúp bạn tìm thấy lời giải dễ dàng hơn. Chính ở dạng này, giá trị ξ đã được đưa vào các nỗ lực lý thuyết hiện có lời giải bài toán về mối liên hệ giữa các điện tử và lực hấp dẫn.

III. ĐƠN GIẢN TUYỆT VỜI

Ý tưởng cơ bản của cơ học lượng tử

Hãy thử trình bày bằng một ví dụ khác, bằng cách cực kỳ đơn giản hóa bài toán, chúng ta có thể xác định các đặc điểm chính của hiện tượng. Ví dụ này sẽ nêu bật cách tiếp cận định tính đối với bài toán.

Theo cơ học lượng tử, năng lượng của electron trong nguyên tử chỉ có thể nhận những giá trị rời rạc.

Các giá trị có thể có của năng lượng electron trong nguyên tử hydro được cho bởi biểu thức

$$E_n = - \frac{me^4}{\hbar^2} \frac{1}{2n^2}.$$

(**)

Sự khác biệt về giá trị $E_n$ của hai $n$ (n=1,2,3,…) khác nhau được xác định với độ chính xác cao theo tần số của các vạch quang phổ quan sát được trong thí nghiệm.

Ý tưởng cơ bản của cơ học lượng tử là mỗi hạt (trong trường hợp này là electron) được đặc trưng bởi một quá trình sóng vô hạn có bước sóng

$$\lambda = \frac{2\pi \hbar}{mv},$$

trong đó $m$ là khối lượng của hạt, $v$ là tốc độ của hạt. Các giá trị rời rạc của năng lượng electron thu được từ điều kiện dọc theo chiều dài quỹ đạo mà electron di chuyển phải có

*) Các nhà vật lý, theo nguyên tắc, không sử dụng hệ SI. (Chú thích của tác giả.)

15

có một số nguyên sóng. Nếu bán kính quỹ đạo là $r$ thì điều kiện $2\pi r = \lambda n$ ($n=1, 2, \dots$) hoặc $mv_n = \hbar n/r$ tương ứng với trạng thái $n$ của electron. Từ đây không khó để tìm được động năng ở trạng thái $n$:

$$W_n = m v_n^2 / 2 = \hbar^2 n^2 / 2 m r^2.$$

Tổng năng lượng của electron là tổng động năng và thế năng trong trường hạt nhân, âm và bằng $U = -Z e^2 / r$. Tổng năng lượng của electron trong nguyên tử hydro là

$$E_n(r) = \hbar^2 n^2 / 2 m r^2 - e^2 / r.$$

Trong đạo hàm của chúng tôi, chúng tôi giả sử rằng bán kính quỹ đạo $r$ có một giá trị cố định. Theo cơ học lượng tử, bán kính của các quỹ đạo bị “tán xạ” trong vùng lân cận của các nguồn quỹ đạo cổ điển. Để ước tính bán kính, chúng ta có thể lấy giá trị $r$, tương ứng với năng lượng tối thiểu $E(r)$.

Để tìm mức tối thiểu $E(r)$, chúng ta tiến hành như sau. Hãy viết lại biểu thức cho $E(r)$ như sau:

$$E = A x^2 - B x.$$

Chúng tôi đã sử dụng các ký hiệu sau: $x = 1 / r$, $A = \hbar^2 n^2 / 2 m$, $B = e^2$. Có thể thấy rằng đối với $x_1 = 0$ và $x_2 = B / A$ giá trị của $E$ bằng 0. Bên trong tích phân $]x_1, x_2[$ E là âm. Đâu đó bên trong tích phân này nằm ở mức tối thiểu $E$. Để ước tính, chúng ta sẽ giả sử rằng $E_{\min}$ tương ứng với giá trị $x$ ở giữa tích phân, tức là $x = B / 2 A$. Theo đó, $r = 1 / x = 2 A / B$, tức là

$$r_n = \frac{\hbar^2 n^2}{m e^2}.$$

(Lưu ý rằng với $n = 1$ biểu thức này

$$E_n = - \frac{m e^4}{\hbar^2} \frac{1}{2 n^2},$$

tức là một biểu thức khớp với (**)!

Trong thực tế, một electron có thể ở bất kỳ khoảng cách nào tính từ hạt nhân với những xác suất khác nhau. Sự đơn giản hóa trạng thái của chúng ta trong giới từ rằng khoảng cách này là chắc chắn, bằng $r$, được tìm thấy từ điều kiện năng lượng tối thiểu. Tất nhiên, chúng tôi đã hành động một cách thô lỗ. Vì vậy, bạn không thể tin tưởng vào hệ số đứng trước công thức này, mặc dù nó có vẻ đúng. Nhưng mọi thứ khác có thể được tin cậy! Và tập hợp $me^4 / \hbar^2$, và quan trọng nhất là sự phụ thuộc vào “số lượng tử” $n$.

Một lời giải chính xác sẽ yêu cầu giá trị của phương trình cơ bản của cơ học lượng tử (phương trình Schrödinger) và toán học rất phức tạp (theo khái niệm trường học). Những gì chúng tôi nhận được là định tính lời giải, khi kết quả thu được chính xác đến một hệ số số không xác định, nhưng bản chất của sự phụ thuộc vào các tham số bài toán được truyền tải chính xác. Định tính lời giải giúp bạn cực kỳ dễ dàng có được lời giải chính xác vì các đặc điểm chính của hiện tượng đã được tiết lộ. Hơn nữa, nếu có lời giải chất lượng cao, nhưng không thể thu được kết quả phân tích chính xác thì có thể thực hiện mà không có bất kỳ tổn thất đặc biệt nào ở vị trí bài toán bằng máy tính.

Một cách khái quát hóa khác - dao động lượng tử

Giải pháp bài toán về lượng tử hóa bộ dao động không còn khó nữa. Đồng thời, chúng ta không biết bộ dao động được thực hiện như thế nào - nó được biểu diễn bằng một tải dao động bên ngoài hay một mạch dao động điện.

Chúng ta hãy biểu thị bằng $q$ tọa độ tổng quát của bộ dao động. Hãy viết năng lượng của bộ dao động:

$$E = \gamma q^2 / 2 + \beta q^2 / 2.$$

16

Người ta có thể tưởng tượng rằng một bộ dao động là một loại “hạt” có khối lượng β, dao động bên ngoài có độ cứng γ. Để hình thành ý tưởng cơ bản về cơ học lượng tử cho vật thể này, chúng ta lấy bước sóng λ của quá trình sóng liên kết với “hạt” của chúng ta:

$$\lambda = 2\pi \hbar / \beta q.$$

Mẫu số là tích của “khối lượng” và tốc độ của nó. Vì tốc độ thay đổi khi hạt chuyển động nên bước sóng cũng thay đổi - đó là giá trị tối thiểu của vị trí cân bằng và tăng lên ở những vùng có tốc độ của “hạt” thấp.

Để “hạt” di chuyển trong vùng từ - $q_0$ đến $q_0$. (Chúng tôi nhấn mạnh rằng $2q_0$ không phải là độ dao động của bộ dao động dao động, mà là vùng mà tọa độ của nó “run rẩy”.) Để tạo thành sóng đứng, một số nguyên nửa sóng phải được đặt trên “độ dài” $2q_0$: $2q_0 = (n+1)\lambda/2$ ($n=0, 1, 2, \dots$). Để ước tính tốc độ, chúng tôi lấy giá trị của tốc độ ở $q=q_0$, tức là $(q)_0 = 2\pi \hbar / \beta \lambda = \pi \hbar (n+1)/2\beta q_0$. Thay giá trị này vào biểu thức động năng, ta tìm được:

$$W_n = \frac{\pi^2 \hbar^2}{8\beta} \frac{(n+1)^2}{q_0^2}.$$

Đối với tổng năng lượng chúng ta nhận được:

$$E_n(q_0) = \frac{(\pi \hbar)^2}{8\beta} \frac{(n+1)^2}{q_0^2} + \frac{\gamma q_0^2}{2}.$$

Đối với các giá trị nhỏ $q_0$, năng lượng cao do thuật ngữ đầu tiên và đối với các giá trị lớn $q_0$ - do thuật ngữ thứ hai. Giá trị gần đúng của $q_0$ và thậm chí là ít năng lượng nhất sẽ đạt được nếu chúng ta đánh đồng cả hai số hạng. Từ điều kiện này ta tìm được:

$$q_0^2 = \frac{\pi \hbar (n+1)}{2\sqrt{\beta \gamma}}.$$

Thay thế vào biểu thức năng lượng, ta có:

$$E_n = \frac{\pi}{2} \hbar \sqrt{\gamma/\beta} (n+1) = \frac{\pi}{2} \hbar \omega (n+1) \quad (n=0, 1, 2, \dots).$$

Giá trị $\omega = \sqrt{\gamma/\beta}$ biểu thị tần số của bộ dao động cổ điển đang dao động.

Một phép tính chính xác về năng lượng sẽ cho kết quả:

$$E_n = \hbar \omega \left( n + \frac{1}{2} \right).$$

Vì vậy, chúng ta đã mắc sai lầm về hệ số số ($\pi/2$ thay vì 1), cũng như về giá trị số của năng lượng ở trạng thái thấp nhất, tức là ở $n=0$ ($\frac{\pi}{2} \hbar \omega$ thay vì $\frac{1}{2} \hbar \omega$). Nhưng mọi thứ khác đều diễn ra chính xác! Bây giờ đã thu được kết quả, chúng ta nên suy nghĩ về những gì chúng ta đã sử dụng để thu được kết quả đó và những gì tiếp theo từ các biểu thức mà chúng ta thu được cho năng lượng dao động và giá trị $q_0^2$.

Trước hết, chúng tôi áp dụng vào bộ dao động của mình mà không quan tâm đến cấu trúc của nó như thế nào, các nguyên lý của cơ học lượng tử, lần đầu tiên được thiết lập liên quan đến điện tử. Tất nhiên, điều tự nhiên là người ta mong đợi rằng các nguyên lý chung sẽ giống nhau đối với các hạt khác có khối lượng khác với khối lượng của electron. Thật vậy, sự khái quát hóa như vậy đã được xác nhận với độ chính xác cao bằng thực nghiệm. Nhưng tại sao những nguyên tắc này có thể được áp dụng cho một hệ thống như mạch cộng hưởng, trong đó điện tích trên các bản tụ đóng vai trò “tọa độ”? Ở đây chúng ta đi đến một giả định quan trọng, được sử dụng rộng rãi trong vật lý lý thuyết của thế kỷ 20. Nếu hai hệ có năng lượng phụ thuộc như nhau vào tọa độ và vận tốc, thì những hệ đó có cùng tính chất, mặc dù thực tế là “tọa độ” và “vận tốc” có thể có ý nghĩa hoàn toàn khác nhau trong các hệ này.

Không có một ví dụ nào mà giả định này mâu thuẫn với kinh nghiệm. Do đó, chúng tôi có quyền coi như chúng tôi đã quyết định bài toán về việc áp dụng cơ học lượng tử cho tất cả các bộ dao động có thể có cùng một lúc.

Bây giờ hãy nghĩ xem điều gì sẽ ảnh hưởng đến kết quả của chúng ta. Làm thế nào chúng biến đổi thành các công thức của cơ học cổ điển? Trước hết, chúng tôi