Bài toán M1096—M1100; F1108—F1112

27

Bài toán

M1096 — M1100, F1108 — F1112

M1096. Đường kính $d$ của hình tròn được chia thành $k$ phần bằng nhau và qua mỗi điểm phân chia, một dây cung được vẽ ra, phân phối lại đường kính. Chứng minh rằng tổng độ dài của tất cả các dây cung ít nhất là 0,5 $kd$ và nhỏ hơn 0,8 $kd$.

P. Kharitonov, A. Chazirov (học sinh lớp 10)

M1097. Tọa độ các đỉnh của một tam giác đều là số nguyên. Chứng minh rằng bình phương đáy là số chẵn.

B. V. Prozovolov

M1098. Trên đường tròn có $n$ điểm, các số 1, 2, …, $n$ đo thẳng hàng. Hai người chơi trò tiếp theo. Mọi người lần lượt vẽ dây nối hai điểm bằng các số của một phần tư. Bất kỳ hợp âm nào cũng không được có điểm chung (các đầu xa hơn) với những điểm được rút ra trước đó. Người thực hiện bước đi cuối cùng sẽ thắng. Đối với mỗi $n=4, 5, 6, ...$, hãy tìm hiểu xem người chơi nào có chiến lược chiến thắng: người bắt đầu hoặc đồng đội của anh ta.

V. G. Chevaov

M1099*. Có 6.783 phi hành gia trong đội chuẩn bị cho chuyến bay tới Sao Hỏa, và được biết rằng trong số bốn người bất kỳ trong số họ, ba người có thể được chọn để tạo thành một nhiệm vụ phức tạp cho mô-đun hạ cánh. Chứng minh rằng có thể chọn được 5 phi hành gia, ba người bất kỳ tạo thành một thí nghiệm phức tạp.

N. N. Silkin, M. V. Volkov

M1100*. Trên bờ một con sông thẳng có khúc gỗ (các đoạn không giao nhau; hình 1). Mỗi dấu ngắt tạo một góc nhỏ hơn 45° so với dấu ngắt tuyến tính. Chứng minh rằng với mọi cách sắp xếp nhịp đều chắc chắn sẽ có một nhịp có thể lăn xuống sông mà không cần chỉ định những nhịp khác. (Không được phép xoay khúc gỗ trong khi lăn.)

V. G. Iltsche

F1108. Để chứng minh rõ ràng tác động của bức xạ laser lên một chất, người ta chế tạo một mục tiêu có dạng một quả bóng bạc nhỏ cố định trên đỉnh hình nón súng lục nhẹ (hình 2). Một mặt của quả bóng được đánh bóng và mặt kia bị đen. Mục tiêu được đặt với đáy hình nón trên một mặt phẳng nằm ngang gồ ghề và bức xạ từ xung laser mạnh sẽ tập trung vào bề mặt của quả bóng mục tiêu.

Hãy ước tính năng lượng tối thiểu của xung ánh sáng mà tại đó mục tiêu sẽ bị đổ. Bức xạ sẽ hướng tới phía nào của quả bóng (phản xạ hoặc hấp thụ)?

Giả sử khối lượng của quả bóng là $m=3$ g và lớn hơn nhiều so với khối lượng của giá đỡ cuối cùng; chiều cao hình nón $h=6$ cm, đường kính đáy $d=3$ mm; hệ số phản xạ của bề mặt được đánh bóng $r=0,99$, hệ số hấp thụ của bề mặt bị đen $a=0,99$; thời lượng xung laser $\tau=10$ ns.

E. N. Yunosov, I. V. Yaminsky

28

F1109. Hai chai được lăn xuống một mặt phẳng nghiêng: một chai rỗng, một chai chứa đầy nước. Cái nào sẽ lăn nhanh hơn? Chai nào trong số các chai này sẽ đạt độ cao lớn nhất nếu chúng được phóng lên một mặt phẳng nghiêng với cùng tốc độ ban đầu? Giả sử không có sự trượt.

A. I. Buzdin

F1110. Tại sao khi vẫn còn kem ở nhiệt độ khoảng 0°C, hơi nước từ miệng bắt đầu chảy ra nhanh hơn?

A. Yu. Alekseev

F1111. Một bán cầu tích điện đồng đều được cắt thành hai phần như trong hình 3 (dọc theo đường aa′) và các phần này được tách ra trên một khoảng cách lớn. Tại điểm nào hướng của điện trường lớn hơn - tại điểm A′ hay tại điểm A″ (xem hình)?

S. F. Kim, A. I. Latynin

F1112. Trong mạch ở hình hình 4, khi công tắc K mở, tụ điện được tích điện đến một điện áp nhất định U₀. Chìa khóa được đóng lại và sau một thời gian dòng điện trong mạch dừng lại. Giá trị của U₀ phải là bao nhiêu để hướng của tụ điện được đặt bằng Uᵧ=1 V với cực tính của các bản thay đổi, nếu emf của mỗi pin trong mạch là δ=1,5 V? Điốt được coi là lý tưởng.

A. I. Kirkinsky

Problems

M1096 — M1100, P1108 — P1112

M1096. The diameter d of a circle is divided into k equal parts and a chord perpendicular to the diameter is drawn through each dividing point. Prove that the total length of all the chords is not less than 0.5kd and less than 0.8kd.

R. Kharitonov, A. Chagirov (10th form students)

M1097. The coordinates of the vertices of an isoceles triangle are integers. Prove that the square of the base is an even number.

V. V. Proizvolov

M1098. n points on the circle are numbered in order 1, 2, …, n. Two play the following game. Each player in turn draws a chord joining points of the same parity. Each chord has no common points and no common end points with any other. The player who makes the last move wins. For each n=4, 5, 6,… determine which player (the one making the first move or his opponent) has a winning strategy.

V. G. Chvanov

M1099*. A group of 6783 astronauts prepares for a flight to Mars. It is known that among any four of them three can be chosen, forming a compatible crew for the landing module. Prove that it is possible to chose 5 astronauts, any three of whom constitute a compatible crew.

N. N. Silkin, M. V. Volkov

M1100*. Logs (non intersecting segments) lie near the rectilinear shore of a river, each forming an angle of less than 45° with the shoreline. Prove that one of the logs may be rolled into the river.

30

đặt dấu hoa thị (*) tiếp theo vào dấu cộng hoặc dấu nhân; tuy nhiên, không có con số nào xuất hiện hai lần. Vào cuối phiên, giá trị của biểu thức kết quả sẽ được tính toán. Nếu là số chẵn thì số đầu tiên thắng; nếu là số lẻ thì số thứ hai thắng. Ai chiến thắng với thái độ đúng đắn?

**M1076. Đường phân giác của góc A của tam giác nhọn ABC cắt cạnh BC tại điểm L, đường tròn ngoại tiếp tam giác tại điểm N (khác A); K, M là đáy các đường vuông góc hạ từ L xuống AB và AC. Chứng minh tứ giác AKNM bằng tam giác ABC.

M1077. Gọi $p_n(k)$ là số hoán vị của một tập hợp gồm $n (n \ge 1)$ phần tử có chính xác $k$ điểm cố định. Chứng minh rằng:

$$\begin{array}{l} a) \sum_{k=0}^{n} k \cdot p_n(k) = \\ = 0 \cdot p_n(0) + 1 \cdot p_n(1) + \dots \\ \dots + n \cdot p_n(n) = n! \\ 6) \sum_{k=0}^{n} (k-1)^2 p_n(k) = n!. \end{array}$$

trường hợp khác). Vì người chơi thứ hai chỉ còn lại một số chẵn ở nước đi cuối cùng, bất kể lựa chọn thao tác nào, kết quả cuối cùng sẽ là số chẵn.

S. A. Genkin

Diện tích của tam giác ABC là $(AB \cdot AC \cdot \sin \alpha)/2$, trong đó $\alpha = \angle BAC$ và diện tích của tứ giác AKNM là $AN \cdot KM/2$ (vì hiển nhiên các đường chéo AN và KM của nó vuông góc). Vì vậy, chỉ cần chứng minh rằng $AB \cdot AC \cdot \sin \alpha = AN \cdot KM$ là đủ.

Các tam giác ACL và ANB bằng nhau ($\angle CAL = \angle NAB$, vì AL là phân giác và $\angle ACL = \angle ANB$, vì các góc này phụ cùng cung AB của đường tròn ABC). Do đó, $AB/AN = AL/AC$, tức là $AB \cdot AC = AL \cdot AN$. Cần lưu ý rằng $KM = AL \cdot \sin \alpha$ (KM là dây cung của đường tròn có đường kính AL trên đó chứa góc nội tiếp KAM có độ lớn $\alpha$).

I. A. Kushinr

a) Trước tiên chúng ta hãy lưu ý rằng

$$\sum_{k=0}^{n} p_n(k) = n!,$$

vì phía bên trái chứa tổng số hoán vị có 0, 1, …, $n$ điểm cố định, tức là đơn giản là số lượng tất cả các hoán vị. Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh điều đó với $1 \leq k \leq n$

$$kp_n(k) = np_{n-1}(k-1),$$

giả sử rằng $p_0(0) = 1$. Để làm điều này, chúng tôi tính toán theo hai cách số $N$ của các cặp $(f, i)$, trong đó $f$ là hoán vị tùy ý của các phần tử $n$ với $k$ điểm cố định và $i$ là bất kỳ điểm nào trong số này $(f(i)=i)$. Với một

31

Ghi chú. Hoán vị của một tập hợp hữu hạn $S$ là ánh xạ một-một $f$ của tập hợp $S$ lên chính nó; số lượng tất cả các hoán vị của một tập hợp các phần tử $n$ là $n! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n$. Phần tử $a$ của tập hợp $S$ được gọi là điểm cố định của hoán vị $f$ nếu $f(a) = a$.

Mặt khác, mỗi hoán vị $p_n(k)$ này được bao gồm trong các cặp $k$, vì vậy $N = kp_n(k)$. Mặt khác, nếu $f(i) = i$ thì trên tập hợp các phần tử $n-1$ không phải $i$, hoán vị $f$ có $k-1$ điểm cố định, do đó, mỗi phần tử $n$ $i$ được bao gồm trong các cặp $p_{n-1}(k-1)$, tức là $N = np_{n-1}(k-1)$.

Tổng các đẳng thức (2) trên $k=1, \dots, n$ và xét đến (1) (với việc thay thế $n$ bằng $n-1$), chúng ta thu được

$$\sum_{k=0}^{n} kp_n(k) = n \sum_{k=1}^{n} p_{n-1}(k-1) = n \cdot (n-1)! = n!.$$

6. Hãy để chúng tôi chứng minh ngay một điểm tổng quát hơn

$$s(n, m) = \sum_{k=m}^{n} \frac{k!}{(k-m)!} p_n(k) = n!$$

cho tất cả $n \geq m$, $m=0, 1, 2, \dots$ (theo định nghĩa, $0!=1$). Với $m=0$ nó trùng với (1), với $m=1$ nó trùng với câu a) và với $m=2$ nó tương đương với 6), vì

$$\sum_{k=0}^{n} (k-1)^2 p_n(k) = \sum_{k=0}^{n} k(k-1)p_n(k) - \sum_{k=0}^{n} kp_n(k) + \sum_{k=0}^{n} p_n(k) = s(n, 2) - s(n, 1) + s(n, 0).$$

Từ điểm (2), suy ra cho $1 \leq m \leq k \leq n$

$$\frac{k!}{(k-m)!} p_n(k) = k(k-1) \dots (k-m+1)p_n(k) = n(k-1) \dots (k-m+1)p_{n-1}(k-1) = n(n-1)(k-2) \dots (k-m+1)p_{n-2}(k-2) = \dots = n(n-1) \dots (n-m+1)p_{n-m}(k-m) = \frac{n!}{(n-m)!} p_{n-m}(k-m).$$

Chúng ta tính tổng các đẳng thức này trên $k=1, 2, \dots n$:

$$s(n, m) = \frac{n!}{(n-m)!} s(n-m, 0) = n!.$$

Bạn có thể tìm thấy một bằng chứng khác về (3) từ bài đăng tương ứng rõ ràng $p_n(k) = C_n^k p_{n-k}(0)$, trong đó $C_n^k = n!/(k!(n-k)!)$ là số phần tử $k$ của một tập hợp con của tập hợp các phần tử $n$ (số lượng kết hợp).

Độc giả L.M. Koganov (Moscow) của chúng tôi đã đưa ra một cách khái quát hóa khác về bài toán này, thuộc về nhà toán học người Mỹ J. Goldman: nếu $S(q, i)$ là số phân vùng của tập hợp $\{1, 2, \dots, q\}$ thành $i$ các tập hợp rời rạc không trống, thì

$$\sum_{k=0}^{n} k^q p_n(k) = n! \sum_{i=1}^{m} S(q, i),$$

ở đâu $m=\min(n, q)$. Chứng minh sự tương ứng này, do L. M. Koganov đề xuất, được viết bằng cách dẫn xuất công thức (2) và trùng khớp với việc đếm theo hai cách số cặp $(f, \varphi)$, trong đó $f$ là một hoán vị tùy ý của tập hợp các phần tử $n$ và $\varphi$ là ánh xạ tùy ý của tập hợp $\{1, 2, \dots, q\}$ trong tập hợp các điểm cố định của hoán vị $f$.

V. N. Dubrovsky

32

M1078. Hàm $f$ được xác định trên tập $N_0$ của tất cả các số nguyên không âm và nhận một giá trị trong tập hợp này. Chứng minh rằng đẳng thức $f(f(n))=n+1987$ không thể đúng với mọi $n \in N_0$.

Giả sử rằng phát biểu bài toán là sai và hàm $f$ thỏa mãn $f(f(n))=n+1987$ cho $n \in N_0$ tồn tại. Sau đó
$$f(n+1987)=f(f(f(n)))=f(n)+1987,$$
và do đó
$$f(n+1987k)=f(n)+1987k$$
()
với tất cả $n, k \in N_0$. Bây giờ hãy xem xét một số nguyên tùy ý $r$, $0 \leq r \leq 1986$ và chia số $f(r)$ cho 1987 với số dư:
$$f(r)=1987p+q, 0 \leq q \leq 1986.$$
Theo điều kiện $f(f(r))=r+1987$ và theo () $f(f(r))=f(q)+1987p$. Vì $r \leq 1986$ nên chỉ có hai trường hợp có thể xảy ra:

1. $p=0$, tức là $f(r)=q$ và $f(q)=r+1987$;
2. $p=1$, tức là $f(r)=q+1987$ và $f(q)=f(f(r))-1987=r$.
   Trong cả hai trường hợp, rõ ràng là $f(r) \neq f(q)$, có nghĩa là $r \neq q$. Như vậy, bộ $0, 1, ..., 1986$ có ​​thể được chia thành các cặp $(a, b)$ sao cho trong mỗi cặp có $f(a)=b, f(b)=a+1987$. Nhưng tập hợp này có số phần tử lẻ. Kết quả mâu thuẫn cho thấy hàm có các thuộc tính cần thiết không tồn tại.

V. V. Vavilov

M1079. Cho $n$ là một số tự nhiên, $n \geq 3$. Có thể sắp xếp $n$ điểm trên mặt phẳng sao cho khoảng cách giữa hai số vô tỷ biểu thị bất kỳ và diện tích của một tam giác có ba đỉnh bất kỳ là một số hữu tỷ (khác 0).

Graph

M1080. Cho $q$ là một số tự nhiên, $q \geq 2$. Chứng minh rằng nếu $k^2+k+1$

Đáp số: có thể; các điểm được tìm kiếm, ví dụ: các điểm $P_i(i; i^2)$, $i=1, 2, ..., n$, tức là các điểm trên parabol $y=x^2$ có hoành độ tự nhiên.

Trong thực tế,
$$P_iP_j=\sqrt{(j-i)^2+(j^2-i^2)^2}=|j-i|\sqrt{1+(j+i)^2}.$$
Không có số nào có dạng $1+m^2$ (chúng ta có $m=j+i$) không thể là bình phương của số hữu tỉ $r$, vì trong trường hợp này $r$ sẽ là tự nhiên và đẳng thức $r^2=1+m^2$ sẽ dẫn đến một bất đẳng thức mâu thuẫn:
$$1=r^2-m^2=(r-m)(r+m) \geq r+m>1.$$
Vì vậy, mọi khoảng cách $P_iP_j$ đều vô tỉ.

Đồng thời, diện tích của tam giác $P_iP_jP_k$ tại $i<j<k$, như có thể thấy từ hình, bằng
$$\frac{1}{2}((k-i)(k^2-i^2)-(k-j)(k^2-i^2)-(k-i)(j^2-i^2)),$$
tức là hợp lý.

Nói chung, diện tích của bất kỳ tam giác nào có các đỉnh có tọa độ nguyên là hữu tỉ. Điều này cho thấy các điều kiện bài toán của một mạng số nguyên, chỉ quan tâm rằng khoảng cách giữa chúng là vô tỷ.

V. V. Vavilov

Chứng minh rằng nếu trong các số từ 0 đến $q-2$ có một $k$ sao cho $f(k)=k^2+k+q$ là hợp số thì trong khoảng từ 0 đến $\sqrt{q/3}$ cũng có số đó.

33

+q là số nguyên tố đối với mọi số nguyên k, trong đó 0 ≤ k ≤ √q/3 thì k² + k + q là số nguyên tố đối với mọi số nguyên k, trong đó 0 ≤ k ≤ q - 2.

Đặt y là số nguyên không âm nhỏ nhất sao cho f(y) là hợp số. Gọi p là ước số nguyên tố nhỏ nhất của f(y), sau đó f(y) ≥ p². Dưới đây chúng ta sẽ chứng minh rằng nếu y ≤ q - 2 thì p ≥ 2y + 1, do đó

$$y^2 + y + q \geq (2y + 1)^2 = 4y^2 + 4y + 1,$$

và do đó y² < q/3, tức là y < √q/3.

Vì vậy, cần phải chứng minh p ≥ 2y + 1 với y ≤ q - 2.

Giả sử điều ngược lại: p 2y và xét sự khác biệt

$$f(y) - f(x) = (y - x)(y + x + 1).$$

Khi x thay đổi từ 0 thành y - 1 thì biểu thức y - x lấy các giá trị y, y - 1, …, 1 và y + x + 1 lấy các giá trị y + 1, y + 2, …, 2y. Do đó, với một số x, 0 ≤ x ≤ y - 1 thì số f(y) - f(x) chia hết cho p. Nhưng do chọn y và p, f(y) chia hết cho p và f(x) là số nguyên tố nên f(x) phải bằng p. Đồng thời, y - x < y + x + 1 ≤ q + x - 1 < q + x + x² = f(x),

p = f(x) không thể chia (y - x)(y + x + 1). Sự mâu thuẫn.

Lưu ý rằng kết quả bài toán áp dụng cho giá trị của tam thức Euler f(x) = x² + x + 41: dễ dàng kiểm tra rằng f(x) là số nguyên tố đối với x = 0, 1, 2, 3 và từ đó (vì √41/3 < 4) suy ra rằng f(x) là số nguyên tố đối với tất cả 40 số nguyên x từ 0 đến 39.

V. F. Lev

F1088. Chiếc lá không trọng lượng được cố định trong một hệ thống treo không trọng lượng với tốc độ f = 10 vòng/phút để nó có thể dao động tự do so với bậc trên (hình 1). Một con khỉ có khối lượng m = 30 kg bắt đầu leo ​​xuống chiếc lá. Khoảng cách l từ hệ thống treo sẽ là bao nhiêu khi vị trí thẳng đứng của lá không còn ổn định?

Cho lá lệch khỏi phương thẳng đứng một góc nhỏ a. Lúc này, chuyển động của con khỉ sẽ được coi là chuyển động theo đường tròn có bán kính ~lα (hình 2). Gia tốc hướng tâm của khỉ -

$$a = (2\pi f)^2 l\alpha.$$

Gia tốc này có thể được truyền cho cô ấy bởi phản lực T từ phía của chiếc lá - đây là lực duy nhất có hình chiếu F trên mặt phẳng nằm ngang. Nếu F > ma thì con khỉ (với chiếc lá) sẽ trở về phương thẳng đứng - vị trí thẳng đứng của chiếc lá sẽ ổn định.

Từ 丝 (hình 2) đã xét, rõ ràng F = mga. Từ điều kiện

$$mg\alpha > m(2\pi f)^2 l\alpha$$

chúng tôi tìm thấy:

$$l < g/(2\pi f)^2 = 10 \text{ m}.$$

Khi l lớn hơn 10 m thì trạng thái cân bằng không ổn định.

A. V. Andrianov

34

F1089. Khi bay từ trạm Mir đến trạm Salyut-7 có cùng quỹ đạo, các phi hành gia của chúng ta đã giảm tốc độ tàu, di chuyển xuống quỹ đạo thấp hơn và tại thời điểm t=30 giờ trước, Salyut-7 đang bay trước Mir ở khoảng cách L=3000 km. Coi các quỹ đạo là phóng đại, hãy xác định xem quỹ đạo dự kiến ​​cách quỹ đạo chính bao nhiêu km. Độ cao của cả hai quỹ đạo đều nhỏ hơn nhiều so với bán kính Trái đất R₃=6400 km.

Chúng ta hãy viết ra sự khác biệt về vận tốc góc của tàu vũ trụ trên quỹ đạo trung gian và nhà ga:

$$\omega_1 R_1 t - \omega_2 R_2 t = (\omega_1 R_1 - \omega_2 R_2) t = R_3 t (\omega_1 - \omega_2) \approx L \Rightarrow (\omega_1 - \omega_2) = L/R_3 t$$

(chúng tôi đã dạy rằng độ cao của quỹ đạo được so sánh với bán kính của trái đất, tức là $R_1 \approx R_2 \approx R_3$). Đồng thời, xét đến $\omega = \frac{v}{R} = \sqrt{\frac{GM}{R^3}} = \sqrt{\frac{g R_3^2}{R^3}}$ (M là khối lượng của trái đất), ta có thể viết:

$$\omega_1 - \omega_2 = \sqrt{g R_3^2} \left( \sqrt{\frac{1}{R_1^3}} - \sqrt{\frac{1}{R_2^3}} \right) =$$

$$= \sqrt{g R_3^2} \left( \sqrt{\frac{1}{(R_2 - \Delta R)^3}} - \sqrt{\frac{1}{R_2^3}} \right) \approx$$

$$\approx \sqrt{\frac{g}{R_3}} \left( \sqrt{\frac{1}{(1 - \Delta R/R_3)^3}} - 1 \right) \approx \sqrt{\frac{g}{R_3}} \frac{1/(1 - \Delta R/R_3)^3 - 1}{\sqrt{1/(1 - \Delta R/R_3)^3} + 1} \approx \sqrt{\frac{g}{R_3}} \frac{3 \Delta R/R_3}{2}$$

(2)

Đánh đồng biểu thức (1) và (2), ta tìm được $\Delta R$:

$$\Delta R = \frac{2 L}{3 t} \sqrt{\frac{R_3}{g}} \approx 15 \text{ км.}$$

M. V. Semenov

F1090. Nhìn bầu trời trong đêm băng giá trong trẻo. Những ngôi sao nào lấp lánh hơn: những ngôi sao nằm ở vị trí cao phía trên đường chân trời hay ở vị trí thấp, và tại sao?

Sự lấp lánh của các ngôi sao là do các luồng không khí hỗn loạn trong bầu khí quyển của trái đất phát sinh do bầu khí quyển nguội đi không đồng đều. Về cơ bản, đây là những dòng điện đi lên phát sinh do sự chênh lệch nhiệt độ của bề mặt trái đất và các lớp không khí lân cận. Những dòng chảy này dẫn đến thực tế là mật độ của khí quyển ở một nơi nhất định liên tục thay đổi. Theo đó, chiết suất thay đổi, và do đó các tia sáng phát ra từ các ngôi sao bị khúc xạ theo hướng này hay hướng khác - các ngôi sao lấp lánh. Hiệu ứng này đặc biệt đáng chú ý ở những vùng đất gần; do đó, những ngôi sao “thấp”, những tia sáng của chúng, trên đường tới ngôi sao được quan sát, truyền đi một khoảng cách xa hơn đến trái đất gần đó so với tia sáng của những ngôi sao “cao”, nhấp nháy rõ ràng hơn.

A. S. Butov

F1091. Một quả bóng có khối lượng m và điện tích q treo trên một sợi dây không dãn có chiều dài l nằm ở tâm của vòng, dọc theo đó điện tích Q (hình 1) được phân bố đều. Bán kính vòng R; các điện tích q và Q có giá trị đơn. Định nghĩa

Để quả bóng di chuyển một khoảng nhỏ $\Delta x$ ($\Delta x \ll R$) tính từ tâm vòng (độ dịch chuyển theo chiều dọc tỷ lệ với $\Delta x^2$ và chúng ta sẽ bỏ qua nó, giả sử rằng chuyển động tỷ lệ thuận trong mặt phẳng của vòng). Chúng ta hãy xem lực $F_3$ nào tác dụng lên điện tích q của quả bóng từ phía của điện tích Q. Từ các thông điệp đối xứng (xem hình 2), rõ ràng là hướng của trường do điện tích Q tạo ra tại điểm A hướng dọc theo bán kính của vòng. Lực $F_3$ cũng có hướng.

35

Để tìm $F_3$, hãy tính lực $f_3$, hành động theo lời buộc tội $q$ từ phía của phần tử nhỏ của vòng, nằm ở khoảng cách $r$ từ phí $q$ (cm. hình 2). Điện tích của nguyên tố này là

$$\Delta Q = \frac{Q}{2\pi R} R \cdot \Delta \gamma = \frac{Q}{2\pi} \Delta \gamma \approx \frac{Q}{2\pi} \Delta \varphi$$

(φ≈γ, vì Δx≈R). Chúng ta hãy biểu thị $r$ theo $R$ và Δx (sử dụng định lý cosine):

$$r^2 = R + (\Delta x)^2 - 2R \cdot \Delta x \cdot \cos \gamma \approx R^2 + (\Delta x)^2 - 2R \cdot \Delta x \cdot \cos \varphi \approx R^2 - 2R \cdot \Delta x \cdot \cos \varphi.$$

Như vậy,

$$f_3 = -k \frac{\Delta Q \cdot q}{r^2} \approx -k \frac{Qq}{2\pi} \frac{1}{R^2 - 2R \cdot \Delta x \cdot \cos \varphi} \Delta \varphi.$$

Tổng lực $F_3$ bằng $\int_0^{2\pi} f_3 \cos \varphi d\varphi$, tức là

$$F_3 = -k \frac{Qq}{2\pi R^2} \int_0^{2\pi} \frac{\cos \varphi}{R^2 - 2R \cdot \Delta x \cdot \cos \varphi} d\varphi \approx -k \frac{Qq}{2\pi R^2} \left(1 - \frac{2\Delta x}{R} \cos \varphi\right)^{-1} \cos \varphi d\varphi \approx -k \frac{Qq}{2\pi R^2} \left(1 + \frac{2\Delta x}{R} \cos \varphi\right) \cos \varphi d\varphi = -k \frac{2Qq \cdot \Delta x}{2\pi R^3} \cos^2 \varphi d\varphi = -k \frac{Qq \cdot \Delta x \cdot \pi}{2\pi R^3} = -k \frac{Qq}{R^3} \Delta x.$$

Bây giờ hãy viết phương trình chuyển động của quả bóng:

$$m(\Delta x)'' = -\left(m g \sin \alpha + k \frac{Qq \cdot \Delta x}{R^3}\right),$$

trong đó α là góc lệch của đáy con lắc so với phương thẳng đứng. Vì chúng ta quan tâm đến các dao động nhỏ, sin α≈Δx/l, và

$$m(\Delta x)'' = -\Delta x \left(m \frac{g}{l} + k \frac{Qq}{R^3}\right).$$

Đây là phương trình dao động điều hòa có tần số

$$\omega_0 = \sqrt{\frac{g}{l}} + k \frac{Qq}{R^3 m}.$$

G. V. Gritsorye