Học viện sư phạm bang Leningrad được đặt theo tên. A. I. Herzen

63

4. Cho tam giác nhọn ABC vẽ đường cao CD và AE. Tìm độ dài đường cao AE biết AD=BC=4, AB=6.

5. Tính thể tích của một tham số tam giác đều, biết rằng góc phẳng tại đỉnh là a, và bán kính của đường tròn ngoại tiếp một mặt bên là r.

Tùy chọn 5
(Khoa tâm lý học và kinh tế)

1. Một xe tải chở hàng đi từ điểm A đến điểm B. Sau 1 giờ, một xe khách đi từ điểm A đến điểm B và hạ cánh xuống điểm B cùng lúc với một xe chở hàng. Nếu một ô tô chở hàng và một ô tô khách cùng xuất phát từ điểm A và B hướng về nhau thì chúng sẽ gặp nhau sau 1 giờ 12 phút kể từ khi khởi hành. Xe chở hàng đi từ A đến B bao lâu?

2.1. (Khoa kinh tế chính trị)
Giải phương trình $x=1+\sqrt{7-x}$.

2.2. Giải phương trình
$$\sqrt{7x+1}-\sqrt{3x-18}=\sqrt{2x+7}.$$

3.1. (Khoa Kinh tế)
Giải bất đẳng thức
$$x^2\lg x \geq 10x.$$

3.2. (Khoa Tâm lý học)
Giải phương trình
$$2\sin x+2\cos x+1=\sin 2x+4(\sin^3 x+\cos^3 x).$$

4. Một vòng tròn được bao quanh một tam giác vuông. Tìm các cạnh của tam giác này nếu biết khoảng cách từ hai đầu cạnh huyền đến đường tiếp tuyến với đường tròn tại đỉnh của tam giác vuông bằng a và b.

5.1. (Khoa Tâm lý học và Khoa Kinh tế học)
Tâm của hình cầu trùng với tâm của đáy hình nón tròn và bán kính của nó bằng bán kính của đáy hình nón. Tìm bán kính của đường tròn mà hình cầu giao với bề mặt của hình nón nếu biết chiều cao của hình nón H và góc của mặt cắt ngang a của nó.

5.2. (Khoa kinh tế chính trị)
Vẽ trên mặt phẳng tập hợp các điểm $M(x,y)$ sao cho $2|x-y-2| \leq 3-x^2-y^2$.

Tùy chọn 6
(Bộ môn tuyến tính toán khoa Sinh lý học)

1. Từ Pristig A, một chiếc thuyền và một chiếc bè đồng loạt xuôi dòng. Thuyền xuôi dòng 96 km rồi quay trở lại A sau 14 giờ. Tìm canô cao tốc ở vị trí đứng yên trong canô cao tốc của dòng nước, biết thuyền đang đi gặp bè ở khoảng cách 24 km tính từ A.

2. Giải phương trình
   $$\log_{1+x}(2x^3+2x^2-3x+1)=3.$$

3. Tìm tất cả các bất đẳng thức lời giải
   $$\sqrt{\frac{1}{2}-\cos 2x}>\sin x-\cos x,$$ thỏa mãn điều kiện 0 \leq x \leq \pi.

4. Cho điểm O ở ngoài hình vuông ABCD. Tìm diện tích hình vuông nếu biết OA=OB=5, DO=\sqrt{13}.

5. Trong một paramid tứ giác đều, góc nhị diện ở đáy bằng a. Tìm góc nhị diện ở cạnh bên.
   Ấn phẩm được chuẩn bị bởi A. S. Merkuryev

Học viện sư phạm bang Leningrad được đặt theo tên. A. I. Herzen

Toán học
Bài toán thi vấn đáp
Khoa Toán

1. Tính toán không có bảng
   $$\sin 6^\circ-\sin 42^\circ-\sin 66^\circ+\sin 78^\circ.$$

2. Giải phương trình
   a) $(x^2+x+1)(2x^2+2x-3)=-3(1-x-x^2)$;
   b) $(\sin x-\cos x)(1+\tg^2x)=4\sin x(1-\tg^2x)$.

3. Giải bất đẳng thức:
   $$4\log_3(4x-5)-\log_3(x+1) \geq 0,25\log_327-2.$$

4. Tìm cực trị của hàm số
   $$f(x)=x-\cos 2x.$$

5. Chứng minh rằng nếu đường trung tuyến và đường cao vẽ từ một đỉnh của một tam giác chia góc của tam giác thành ba phần bằng nhau thì tam giác đó là đường thẳng.

6. Chứng minh rằng bình phương bissertrix của một góc trong một tam giác bằng hiệu giữa tích các cạnh bên và tích các đoạn phát triển.

7. Các hình vuông được dựng trên các đáy AB và CP nằm ngoài hình thang ABCP. Chứng minh rằng đường thẳng nối tâm của chúng đi qua giao điểm của hai đường chéo của hình thang.

8. Đáy của paramid là một hình thang thẳng, cạnh bên lớn hơn là 12 và góc nhỏ hơn là 30°. Tất cả các mặt bên của paramid đều nghiêng về mặt phẳng phát triển như nhau. Diện tích xung quanh là 90. Tìm thể tích của paramid.

9. Cạnh của hình lập phương bằng a. Tìm khoảng cách giữa đường chéo của hình lập phương và mặt không cắt nó.

Các khoa Vật lý, sư phạm công nghiệp, hóa học

10. Chỉ định dấu của số $\log_{0.3}\left(\frac{10}{7}(\log_2 5-1)\right)$.

11. Cho lg 64=k, tìm lg $\sqrt[3]{25}$.

12. Với những giá trị nào của a thì đẳng thức giữ được?
    $$\frac{a+5}{a-5}\sqrt{a^2-10a+25}=-5-a?$$

13. Chứng minh tính chính xác
    $$2(\sin^6x+\cos^6x)-3(\sin^4x+\cos^4x)+1=0.$$

14. Giải phương trình
    a) $|1-|x||-2|=1$;
    b) $\log_2\left(\frac{x^2}{8}\right)=8$.