Bất đẳng thức và đồ thị

54

Bất đẳng thức và đồ thị

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
V. A. PETROV

Trong mỗi đơn vị thực hành của bài kiểm tra viết môn toán, bạn phải giải bất đẳng thức. Nhiệm vụ này đứng đầu về số sai đáp số. Lỗi xảy ra do sử dụng kỳ quặc hoặc không đầy đủ các thuộc tính của hàm tương ứng.

Một “cái cũi” phổ quát mà qua đó bạn có thể đọc được tất cả các thuộc tính của một hàm là biểu đồ của hàm đó. Do đó, đối với lời giải các bất đẳng thức phức tạp hơn hoặc ít hơn, sẽ rất hữu ích khi sử dụng nhất quán đồ thị của các hàm nguyên tố. Kỹ thuật này cho phép bạn tự động chuyển sang các bất đẳng thức tương đương mà không cần căng thẳng trí nhớ; đồng thời, nó tự động tính đến (thường bị quên tính đến) phạm vi các giá trị cho phép. Ngoài ra, minh họa hình học, như mọi khi, góp phần mang lại sự hiểu biết có ý thức hơn về bản chất của các phép biến đổi được sử dụng. Hãy xem xét các ví dụ cụ thể.

Ví dụ 1. Giải bất đẳng thức
$$2^{\sqrt{\log \frac{\sqrt{3}}{3} tg x}-1}<1.$$ (1)

Lời giải. Chúng ta hãy biểu thị số mũ bằng $t$. Khi đó bất đẳng thức (1) có dạng
$$2^t<1.$$ (1')

Hãy vẽ đồ thị của hàm $y=2^t$ (hình 1). Hãy đánh dấu trên trục $Oy$ những giá trị mà chúng ta quan tâm. Chúng lấp đầy chùm tia (- $\infty$; 1). Hãy chiếu tia này lên đồ thị, sau đó chiếu phần tách biệt của đồ thị lên trục $Ot$. Như vậy chúng ta đã tìm được lời giải của bất đẳng thức phụ (1’): $t>0$. Do đó, bất đẳng thức (1) tương đương với bất đẳng thức
$$\sqrt{\log \frac{\sqrt{3}}{3} tg x}<1.$$ (2)