Nguyên lý cơ bản của phép tính vi phân

48

Nguyên lý cơ bản của phép tính vi phân

Phần II:
Thuộc tính tùy ý

Thành viên tương ứng của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô
D. K. FADDEYEV,
Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
M. S. NIKULIN,
I. F. SOKOLOVSKY

Trong bài viết trước của chúng tôi (xem «Kvant» số 3), chúng tôi đã nói về nguyên tắc cơ bản của phép tính vi phân. (Tóm lại, đồ thị của một hàm tốt trong một khoảng đủ nhỏ hầu như không khác gì đồ thị của hàm tuyến tính.) Sau đó, chúng tôi nghiên cứu chi tiết các tính chất của hàm tuyến tính. Cụ thể, chúng tôi đã xác định tốc độ thay đổi tức thời của hàm tuyến tính là $k = \Delta y / \Delta x$, tức là chúng tôi coi nó bằng tốc độ trung bình trong bất kỳ khoảng thời gian nào.

Trong trường hợp tổng quát (tức là đối với một hàm tùy ý), định nghĩa như vậy là không phù hợp: tốc độ trung bình trong các khoảng thời gian khác nhau có thể không giống nhau. Nói chung, chúng ta phải đối mặt với một mâu thuẫn ở chỗ chúng ta đang cố gắng nói về “giá trị tức thời” của một đại lượng, mà theo ý nghĩa vật lý của nó, chỉ có thể được coi là một hàm của khoảng. Định nghĩa chính xác về khái niệm đưa ra tốc độ thay đổi tức thời của sự tồn tại sử dụng công cụ toán học hình thức để đi đến giới hạn.

Tuy nhiên, chúng ta hãy lưu ý rằng việc chứng minh các yếu tố phân tích trên cơ sở lý thuyết giới hạn chỉ được O. Cauchy thực hiện vào đầu thế kỷ 19, tức là hơn hai nghìn năm sau khi xuất hiện một số ý tưởng làm cơ sở cho phép tính vi phân và 200 năm sau khi Newton và Leibniz sáng tạo ra nó. Phân tích toán học bao gồm

49

Zinius, bao gồm phép tính vi phân và tích phân, là một nhánh toán học hàng đầu và phát triển cao vào thời điểm nó được chứng minh.

Việc áp dụng “nguyên lý cơ bản” và sự tham gia của hàm tuyến tính cho phép chúng ta đưa ra một định nghĩa rõ ràng, trực quan, trực quan về khái niệm “tốc độ tức thời” trong trường hợp tổng quát, một phút của lý thuyết giới hạn.

Ở đây chúng ta đi đến câu hỏi tại sao hàm tuyến tính lại chiếm một vị trí đặc biệt trong toán học.

Vấn đề trước hết là mọi thứ liên quan đến hàm tuyến tính, cả về vấn đề nghiên cứu hàm và về nguồn hình học và vật lý của kết quả, đều rất đơn giản và rõ ràng. Chính sự đơn giản và rõ ràng này đã mang lại cho hàm tuyến tính một vai trò đặc biệt trong toán học trong việc nghiên cứu các tính chất của các hàm thường gặp nhất trong các ứng dụng.

Tình huống thứ hai và quan trọng nhất đã được lưu ý trong phần đầu của bài viết: đối với tất cả các hàm cơ bản và hàm lớn mà chúng ta gặp phải khi nghiên cứu sự phụ thuộc giữa các đại lượng thực, chúng ta áp dụng “nguyên tắc cơ bản” của phép tính vi phân.

Nói cách khác, đối với lời giải của một đường tròn nhất định bài toán, mỗi hàm số này của điểm thỏa mãn có thể được thay thế bằng một hàm tuyến tính, đồ thị của hàm này tiếp xúc với đồ thị của hàm đang xét tại điểm đã chọn. Vì các thuộc tính quan trọng nhất của hàm tuyến tính được xác định bởi độ dốc của nó, sau đó là độ dốc của tiếp tuyến, tức là bởi giá trị của hàm tùy ý tại một điểm nhất định, người ta có thể đánh giá hành vi của chính hàm đó tại điểm được thực hiện.

Ở đây chúng ta sẽ không dừng lại ở những tính toán kỹ thuật mang tính tùy tiện (giả sử rằng người đọc có một số kiến ​​thức về nó). Chúng tôi chỉ lưu ý rằng (như được trình bày trong bài viết “Trên đường tiếp tuyến của đồ thị hàm số”, xem «Kvant», 1986, Số 3) đối với một số hàm, các giá trị của hàm tùy ý có thể thu được dựa trên các thông điệp cơ bản về cơ bản.

Nguồn gốc hình học và vật lý của một $f'(x_0)$ tùy ý từ các hàm $f(x)$ tại một điểm nhất định $x_0$

Theo “nguyên tắc cơ bản”, chúng ta coi hàm $f(x)$ tại điểm $x_0$ là tuyến tính và một phần nhỏ của đồ thị trùng với đoạn tiếp tuyến tại điểm $x_0$. Sau đó, $f'(x_0)$ cho thấy phần nhỏ của đồ thị của hàm $f(x)$ chứa điểm $f(x_0)$ bị nghiêng như thế nào (và theo hướng nào). Ở trạng thái này, ý nghĩa hình học là tùy ý.

Ví dụ, theo bảng

| $x$ | 1 | 2 | 3 | 4 |
| :— | :— | :— | :— | :— |
| $f(x)$ | 0,5 | 2 | 3 | 1,5 |
| $f'(x)$ | 1 | 2 | 0 | -2 |

chúng ta có thể vẽ không chỉ các điểm trên biểu đồ mà còn có thể vẽ các phần nhỏ của biểu đồ chứa các điểm trong bảng (hình 1).

Chúng ta biết rằng trong trường hợp đường thẳng là đồ thị của mối quan hệ giữa hai đại lượng vật lý thì hệ số góc của đường thẳng có ý nghĩa vật lý rõ ràng. Một hàm tùy ý (không phải tuyến tính) có cùng ý nghĩa vật lý nếu hàm này mô tả sự phụ thuộc giữa các đại lượng giống nhau. Nhưng chỉ có giá trị số $f'(x_0)$ của hàm tùy ý $f(x)$ tại điểm $x_0$ không còn có thể được quy cho tất cả các hàm nói chung mà chỉ cho một lân cận nhỏ của điểm $x_0$. Ví dụ: nếu hàm $T=f(t)$ mô tả mối quan hệ giữa nhiệt độ của một vật và thời gian nung nóng của nó (hình 2), thì $f'(t_0)$ là tốc độ thay đổi nhiệt độ (tốc độ gia nhiệt) trong một khoảng thời gian nhỏ chứa điểm $t_0$. Tuyên bố cuối cùng

50

Hình 2.

tích phân chứa điểm $t_0$ càng chính xác. Vì vậy, $f'(t_0)$ được gọi là tốc độ gia nhiệt tại thời điểm $t_0$. Ngoài nội dung vật lý cụ thể, chúng ta nói rằng $f'(x_0)$ là tốc độ thay đổi của hàm $f(x)$ tại điểm $x_0$.

Tính toán gần đúng

Định lý. Sai số tuyệt đối khi tính giá trị của hàm xấp xỉ bằng sai số tuyệt đối khi đo đối số nhân với giá trị mô hình của đạo hàm tại điểm tương ứng.

Bằng chứng. Thật vậy, $x_0$ trống - giá trị gần đúng của đối số và $x$ - giá trị chính xác chưa xác định của đối số; nó được đặt ở mức gần $x_0$. Chúng tôi lấy giá trị $\Lambda x=x-x_0$ của sai số tuyệt đối làm đối số nhỏ. Xem xét (theo “nguyên tắc cơ bản”) hàm $y(x)$ của độ lớn của điểm $x_0$ là tuyến tính với hệ số góc $y'(x_0)$, chúng ta thu được, do tính chất đặc trưng của hàm tuyến tính (đã được chứng minh ở phần đầu của bài viết), $\Lambda y=y'(x_0)\cdot \Delta x$, đó là điều chúng ta cần chứng minh.

Cần hiểu rằng tuyên bố đã nêu là hợp lệ với giả định rằng sai số tuyệt đối của đối số thực sự là khá nhỏ đối với một hàm nhất định.

Nếu giá trị của hàm $f(x)$ tại điểm $x_0$ được biết và cần tính giá trị $f(x)$ của độ lớn của điểm $x_0$, thì dựa trên “nguyên tắc cơ bản”, người ta có thể thay thế các phép tính tốn nhiều công sức của hàm bằng các phép tính gần đúng sử dụng phương trình tiếp tuyến tại điểm $x_0$. Chính xác,

$$f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0).$$

Xấp xỉ là số gia của hàm được tính toán “tiếp tuyến”, tức là

$$f'(x_0)(x-x_0),$$

được gọi là vi phân của hàm số và được ký hiệu là df. Gia số của đối số $x-x_0$ được gọi là vi phân của biến độc lập và được ký hiệu là dx. Như vậy,

$$df=f'(x_0)dx.$$

Về mặt vi phân, “nguyên tắc cơ bản” nên được hiểu theo cách mà mức tăng thực sự của một hàm “tốt” trên một khoảng nhỏ so với mức tăng được tính “tiếp tuyến” là một giá trị nhỏ không thể chuyển đổi được so với df. Ở đây cần lưu ý một đặc tính quan trọng của vi phân: chênh lệch $\Delta f$-df giữa mức tăng thực sự của hàm và vi phân của nó không chỉ nhỏ hơn nhiều so với df - khi dx giảm, chênh lệch này sẽ giết chết sự tồn tại nhanh hơn dx. Ý nghĩa chính xác của thuật ngữ “nhanh hơn đáng kể” và bằng chứng tương ứng chỉ có thể có được sau khi mô tả chính xác, chặt chẽ hơn về các khái niệm ban đầu của phân tích.

Chúng tôi sẽ giới hạn việc giải thích ý nghĩa của các thuật ngữ “nhanh như nhau” và “nhanh đáng kể” bằng các ví dụ cụ thể. Các đại lượng liên quan theo nguyên lý phụ thuộc tỷ lệ thay đổi nhanh chóng như nhau, tức là, sự thay đổi của đại lượng này $n$ lần sẽ dẫn đến sự thay đổi của đại lượng kia cũng $n$ lần. Ví dụ, các đại lượng liên quan đến mối quan hệ bậc hai, thay đổi với tốc độ khác nhau. Thật vậy, nếu $y=x^2$ thì khi $|x|$ giảm 10 lần, $y$ giảm 100 lần, khi $|x|$ giảm 100 lần, $y$ giảm 10.000 lần, v.v. Nói chung, nếu $y=x^a$, trong đó $a>1$, thì khi chăm sóc $|x|$ về 0 $y$ giết chết sự tồn tại nhanh hơn $|x|$. Điều này được xác nhận bởi thực tế là tỷ lệ $y/x=x^{a-1}$ tiến tới 0 khi $x$ có xu hướng tiến tới 0. Điều tương tự cũng có thể nói về sự khác biệt $\Lambda f-df$ - tỷ lệ $(\Lambda f-df)/dx$ có xu hướng bằng 0 và $dx$ có xu hướng bằng 0.

Hai tính chất của vi phân - 1) hàm vi phân tỷ lệ

51

Hình 3.

sự khác biệt giữa mức tăng thực sự của một hàm và vi phân của nó giảm nhanh hơn đáng kể so với đối số vi phân - mô tả đầy đủ hàm vi phân và xác định các ứng dụng cơ bản nhất nhưng quan trọng nhất của nó trong vật lý, công nghệ, v.v. Thực tế là vi phân (không giống như một hàm tùy ý) thường được nhìn thấy “bằng mắt” và có thể được tìm thấy dễ dàng hơn một hàm tùy ý. Sau đó, một giá trị tùy ý có thể được tính bằng tỷ lệ chênh lệch: $df = f'(x_0)dx$,

$$f'(x_0) = \frac{df}{dx}.$$

Ví dụ 1. Tính $f'(0) = f'(x)|_{x=0}$ nếu $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x$.

Lời giải. Gần $x=0$ đối số vi phân bằng chính đối số $(dx=x)$ và mức tăng của hàm bằng giá trị của hàm. Phần tăng dần của hàm tỷ lệ với $dx$ là số hạng $4x$ và các số hạng còn lại chứa $x$ giảm độ lớn nhanh hơn nhiều so với $x$. Vì vậy, tại điểm $x=0$ chúng ta có $df=4dx$, có nghĩa là $f'(x)=4$.

Cả hai thuộc tính vi phân đều được minh họa bằng đồ họa hình 3). Ở hình này, giá trị $dx$ được chọn khá lớn, nhưng “bằng mắt” có thể thấy rõ khi $dx$ giảm thì chênh lệch $\Delta f - df$ giảm nhanh hơn đáng kể so với $\Delta x$.

Đạo hàm một hàm phức

Dựa trên “nguyên tắc cơ bản”, có thể dễ dàng thu được biểu thức cho hàm phức tùy ý và vi phân.

Hãy để $F(x) = f(g(x))$. Chúng tôi coi hàm $g(x)$ là tuyến tính “trong phạm vi nhỏ” của điểm $x$ và hàm $f(t)$ là tuyến tính với giá trị của điểm $t = g(x)$. Khi đó, dựa vào định lý về thành phần của hàm tuyến tính, đã được chứng minh trong phần đầu tiên của bài viết của chúng ta, $F(x)$ là một đại lượng tuyến tính $x$ và hệ số góc của nó bằng tích của các hệ số góc của hàm $g$ và $f$, tức là.

$$F'(x) = k_1 \cdot k_2, \quad \text{где } k_1 = f'(t)|_{t=g(x)} \quad \text{и } k_2 = g'(x).$$

Đối với vi phân của hàm phức, chúng ta thu được biểu thức

$$dF(x) = k_1 \cdot k_2 \cdot dx = \frac{f'(t)|_{t=g(x)}}{\cdot g'(x)}dx.$$

Vì $g'(x)dx = dg(x)$, chúng tôi nhận được

$$dF(x) = f'(t)|_{t=g(x)} \cdot dg(x).$$

Đẳng thức quan trọng này nói lên rằng hình thức viết vi phân không phụ thuộc vào cái nằm dưới dấu của hàm số - một biến độc lập hay hàm của một biến khác. Tính chất này của vi phân được gọi là tính bất biến. Thuộc tính bất biến vi phân giúp việc phân biệt các hàm phức tạp về mặt kỹ thuật trở nên dễ dàng hơn.

Ví dụ 2. Tìm một số tùy ý từ $F(x) = \sqrt{\sin(3x-1)}$, biết rằng $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$, $(\sin x)' = \cos x u (3x-1)' = 3$.

Lời giải:

$$dF(x) = (\sqrt{t})'|_{t=\sin(3x-1)} \cdot d\sin(3x-1) = \frac{1}{2\sqrt{\sin(3x-1)}}(\sin t)'|_{t=3x-1}d(3x-1) = \frac{1}{2\sqrt{\sin(3x-1)}} \cos(3x-1)3dx = \frac{3\cos(3x-1)}{2\sqrt{\sin(3x-1)}}dx.$$

Tiết lộ về độ không chắc chắn Loại 0/0

Thông thường cần phải nghiên cứu hành vi của một phân số độ lớn điểm trong đó tử số và mẫu số bằng 0. Các phép tính trực tiếp thậm chí sử dụng máy tính có độ chính xác cao cũng có thể gây ra lỗi nghiêm trọng trong những trường hợp này do phá hủy các giá trị quan trọng.

52

Hình 4.

$$f(x)/g(x)$$ đối với các giá trị $x$ tiến đến $x_0$, nếu tại thời điểm này, người khám phá và người thay thế biến mất. Chúng tôi coi $f(x)$ và $g(x)$ là các đại lượng tuyến tính của điểm $x_0$ và thay thế các phần nhỏ của đồ thị của chúng bằng các tiếp tuyến với đồ thị của các hàm này tại điểm $x_0$. Vì vậy, chúng tôi tin rằng
$$f(x)=f'(x_0)(x-x_0), \quad g(x)=g'(x_0)(x-x_0).$$
Khi đó, nếu $g'(x_0) \neq 0$ thì
$$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(x_0)(x-x_0)}{g'(x_0)(x-x_0)}=\frac{f'(x_0)}{g'(x_0)}.$$
Chúng ta phải nhớ rằng trên thực tế, đẳng thức này là một giá trị gần đúng, nhưng nó càng chính xác thì càng gần với $x_0$. Chúng ta đã thu được một quy tắc được biết đến trong toán học là quy tắc L’Hopital để phát hiện tính không chắc chắn của loại 0/0.

Trong ngôn ngữ của giới hạn, quy tắc này có dạng như sau: giới hạn của tỷ lệ $\frac{f(x)}{g(x)}$ tại $x \rightarrow x_0$, nếu $f(x_0)=0$ và $g(x_0)=0$, bằng tỷ lệ tùy ý $f'(x_0)$ và $g'(x_0)$:
$$\lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(x_0)}{g'(x_0)} \quad (g'(x_0) \neq 0).$$

Ví dụ 3. Tạo bảng giá trị hàm
$$f(x)=\frac{2x^2-x-\sin x/2}{\sqrt{x}-\cos(1-x)}$$
điểm gần $x=1$.

Lời giải. Kết quả tính toán trên V3-34 MK được thể hiện ở bảng 1. Chúng ta hãy áp dụng quy tắc Lopitania
$$\left(2x^2-x-\sin \frac{\pi}{2}x\right)' \bigg|_{x=1}= = \left(4x-1-\frac{\pi}{2}\cos \frac{\pi}{2}x\right) \bigg|_{x=1}=4-1=3, (\sqrt{x}-\cos(1-x))' \bigg|_{x=1}=$$

Phương trình vi phân số lời giải

Trong nhiều trường hợp, có thể thu được mối quan hệ giữa các đại lượng chứa các giá trị tùy ý của chúng, tức là dưới dạng phương trình vi phân. Không phải lúc nào cũng có thể giải được một phương trình, tức là tìm được một hàm số là nghiệm của một vi phân cho trước

Bảng 1

| $0 x$ | 1,1 | 1,01 | 1,001 | 1,0001 | 1,00001 |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| $f(x)$ | 6,1762693 | 6,0196529 | 6,0039984 | 6,012024 | 6,1224489 | 7,5 |

52

53

Hình 6.

phương trình trung tâm. Tuy nhiên, dựa trên “nguyên tắc cơ bản”, có thể thu được giá trị gần đúng (bằng số) lời giải của phương trình vi phân.

Ví dụ 4. Khôi phục trong khoảng [0; 1] theo phương trình vi phân: $y'(t)=5t$ và điều kiện tự nhiên $y(0)=0$.

Lời giải. Hãy tạo một bảng giá trị tùy ý:

Bảng 2

| $t$ | 0 | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,5 | 0,6 | 0,7 | 0,8 | 0,9 | 1 |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| $y'(t)$ | 0 | 0,5 | 1 | 1,5 | 2 | 2,5 | 3 | 3,5 | 4 | 4,5 | 5 |

Chúng tôi giả định rằng gần các điểm trong bảng (theo “nguyên tắc cơ bản”), đồ thị của hàm số liền kề với các đoạn tiếp tuyến. Khoảng kích thước [0; 1] đến phần [0; 0,05]; [0,05; 0,15]; [0,15; 0,25], v.v. lên đến [0,95; 1]. Ta sẽ đặt các đỉnh của đường đứt nét thay hàm số tại các điểm chia: 0; 0,05; 0,15; 0,25; …; 0,95; 1.

Lấy hệ số góc của đường đứt nét từ bảng, ta thu được đồ thị (hình 5). Chỉ một phần của biểu đồ được xây dựng trên hình này. Hãy tự mình vẽ toàn bộ biểu đồ và đảm bảo nó phù hợp với lời giải chính xác $y=2,5t^2$.

Xác định một phần của đường cong, là đồ thị của hàm $y=f(x)$, trên khoảng [a; b]

hình 6 hiển thị đồ thị hàm số $y=f(x)$. Ta cần tìm độ dài một phần của đồ thị trên đoạn [a; b]. Hãy xem xét hàm $l(x)$, giá trị của hàm này bằng độ dài của phần đồ thị từ điểm $x=a$ đến một số $x$, $x\in[a; b]$.

Chúng ta hãy tìm hàm vi phân $l(x)$ tại điểm $x$. Xét hàm $f(x)$ “trong số nhỏ” là tuyến tính, ta thu được

$$dl=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}=\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}dx$$

$$=\sqrt{1+(f'(x))^2}dx,$$

Ở đâu

$$l'(x)=\frac{dl}{dx}=\sqrt{1+(f'(x))^2}.$$

Rõ ràng là $l(a)=0$. Chúng tôi đã đi đến bài toán nổi tiếng về việc khôi phục một chức năng từ các điều kiện hải quân (khác biệt) và tùy ý của nó. Về phép tính tích phân, ta cần tính

$$\int_a^b \sqrt{1+(f'(x))^2}dx.$$

Lưu ý rằng chính xác là với lời giải bài toán khi tính độ dài của đường cong, ngay cả trong những trường hợp có vẻ đơn giản, chúng ta sẽ đạt đến các khoảng không lấy, tức là các tích phân không được biểu thị thông qua các hàm cơ bản. Ví dụ: khi tính độ dài của một phần sóng hình sin, chúng ta thu được phương trình $l'(x)=\sqrt{1+\cos^2x}$ hoặc tích phân

$$\int_a^b \sqrt{1+\cos^2x}dx.$$

Tương tự, khi tính độ dài tiết diện hyperbol $y=1/x$, ta thu được phương trình $l'(x)=\sqrt{1+1/x^4}$ và tích phân

$$\int_a^b \sqrt{1+1/x^4}dx.$$

Đánh bại. Xây dựng số lời giải của hai phương trình vi phân cuối cùng bằng phương pháp được mô tả trong bài viết. Tìm độ dài đoạn hình sin trên đoạn [0; π/2] và độ dài của phần hyperbol trên đoạn [1; 2].

Để kết luận, chúng tôi lưu ý rằng các ý tưởng được mô tả được phát triển chi tiết hơn trong cuốn sách “Các yếu tố tính toán toán học cho học sinh” của tác giả bài viết này (M.: “Nauka”, 1987). Cuốn sách này cung cấp một sự chứng minh khá chặt chẽ về “nguyên lý chính” và một bằng chứng có cấu trúc chặt chẽ hơn về các định lý dựa trên khái niệm về độ lớn vô hạn nhỏ.