Về con cáo và con chó

39

Về con cáo và con chó

M. L. Gerver

Ghi chú này không liên quan đến điều này:
“cáo” và “chó” đơn giản là điều kiện thuận lợi để sinh sản cho hai thùy chuyển động, một thùy “đẩy nước” kia.

§ 1. Công thức bài toán
Một con cáo chạy theo một đường thẳng với vận tốc không đổi. Con chó đuổi theo con cáo với tốc độ như nhau và chạy theo cách mà nó luôn nhìn thấy con cáo ở phía trước. Con cáo chạy từ điểm L₀ (Hình 1) theo hướng mũi tên chỉ. Con chó đang ở thời điểm đầu tiên ở điểm C₀. Ở bao nhiêu C₀ thì con chó sẽ đuổi kịp con cáo?

Bây giờ thật khó để xác định ai đã nghĩ ra bài toán tuyệt đẹp này - nó đã được cung cấp trong nhiều năm tại Đại học Cơ khí Quốc gia Moscow cho những sinh viên chưa học đạo hàm là gì. Sau khi chủ đề “Đạo hàm” được đưa vào chương trình giảng dạy ở trường toán, họ bắt đầu kể cho học sinh nghe về con cáo và con chó, cảnh báo trước rằng đây là “vấn đề với hai ngôi sao”.

Vào đầu năm 1972, chúng tôi đề xuất bài toán về một con cáo và một con chó ở lớp 10 “b” của trường 57 ở Moscow. Người đầu tiên trong lớp giải được bài toán này (theo nhiều cách khác nhau) là Kolya Nadrashiel, Volodya Lidsky và Serge Glyadkov*). Tuy nhiên, từ lời giải (được phát minh bởi S. Glyadkov), người ta có thể đơn giản hóa nó đến mức trở thành hoàn toàn “sơ cấp”.

Đây là lời giải (không yêu cầu làm quen với khái niệm đạo hàm) và sẽ được đưa ra dưới đây. Tất nhiên, trước khi đọc nó, hãy cố gắng tự mình giải quyết bài toán. có thể nó không thành công (tôi đã cảnh báo rằng nhiệm vụ này rất khó) - thì ít nhất hãy cố gắng đoán đáp số. Nó khá bất ngờ.

§ 2. Cùng thử đoán nhé đáp số

1. Chúng ta hãy biểu thị đường mà con cáo L đang chạy theo l. Tại điểm А₀ chúng ta sẽ xây dựng một p vuông góc với nó (Hình 2).

*) Hiện nay tất cả đều là sinh viên năm thứ nhất.

40

Kulyar $p$), thì bạn sẽ không thể đuổi kịp con cáo. Điều này có thể được chứng minh, ví dụ như thế này.

Chúng ta hãy phân tách tốc độ của con chó $v$ thành hai thành phần: $v_1$ (dọc theo $l$) và $v_p$ (dọc theo $p$). Hãy chiếu điểm $C_0$ lên đường thẳng $l$ vào điểm $\Pi$ ($C_0\Pi \perp l$). Sau đó, $v_1$ có thể được sử dụng làm tốc độ ) mà điểm $\Pi$ di chuyển dọc theo đường thẳng $l$ theo sau $\Pi$. Vì $v_1 < v$, khoảng cách giữa $\Pi$ và $\Pi$ không giảm theo thời gian*), nên con chó trong trường hợp này sẽ không đuổi kịp con cáo.

2. Cho đến nay mọi thứ đều đơn giản. Khó khăn bắt đầu khi điểm $C_0$ nằm ngoài đường $l$ và hướng về phía trước $\Pi_0$ (phía trên đường vuông góc $p$).

Chúng ta hãy vẽ hai tia từ điểm $\Pi_0$: $q_1$ và $q_2$ (Hình 3) - ở một góc $45^\circ$ tới các đường thẳng $l$ và $p$. Vùng được tô màu trong Hình 3 là an toàn cho cáo: nếu $C_0$ nằm trong vùng này thì con chó chạy từ điểm $C_0$ sẽ không bắt được cáo. Để chứng minh điều này, chúng ta hãy lấy điểm $C_0$ thậm chí không phải ở bên trong mà nằm trên ranh giới của đới (ví dụ: trên tia $q_1$).

*) $v$ là một vectơ và $v$ là độ dài của nó.
**) Khoảng cách giữa $\Pi$ và $\Pi$ thậm chí còn tăng lên; Ngược lại, khoảng cách giữa $C$ và $\Pi$, như chúng tôi sẽ trình bày bên dưới, lại giảm đi.

Đặt $\lambda_1$ là một điểm trên đường thẳng $l$ sao cho $C_0\lambda_1 \perp l$. Sau đó, con chó sẽ chạy đến $l$ dọc theo một con đường dài hơn. Điều này có nghĩa là khi con cáo ở điểm $\lambda_1$ thì con chó sẽ chưa đạt tới điểm $l$. Dễ dàng kiểm tra được rằng trong trường hợp này cô ấy sẽ ở phía sau con cáo - phía sau đường vuông góc $C_0\lambda_1$. Và trong tình huống như vậy, như chúng ta đã thấy, cô ấy sẽ không thể đuổi kịp con cáo.

3. Điều này hoặc điều gì đó tương tự là cách hầu hết mọi người bắt đầu quyết định bài toán được thảo luận.

Inutchina gợi ý rằng vùng an toàn cho cáo có thể được mở rộng hơn nữa. Cô ấy trông như thế nào? Một cái gì đó giống như trong Hình 4? Không, hóa ra không phải vậy…

§ 3. Trong hệ tọa độ chuyển động

Hãy thực hiện một bước quyết định sẽ đơn giản hóa đáng kể mọi tính toán tiếp theo. Chúng ta hãy chọn hệ tọa độ trực tiếp $x, y$ sao cho nó chuyển động đều theo con cáo *) theo hướng của trục $y$. Cho con cáo ở trên hệ chuyển động tại thời điểm ban đầu (tại điểm $O$). Sau đó cô ấy sẽ luôn ở thời điểm này.

Con chó sẽ di chuyển như thế nào so với hệ thống $x, y$?

Chúng ta hãy lấy một số điểm $C$ trên mặt phẳng $(x, y)$ (Hình 5, a).

*) Quan sát tương đối đứng yên.

41

Nếu điểm này ở vị trí tương ứng với hệ tọa độ $x, y$, thì điều này có nghĩa là nó di chuyển cùng với con cáo) - theo cùng một hướng và cùng tốc độ.

Để điểm $C$ ở đúng vị trí theo quan điểm của người quan sát đứng yên, cần phải bù cho các chuyển động của hệ $x, y$, tức là cần buộc điểm $C$ chuyển động tương đối so với hệ $x, y$ theo hướng ngược với hướng của trục $y$, và đỉnh hoành của tốc độ của chuyển động này phải giống như của khuôn mặt (Hình 5, b).

Theo điều kiện bài toán con chó chạy thẳng về phía con cáo (theo quan điểm của người quan sát đứng yên). Điều này có nghĩa là, so với hệ $x, y$, con chó tham gia vào hai chuyển động: thứ nhất, nó chuyển động đều với tốc độ $v$ theo hướng ngược lại với trục $y$, và thứ hai, nó tiến đến gốc tọa độ với cùng tốc độ. Các mũi tên trong Hình 5, $\theta$ là vectơ vận tốc trong mỗi chuyển động được chỉ định. Chúng ta sẽ tìm tốc độ chuyển động của con chó so với hệ tọa độ $x, y$ bằng cách sử dụng các quy tắc hình bình hành (Hình 5, f).

Cho đến cxx, chúng ta đã vẽ điểm $C$ ở cùng một vị trí trên mặt phẳng $(x, y)$. Hình 6 cho thấy tốc độ thu được phụ thuộc như thế nào vào vị trí của điểm $C$. Càng nhiều

Cơm. 6.

góc giữa các vectơ cộng lại thì vectơ vận tốc thu được càng ngắn. Nếu bạn đặt điểm $C$ trên bán trục âm của trục $y$, thì các vectơ cộng lại sẽ có hướng ngược nhau và tốc độ thu được sẽ bằng 0. Tất nhiên, nó phải như thế này: nếu con chó đi đúng hàng với con cáo, thì nó sẽ đuổi theo nó, không đến gần hoặc tụt lại phía sau, tức là nó ở vị trí của hệ thống $x, y$.

§ 4. Con chó chạy theo đường parabol

1. Ở trường họ học rất nhiều phương trình bậc hai. Mọi học sinh trung học đều biết một parabol (đồ thị của tam thức bậc hai) trông như thế nào.

Chúng ta hãy nhìn lại Hình 6. Rất giống nhau, các điểm $C_1, C_2, C_3$ nằm trên một parabol. Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh rằng điều này đúng nếu những điểm này biểu thị một số vị trí liên tiếp của con chó đang chạy.

2. Một số bạn đã biết, số khác có thể dễ dàng kiểm tra tính chất sau của một parabol:

Parabol là quỹ tích của các điểm chìm cách đều một điểm nào đó $O$ và từ một đường thẳng nào đó $d^*$).

Bây giờ chúng ta sẽ kiểm tra thuộc tính này trong trường hợp điểm $O$ là tọa độ không rõ ràng và đường thẳng $d$ song song với trục $x$ và nằm “dưới nó”, nghĩa là đối với một số $a > 0$, phương trình $y = -a$ được đưa ra. Trong trường hợp này (Hình 7) bình phương khoảng cách từ điểm $(x, y)$ đến điểm $O$ bằng nhau (theo định lý Pythagore)

$$x^2 + y^2,$$

khoảng cách từ điểm $(x, y)$ đến đường thẳng $d$ là

$$|y + a|,$$

và bình phương của khoảng cách này bằng

*) Điểm $O$ được gọi là tiêu điểm và đường thẳng $d$ được gọi là đường chuẩn của parabol.

42

Cơm. 7.

$(y + a)^2$. Đối với các điểm cách đều $O$ và $d$, sự tương ứng được thỏa mãn

$$x^2 + y^2 = (y + a)^2,$$

hoặc, cái gì giống nhau,

$$x^2 = 2ay + a^2.$$

Cuối cùng chúng ta hãy viết lại phương trình cuối cùng dưới dạng

$$y = \frac{x^2 - a^2}{2a}.$$

(A)

Do đó, tất cả các điểm cách đều $O$ và $d$ đều nằm trên parabol cho bởi phương trình (A). Vì khi suy ra phương trình (A), chúng ta đã thực hiện các phép biến đổi giống nhau nên và ngược lại, tất cả các điểm trỏ đều cách đều điểm $O$ và đường thẳng $d$.

3. Trước khi xem qua dữ liệu, hãy lưu ý rằng tại $b \neq a$ ($b > 0$) parabol

$$y = \frac{x^2 - b^2}{2b}$$

(B)

không có một điểm chung nào với parabol (A). Thật vậy, nếu một điểm $(x, y)$ nào đó thuộc về

$$\begin{align*} y &= \frac{x^2 - b^2}{2b} \\ \end{align*}$$

Cơm. 8.

Nếu cả hai parabol được nhấn thì sự tương ứng sẽ được thực hiện

$$\frac{x^2 - a^2}{2a} = \frac{x^2 - b^2}{2b}.$$

Không có đẳng thức tương đương $x^2 = -ab$ là không thể, vì $x^2 \geq 0$ và $-ab < 0$.

4. Chúng ta hãy lấy một điểm $C_0$ trên mặt phẳng $(x, y)$, điểm này không nằm trên trục $y$ mà còn tùy ý. Chúng ta hãy đặt đoạn $C_0D_0 = OC_0$ khỏi nó theo hướng ngược lại với trục $y$ (Hình 8) và vẽ một đường thẳng $d$ qua điểm $D_0$, song song với trục $x$. Khoảng cách giữa trục $x$ và đường thẳng $d$ được ký hiệu là $a$. Theo mục 2, parabol (A) cách đều $O$ và $d$ và đi qua điểm $C_0$.

Hãy để chúng tôi chứng minh rằng con chó sẽ chạy dọc theo parabol này (so với hệ $x, y$) nếu tại thời điểm ban đầu nó ở điểm $C_0$.

Để chứng minh điều này, chúng ta hãy tưởng tượng rằng $OC_0$ và $C_0D_0$ là những sợi dây thừng chặt chẽ; tại điểm $D_0$ sợi dây $C_0D_0$ được buộc vào một cái chốt nằm trên đường thẳng $d$ và có thể trượt tự do dọc theo nó; sợi dây $OC_0$ được buộc chắc chắn ở điểm $O$. Chúng ta cũng hãy tưởng tượng rằng tại điểm $C_0$ không có con chó mà là một con khỉ (một con chó không đủ háo hức để làm những gì chúng ta sắp dạy nó). Hãy đưa dây cho khỉ và yêu cầu nó kéo cả hai sợi dây lên cùng một lúc - đồng thời đến điểm $O$ và đến đường thẳng $d$.

Bất cứ ai đã từng leo dây (sau đây gọi là từng người một chứ không phải hai người) đều có thể dễ dàng tưởng tượng điều gì sẽ xảy ra. Bằng cách di chuyển bàn chân của nó, con chó của chúng ta (tức là con khỉ) sẽ tiếp cận điểm $O$ và đường thẳng $d$ với cùng tốc độ. Sau một thời gian, nó sẽ rõ ở điểm $C_1$ (Hình 9); một vòng trượt không ma sát dọc theo đường thẳng $d$ sẽ chuyển động đến vị trí $D_1$ sao cho $C_1D_1 \perp d$; vì cả hai sợi dây sẽ được rút ngắn bởi cùng một đoạn nên các đoạn $OC_1$ và $C_1D_1$ sẽ bằng nhau.