Phương pháp chuyển động nhỏ

4

Phương pháp chuyển động nhỏ

Khi sử dụng các phát biểu hình học để xác minh tính xác thực, khi tìm kiếm các phản ví dụ, một nhà toán học thường lập luận như sau:

— Tôi sẽ xử lý trường hợp tuyên bố được xác nhận và tôi sẽ “di chuyển” một điểm (hoặc một đoạn hoặc một số tập hợp điểm khác). Có cách nào để tôi có thể giải quyết trường hợp tuyên bố không được xác nhận không?

Hãy xem một ví dụ đơn giản:

Bài toán 1. Từ một điểm P nằm bên trong một đa giác lồi, các đường vuông góc được hạ xuống các cạnh của nó hoặc về phía phần mở rộng của chúng. Chúng ta hãy đồng ý gọi đáy của đường vuông góc vĩ mô là “thẳng” nếu nó thuộc về một cạnh và “gián tiếp” nếu không. Có đúng là mọi điểm trong của đa giác đều có ít nhất hai hình chiếu trực tiếp không?

Lời giải. Đầu tiên chúng ta lấy tam giác ABC làm đa giác lồi ban đầu. Nếu nó là cấp tính thì tất cả các hình chiếu của bất kỳ điểm bên trong nào của nó đều là cay. Cho ΔABC là kiểu chữ. Trong trường hợp này, thật dễ dàng chọn một điểm P bên trong nó sẽ có hai hình chiếu cay (Hình 1). Bây giờ không khó để dựng một tứ giác lồi và một điểm nằm trên đường viền của nó sao cho điểm này chỉ có một điểm ẩn

Hình 1.

6

Hình 4.

Nhiệm vụ 4a. Có thể sắp xếp hai khối trung diện đều chấn động trong không gian, sao cho khi chúng được chiếu ngược lên một mặt phẳng nào đó - một và giống nhau - thì hình chiếu của một khối trung diện đều nằm hoàn toàn (bao gồm cả ranh giới của nó) bên trong hình chiếu của khối trung diện kia?

Lời giải e. Chúng ta hãy định vị khối trung diện $T'$ sao cho mặt $A'B'C'$ của nó nằm trong mặt phẳng chiếu $\alpha$ (Hình 4). Trước tiên, chúng ta định vị khối trung diện thứ hai $T$ sao cho hình chiếu của mặt $ABC$ lên mặt phẳng $\alpha$ trùng với tam giác $A'B'C'$. Bây giờ, bằng cách di chuyển khối trung diện $T$, nó sẽ cố gắng đảm bảo rằng hình chiếu của nó lên mặt phẳng $\alpha$ hoàn toàn nằm bên trong tam giác $A'B'C'$. Trước hết, sử dụng máy đo bề mặt $T$ sao cho bên trong tam giác $A'B'C'$ có ​​hình chiếu của đỉnh $C$. Ví dụ, điều này có thể được thực hiện như sau: overmeter $T$ xung quanh cạnh $AB$ cho đến khi vị trí tại đó cạnh $CD$ vuông góc với mặt phẳng $\alpha$. Trong trường hợp này, hình chiếu của khối đa diện $T$ sẽ trở thành một tam giác đều $A_1B_1C_1$ và $|A_1B_1| = |A'B'|$ (Hình 5).

Bây giờ chúng ta hãy di chuyển khối trung diện $T$ sao cho hình chiếu của cạnh $AB$ ngắn hơn đoạn $A'B'$. Để thực hiện việc này, hãy đánh dấu điểm giữa $F$ và $K$ của các cạnh $AB$ và $CD$ và thước đo bề mặt $T$ ở một góc nhỏ xung quanh đường thẳng $FK$. Sau chuyển động như vậy, hình chiếu của khối đa diện $T$ lên mặt phẳng $\alpha$ sẽ trở thành hình thang

Hình 5.

$A_2B_2C_2D_2$ (Hình 6). Nếu góc quay đủ nhỏ thì hình thang này sẽ nằm trong tam giác $A'B'C'$, có cạnh $A_2B_2$ nằm trên đường biên của tam giác này.

Để hình thang nằm hoàn toàn bên trong tam giác $A'B'C'$, bây giờ chỉ cần làm cho khối trung diện chịu thêm một chuyển động nữa là đủ, cụ thể là dịch chuyển khối trung diện bằng một vectơ nhỏ, vectơ thẳng hàng $FK$ (Hình 7).

Chúng ta thấy rằng các khối trung diện $T$ và $T'$ có thể được sắp xếp trong không gian sao cho hình chiếu của khối trung diện $T$ lên mặt phẳng $\alpha$ nằm hoàn toàn bên trong hình chiếu của khối trung diện $T'$ lên cùng một mặt phẳng. Nhiệm vụ 4a đã được giải quyết.

Điều này có nghĩa là có thể khoan một lỗ trên khối trung diện $T'$ mà qua đó khối trung diện $T$ sẽ đi qua (lỗ trong $T'$ phải được khoan vuông góc với mặt phẳng $A'B'C'$, và sao cho hình chiếu của lỗ lên mặt phẳng $A'B'C'$ hóa ra là một hình nào đó chứa bên trong hình thang $A_3B_3C_3D_3$ và nằm bên trong hình tam giác $A'B'C'$.

Ý tưởng về các chuyển động nhỏ cũng hữu ích khi trong một số tập hợp hình cần phải chọn (xây dựng, tìm) cái “tốt nhất” theo nghĩa này hay nghĩa khác (ví dụ: có chu vi nhỏ nhất, khu vực ồn ào nhất, v.v.). Trong những nhiệm vụ như vậy, chính

7

Hình 6.
Khó khăn thực sự là trước tiên phải đoán đúng đáp số; Đây là lý do tại sao phương pháp chuyển động nhỏ có thể hữu ích: trước tiên hãy lấy một số hình từ một tập hợp nhất định và cố gắng tinh chỉnh nó bằng một chuyển động nhỏ. Nếu điều này không thành công thì có thể hợp lý rằng hình đã chọn là hình mong muốn (tất nhiên điều này phải kèm theo một chứng minh chặt chẽ).

Bài 5. Bên trong điểm P nhỏ hơn điểm khai triển cho trước điểm P. Hãy chỉ ra cách dựng đường thẳng đi qua điểm P và cắt một tam giác có chu vi nhỏ nhất từ ​​điểm C ra khỏi điểm C.

Ponsk lời giải. Chúng ta hãy vẽ một đường thẳng A’B’ tùy ý đi qua điểm P (Hình 8), và gọi Γ là đường tròn “excircle” cho ΔA’CB’, tiếp xúc với cạnh A’B’ và các cạnh CA’ và CB’ kéo dài. Đầu tiên chúng ta hãy tưởng tượng rằng đường tròn Γ nằm “cách xa” điểm C. Chu vi 2p của tam giác A’CB’ bằng
2p = |A’C| + |CB’| + |A’B’| =
= |A’C| + |CB’| + |A’T| + B’T| =
= |A’C| + |CB’| + |A’M| +

• |B’N| = |CM| + |CN|.
  Chúng ta sẽ đưa đường tròn tiếp tuyến Γ đến gần đỉnh C hơn, giảm bán kính của nó. Trong trường hợp này, các đoạn CM, CN sẽ giảm và do đó chu vi 2p = |CM| + |CN| tam giác A’CB’. Nếu điểm P nằm trong đường tròn Γ không thì chúng ta có thể di chuyển điểm này

Hình 7.
một đường tròn sao cho tâm của nó hơi gần đỉnh C hơn một chút, nhưng sao cho điểm P vẫn nằm trong không phải đường tròn Γ; trong trường hợp này chu vi tam giác A’CB’ sẽ giảm đi.

Khả năng như vậy - có được cùng với tam giác này bởi một tam giác khác có chu vi nhỏ hơn - sẽ biến mất ngay khi điểm P không nằm trong đường tròn Γ mà nằm trên đường tròn này. Do đó, sẽ có tam giác có chu vi nhỏ nhất khi đường thẳng A’B’ tiếp xúc với đường tròn đi qua điểm P và tiếp xúc với các cạnh của góc C.

Lời giải. Chúng ta hãy dựng một số đường tròn Γ’ nội tiếp góc C; đặt O’ làm tâm của nó. Tiếp theo, chúng ta biểu thị bằng P’ điểm giao nhau đầu tiên (tính từ C) của tia CP với đường tròn dựng sẵn. Khi nấu với tâm C và hệ số k = |CP| / |CP’| điểm P’ sẽ tiến đến điểm P, và do đó đường tròn Γ’ sẽ tiến đến đường tròn γ, nội tiếp góc C và đi qua điểm P. (Lưu ý rằng chỉ có một đường tròn có các tính chất này; điều này cũng xuất phát từ thông báo chuẩn bị.) Gọi AB là tiếp tuyến của đường tròn γ vẽ qua điểm P (các điểm A và B nằm trên hai cạnh của góc).

Hãy chứng minh tam giác ABC là tam giác cần tìm. Trên thực tế, nếu

8

Hình 8.

[AB] là bất kỳ đoạn thẳng nào (khác với [AB]) có hai đầu ở hai cạnh của góc, đi qua điểm P (Hình 9), khi đó đường thẳng AB không tiếp xúc với đường tròn γ, tức là cắt đường tròn này tại hai điểm P và Q. Do đó, đường tròn ngoài Γ* của tam giác ABC thu được từ γ sẵn sàng với hệ số lớn hơn và nhỏ hơn. Nhưng sau đó rõ ràng là |CM*| + |CN*| > |CM| + |CN| (Hình 9), tức là chu vi của tam giác ABC lớn hơn và nhỏ hơn chu vi của tam giác ABC.

Ý tưởng về những chuyển động nhỏ có thể hữu ích không chỉ trong các bài toán hình học. Ví dụ: hãy xem xét bài toán («Kvant», 1974, Số 1, trang 73):

Bài toán 6. Ba người bạn - Alik, Borya và Vasya - kể rằng họ từng thua một số ván cờ nhất định và mỗi người đều thua một số ván như nhau. Sau đó, khi họ bắt đầu quyết định xem ai làm pho mát ngon hơn và nên được coi là người chiến thắng, Alik đã nói với những người Movarian của mình: “Tôi có ít hơn mỗi người trong số các bạn, hãy làm việc hiệu quả hơn”. Borya nói: “Và tôi có nhiều hơn mỗi bạn, hãy thắng,” và Vasya nhận xét: “Tôi ghi được nhiều điểm nhất” (break - 1 điểm, hòa - 1/2 điểm, thắng - 0). Sống murir ở mức tối đa có thực sự là một mốt không? Nếu không thì hãy chứng minh điều đó; nếu có, vui lòng cung cấp một ví dụ.

Lời giải e. Hãy thử xây dựng một tourer thỏa mãn điều kiện đã cho:

I. Alik hẳn là người thua cuộc hoàn toàn.

Hình 9.

II. Borya nên có nhiều tiền thắng nhất.

III. Vasya phải có được nhiều điểm nhất.

Chúng tôi sẽ tổng hợp nó từ các vòng riêng biệt (trong ba trò chơi - mỗi người chơi chơi với nhau một trò chơi). Ví dụ: có thể có một hiệp đấu như thế này: Alik hòa với hai người chơi khác và Borya thắng Vasya. Hoặc vòng này: Alik hòa với hai người chơi khác, và Vasya giành chiến thắng trước Bori. Chúng tôi gọi một cặp vòng như vậy là vòng đôi Cấp A (“loại Alik”). Trong một giải đấu chỉ bao gồm một vòng đấu đôi như vậy, các điều kiện tôi được đáp ứng rất thuận tiện: Alik có ít người thua hơn những người khác (không có người thua); mỗi người chơi ghi được 2 điểm. Một chuyến du lịch bao gồm bất kỳ số chuyến du lịch đôi nào thuộc loại A sẽ có thuộc tính I.

Giả sử một chuyến tham quan bao gồm một số lượng lớn các chuyến tham quan đôi thuộc loại A—chẳng hạn như 100 chuyến tham quan như vậy. Trong đó, mọi người đều ghi được 200 điểm, và Alik là người có ít người thua nhất - không có người thua (nhưng cũng không có người thắng), trong khi Borya và Vasya mỗi người có 100 người thắng và 100 người thua.

Bây giờ hãy di chuyển tuir một chút. Cụ thể là hãy tạo một số lượng nhỏ các chuyến tham quan (không nhất thiết phải là “loại A”); thì Alik vẫn sẽ ít thua cuộc hơn Borya và Vasya (nói cách khác, đối với những bước di chuyển nhỏ của turir, thuộc tính I là “ổn định”). Ta chọn chuyển động này sao cho điều kiện II cũng được thỏa mãn. Vì mục đích này, trước tiên chúng ta hãy tưởng tượng một vòng kép Cấp B (“loại Vasya”): trong đó tất cả mọi người