Bài toán M556—M560; F568—F572

24

Vấn đề
Kwana

M556—M560; F568—F572

M556. Có cần thiết phải thu gọn hai tam giác cân nhọn có độ dài các cạnh bằng nhau và bán kính đường tròn nội tiếp bằng nhau không?

A. Edorov

M557. Cho $n$ các số nguyên tố xen kẽ theo cặp lớn hơn 1 và nhỏ hơn $(2n-1)^2$. Chứng minh rằng số trung bình cộng của chúng chắc chắn sẽ là số nguyên tố.

A. Kolotov

M558. Có $k>1$ phần màu đen trong vòng tròn, góc của mỗi phần nhỏ hơn $180^\circ/(k^2-k+1)$. Chứng minh rằng hình tròn có thể quay quanh tâm $O$ sao cho tất cả các phần màu đen đi vào phần màu trắng của hình tròn.

V. Proizvolov

M559. Chứng minh rằng nếu $x, y, z$ là độ dài một cạnh của một tam giác thì

$$\left| \frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} - \frac{y}{x} - \frac{z}{y} \right| < 1.$$

A. Ermilov

M560. Đáy hộp có hai lỗ. Cần phải tạo một nắp lồi có diện tích nhỏ nhất, ở bất kỳ vị trí nào mà lỗ ở đáy hộp sẽ được đóng lại. Giải quyết bài toán này nếu:

a) đáy hộp có hình vuông $4 \times 4$ và lỗ $1 \times 1$ có vị trí như Hình 1;

b) đáy hộp là hình vuông $n \times n$ (n là số lẻ) và lỗ $1 \times 1$ nằm ở giữa (Hình 2);

b)* giải bài toán tương tự đối với một số trường hợp khác khi đáy và lỗ là hình lồi.

V. Batyrev

F568. Khi một tấm bia lithium bị bắn phá bởi các proton có năng lượng ít nhất là 1,88 MeV, phản ứng hạt nhân có thể xảy ra

$$7\mathrm{Li} + p \rightarrow 7\mathrm{Be} + n.$$

Với năng lượng bao nhiêu của proton tạo ra trong phản ứng, neutron có thể bay lùi khỏi bia lithium?

25

F569. Sử dụng nồi hơi điện có công suất $W=500$ W, nước được đun nóng trong nồi. Trong hai phút, nhiệt độ nước tăng từ $85^{\circ}\mathrm{C}$ lên $90^{\circ}\mathrm{C}$. Sau đó, nồi hơi bị tắt và trong một phút, nhiệt độ nước giảm xuống một độ. Có bao nhiêu nước trong chảo? Nhiệt dung riêng của nước là $4,19 \cdot 10^{3}$ J/(kg K).

E. Surkov

F570. Do sự hiện diện của điện tích trong không gian liên điện tử của một diode phẳng, phân bố điện thế $\varphi(x)$ giữa cực âm và anome có dạng: $\varphi(x) = x^2 - 2x$ (x tính bằng mm và $\varphi$ tính bằng volt). Khoảng cách giữa cực âm và dị thường $d=10$ mm. Tọa độ $x$ trùng với khoảng cách đến cực âm. Xác định động năng tối thiểu mà một electron từ bề mặt catôt có thể chạm tới anốt. Gia tốc cực đại của dòng điện đi tới anot là bao nhiêu?

F571. Pin và điện trở được lắp ráp thành mạch theo hai cách - như trong Hình 3 và như trong Hình 3, b. Xác định các điểm chạy qua điện trở trong cả hai trường hợp. Bỏ qua điện trở của nguồn dòng và dây nối. Dòng điện thay đổi như thế nào trong trường hợp $a$ nếu dây bị cắt tại các điểm $A$ và $B$?

F572. Peren đã nghiên cứu sự phụ thuộc vào chiều cao của số phần hình cầu của một loại nhựa đặc biệt - gummigut - khi treo các phần này trong nước. Đối với một phần có bán kính $r_1=0,212$ µm, anh ấy thu được các mối phụ thuộc, đồ thị của nó được hiển thị trong Hình 4 (n là nồng độ của phần đó ở độ cao $h$, $n_0$ là nồng độ của chúng ở đáy cuvet). Đồ thị tương tự thu được cho một phần có bán kính $r_2=0,106$ µm, chỉ có hình ảnh được kéo dài theo chiều cao gấp 8 lần. Đồng thời, được biết, mật độ oxy trong khí quyển trái đất giảm theo độ cao, như trên Hình 5 (ρ là mật độ oxy ở độ cao $H$, $\rho_0$ ở bề mặt cuvet). Xác định khối lượng của một phân tử oxy.

Mật độ của gummigut là $\rho_r=1,194 \text{ г/cm}^3$.

Hình 1.

Hình 2.

Hình 3.

Hình 4.

Hình 5.