Đại học bang Kazan được đặt theo tên. V. I. Ulyanova-Lenina

52

Những lựa chọn cho kỳ thi tuyển sinh đại học năm 1978

Đại học bang Kazan mang tên V. I. Ulyanov-Lenin

Đại học bang Kazan được mô tả chi tiết trong «Kvant» số 6 năm 1976.

Toán (thi viết)

Khoa Cơ học và Toán học

1. Giải phương trình
   $$2 \sin 6x = \text{tg} 2x - 2 \sin 2x$$

2. Tìm tọa độ của vectơ $p$, vectơ thẳng hàng $\vec{q} = (3; -4)$, nếu biết vectơ $p$ tạo cùng một góc với trục $Ox$ và $\vec{p} = 10$.

3. Cơ sở của ví dụ là một tam giác cân bằng, cạnh của nó bằng $a$ và góc ở đỉnh bằng $\alpha$. Tất cả các mặt bên đều nghiêng với mặt phẳng đáy một góc $\beta$. Tìm ví dụ về khối lượng.

4. Trên mặt phẳng tọa độ, vẽ tập hợp các điểm có tọa độ thỏa mãn bất đẳng thức
   $$\log_{1+y} (1 + \sin x) > 1$$

Khoa Toán tính toán và Điều khiển học

1. Giải phương trình
   $$2 \sin^2 \left( x - \frac{\pi}{4} \right) = 2 \sin^2 x - \text{tg} x$$

2. Giải bất đẳng thức
   $$| 3^x - 3 | + 9^x - 3 > 0$$

3. Trong một ví dụ về tứ giác đều có chiều cao $H$ và các cạnh đáy $a$ có một hình chữ nhật song song, đáy của nó là hình vuông có cạnh $b$, sao cho đáy dưới của nó nằm trên đáy của ví dụ và các đỉnh của đáy trên nằm trên các cạnh của ví dụ. Tại $b$ thể tích của hình song song nội tiếp sẽ nhỏ nhất? Tìm âm lượng ở giá trị này $b$.

4. Trên đường có một số cột cách nhau 10 m. Bắt đầu từ một trụ cuối, người công nhân đã chuyển từng trụ một sang trụ cuối kia và để làm được điều này anh ta phải đi bộ tổng cộng 1,44 km. Có bao nhiêu cây cột trên đường?

Khoa Vật lý

1. Giải phương trình
   $$\sin x - \frac{| 2 \cos x - 1 |}{2 \cos x - 1} \cdot \sin^2 x = \sin^2 x$$

2. Giải hệ phương trình
   $$\begin{cases} \frac{x^2}{y} + \frac{y^2}{x} = 28, \\ \log_9 x - \log_1 y = \frac{3}{2}. \end{cases}$$

3. Trên đường cong $y = x^3 - 3x^2 + 2$ tìm các điểm tại đó tiếp tuyến song song với đường thẳng $y = 3x$.

4. Góc nhị diện giữa các mặt bên của một đường thẳng tứ giác vuông là $a$, và cạnh đáy là $a$. Tìm ví dụ về khối lượng.

Vật lý (đề thi vấn đáp)

1. Hình trụ có bán kính $R$ và khối lượng $m$ đứng trước bậc cao $h \ll R$. Lực ngang nhỏ nhất truyền qua hình trụ và vuông góc với tường phải tác dụng vào hình trụ để nó có thể dâng lên bậc thang là bao nhiêu? Bỏ qua ma sát.

2. Trên một sợi dây cao su có chiều dài ở trạng thái không dãn là $l_0$, một quả cầu nặng có khối lượng $m$ được treo lơ lửng, quay đều trong mặt phẳng ngang quanh trục thẳng đứng đi qua điểm treo; trong trường hợp này, sợi chỉ bị lệch một góc $a$. Biến dạng ren là đàn hồi, hệ số đàn hồi là $k$. Tìm vận tốc góc của chuyển động quay $\omega$.

3. Một tảng băng có diện tích mặt cắt ngang $S$ và chiều cao $H$ nổi trong nước. Phải thực hiện công bao nhiêu để nhúng chìm hoàn toàn tảng băng vào nước?

4. Một quả bóng có mật độ $\rho_{\text{ш}}$ được treo trên một sợi không trọng lượng có chiều dài $l$ trong môi trường lỏng có mật độ $\rho$. Xác định chu kỳ dao động của nó. Ma sát sẽ chạy đi.