Tính toán trên giấy ca-rô

38

S. Gindikin

Tính toán trên giấy ca-rô

Tại sao vở toán lại có hình vuông? Câu hỏi này đôi khi được hỏi bởi những học sinh lớp một không thoải mái lắm khi viết số vào ô. Sau đó, họ biết được rằng việc vẽ hình học trên giấy ca rô là rất thuận tiện. Hóa ra bằng cách vẽ nhiều con số khác nhau trên giấy ca rô, bạn có thể học được rất nhiều điều thú vị về số học.

Phương pháp biểu diễn các con số bằng số trên giấy ca rô đã có từ thời cổ đại - từ toán học của Babylon cổ đại, Ai Cập và Hy Lạp. Tất nhiên, khi đó các nhà toán học không xếp các tấm đất sét hay giấy tờ thành hình vuông mà tạo ra các hình từ các dấu chấm. Chúng tôi sẽ sử dụng giấy ca rô.

Ở Hy Lạp cổ đại, một số bằng tích của hai thừa số tự nhiên được gọi là số phẳng: nó được liên kết với các điểm nằm dưới dạng một mạng hình chữ nhật (Hình 1). Chúng ta sẽ đồng ý vẽ một số phẳng dưới dạng hình chữ nhật trên giấy ca rô và đếm số ô trong đó.

Tính chất của phép nhân hay được xây dựng bằng hình vẽ. Ví dụ: luật phân phối (quy tắc mở ngoặc đơn) tương ứng với việc cắt một hình chữ nhật thành các hình chữ nhật nhỏ hơn (Hình 2). Cái tên “số phẳng” hiện đã bị xóa và từ “hình vuông”, biểu thị sản phẩm của các mô phỏng bằng nhau, vẫn được giữ nguyên cho đến ngày nay.

Hình vuông và gnomons

Các số lẻ được mô tả ở Hy Lạp cổ đại bằng cách sử dụng góc

3×(2+2)=3×2+3×2
(1+3)×(2+4)=1×2+1×4+3×2+3×4

Hình 1.

Hình 2.

39

lốp xe trong một ô - nhà kinh tế học (Hình 3). Đối số đầu tiên chúng tôi sẽ đưa ra liên quan đến hình vuông và gnomons; nó thuộc về Nicomachus xứ Geraz, sống vào khoảng thế kỷ thứ 1.

Hãy vẽ một số hình vuông và gnomons liên tiếp (Hình 4). Có đúng không, mọi gnomon đều muốn thêm một hình vuông vào một số; điều này sẽ dẫn đến hình vuông sau (Hình 5). Điều này có thể quan sát được có nghĩa là mọi số lẻ đều cách nhau bởi hai ô vuông liên tiếp.

Bây giờ hãy thêm một số gnomons liên tiếp, bắt đầu từ cái nhỏ nhất. Bạn sẽ nhận được một hình vuông (Hình 6). Điều này có nghĩa là tổng của các số lẻ liên tiếp, bắt đầu từ số đầu tiên, là một hình vuông: 1+3=4, 1+3+5=9, 1+3+5+7=16, v.v.

Pythogoras và những người theo Pythogorean

Nhà hiền triết tài năng Pythogor (thế kỷ VI trước Công nguyên), thích đi du lịch, và trong lời giảng dạy của ông, tôi đã rút ra được rất nhiều điều từ trí tuệ phương Đông.

Người Pythogoreans có đặc điểm là có thái độ thần bí đối với các con số. Họ thu thập đủ loại “sự tò mò” về số học, coi chúng là biểu hiện của các lực bên. Với sự trợ giúp của các hình ảnh số, người Pythogorean có thể bày tỏ suy nghĩ và cảm xúc của mình. Số chẵn gọi là nữ, số lẻ gọi là nam. Những người theo Pythogoreans đặc biệt coi trọng con số 10=1+2+3+4 (Hình 7), gọi nó là tuyệt vời hay metrade, và thề với “người đã đưa bộ tứ vào tâm hồn chúng ta - nguồn gốc và cội rễ của bản chất vĩnh cửu”. Các số bằng tổng các ước số (tương ứng với x) của chúng (6=1+2+3) được gọi là số hoàn hảo và Nicomachus biết bốn số hoàn hảo: 6, 28, 496, 8128. Người bạn được ký hiệu bằng các cặp số định vị khác, mỗi số đó là tổng các ước số (riêng) của một số khác. Ví dụ: các số 284 và 220 khác nhau: 284=1+2+4+5+10+20+11+22+44+55+110,220=1+2+4+71+142.

Nhưng vì có số “tốt” thì cũng phải có số “xấu”. Thật “xấu” nếu một con số không có giá trị; thậm chí còn tệ hơn nếu nó được bao quanh bởi những con số thú vị. Nỗi sợ hãi về con số 13 - “tá quỷ” - nổi bật ở sự bất tử của nó. Nhưng nó hơi chật chội. Đây là những gì Plutarch viết: “Những người theo trường phái Pythogorean có ác cảm với số 17. Vì 17 nằm chính xác giữa số 16, biểu thị một hình vuông hoàn chỉnh, và số 18, là một hình vuông đôi; cả hai số này đều là số phẳng duy nhất mà chu vi (của hình chữ nhật) bằng diện tích của nó…” Nói cách khác, ut-

40

Hình 7.

Hình 8. Văn bản clipart của người Babylon cổ đại.

Người ta nói rằng nếu tích của hai số (tất nhiên là số tự nhiên) bằng tổng kép của chúng thì đó là cặp 3 và 6 hoặc cặp 4 và 4 (tại sao?).

Bộ ba Pythagoron

Có một truyền thuyết kể rằng Pythagoras, để vinh danh một trong những khám phá của ông, đã hiến tế một con bò đực hoặc những con bò đực của chính mình. Vitruiny tuyên bố rằng cái bảng xuất hiện với Pythagoras là sự khám phá ra hai hình vuông, tổng của chúng bằng hình vuông thứ ba *). Chúng ta đang nói về việc kết hợp $3^2+4^2=5^2$. Bộ ba Teleri của các số tự nhiên $a, b, c$ mà $a^2+b^2=c^2$ thường được gọi là bộ ba Pythagore. Hóa ra Pythagoron đã biết về bộ ba ở Babylon (Hình 8). Dần dần, các nhà toán học Hy Lạp cũng tìm ra chúng.

Chúng ta hãy cố gắng tìm hiểu làm thế nào chúng ta có thể tìm ra số Pythagoron của bộ ba. Hãy nhớ lại

*) Tuy nhiên, các nguồn khác lại chỉ ra những lý do khác. Cũng có ý kiến ​​​​cho rằng không có sự hy sinh nào cả, vì sự hy sinh mâu thuẫn với triết lý của Pythagore.

rằng mọi số lẻ được biểu diễn dưới dạng hiệu của hai bình phương liên tiếp. Khi đó, bình phương lẻ, cùng với các bình phương mà nó là hiệu, tạo thành bộ ba Pythagore. Ví dụ: $3^2=9=2\cdot4+1=5^2-4^2$ (Hình 9). Đây là cách chúng ta có được bộ ba 3, 4, 5. Tương tự như $5^2=25=2\cdot12+1=13^2-12^2$, từ đó $12^2+5^2=13^2$; $7^2=49=2\cdot24+1=25^2-24^2$, từ đâu $24^2+7^2=25^2$. Bằng cách này, chúng ta có được tất cả các số Pythagoron của bộ ba $a, b, c$ có $c=a+1$. Sự xuất hiện chung của họ:

$$a = \frac{m^2-1}{2}, \quad b = m, \quad c = \frac{m^2+1}{2}$$

(m thật kỳ quặc!). Chứng minh điều đó. Làm thế nào để tìm tất cả các Pythagoron của bộ ba?

Tổng quát bài toán về bộ ba Pythagore

Kinh nghiệm tích lũy cho thấy rằng cần phải điều tra sự khác biệt của hai ô vuông x (và không chỉ liền kề) bất kỳ $c^2-a^2$, trong đó $c>a$. Kết quả là một tế bào dày $c-a$ dày (Hình 10). Do đó, bài toán đưa ra mô tả về tất cả các cách có thể để biến đổi (không thay đổi số lượng ô!) hình vuông $b^2$ thành một số “gnomon dày”.

Quan sát đầu tiên là “gnomon béo” có thể được biến đổi thành hình chữ nhật (số phẳng!) từ cạnh dài $m=c-a$ và $n=c+a$ (Hình 11; chúng ta đã thu được chứng minh hình học của công thức $c^2-a^2=(c-a)(c+a)$). Câu hỏi đặt ra là những số phẳng nào có thể được chuyển đổi thành “gnomons béo”. Rõ ràng là các số $m=c-a$ và $n=c+a$ không bằng nhau và vừa là số chẵn vừa là số lẻ - không có hạn chế nào khác. Vì vậy, nếu có một hình chữ nhật không phải là hình vuông, độ dài các cạnh $m$ và $n$ có cùng độ chẵn lẻ thì nó có thể được chuyển thành “thick gnomon”, đó là sự khác biệt của hình vuông

$$c^2 = \left( \frac{m+n}{2} \right)^2 \quad \text{и} \quad a^2 = \left( \frac{m-n}{2} \right)^2$$

(theo giả định của chúng tôi, các số $m+n$ và $m-n$ là số chẵn và khác 0).

41

Hình 9.

Vì vậy, chúng tôi đã rút gọn bài toán về việc tìm đường đi Pythagore cho câu hỏi làm thế nào hình vuông $b^2$ có thể biến thành hình chữ nhật có các cạnh dài $m, n$ có ​​cùng độ chẵn lẻ ($m \neq n$). bài toán này rất dễ giải quyết. Giả sử $r \neq b$ là ước của $b^2$ (nhưng không nhất thiết phải là ước của $b$) mà $\frac{b^2}{r}$ có cùng tính chẵn lẻ với $r$. Trong trường hợp này, $r$ phải có cùng tính chẵn lẻ với $b$, mặc dù điều kiện này không đủ (tại sao?). Sau đó, một hình chữ nhật có các cạnh có độ dài $m = r$ và $n = \frac{b^2}{r}$ có thể được biến đổi thành một “gnomon dày”, đó là sự khác biệt của hình vuông

$$c^2 = \left[ \frac{b^2/r + r}{2} \right]^2 \text{ и } a^2 = \left[ \frac{b^2/r - r}{2} \right]^2.$$

Lưu ý rằng $r$ có thể bằng 1 và chúng ta có thể giới hạn ở ước số $r < b$ (tại sao?).

Vì vậy, tất cả các trike Pythagore đều có dạng

$$a = \frac{b^2 - r^2}{2r}, \quad b, \quad c = \frac{b^2 + r^2}{2r},$$

trong đó $1 \leq r < b$ là ước số của $b^2$ sao cho $r$ và $b^2/r$ có cùng tính chẵn lẻ (giống như tính chẵn lẻ của $b$). Sử dụng các bản nhạc Pythagoras tự động. Hãy thử điều này; để kiểm soát, chúng tôi cung cấp một bảng -

Trong bảng có các bộ ba $a, b, c$, chỉ khác nhau ở hoán vị của các số $a$ và $b$; điều này được giải thích là do trong bộ ba Pythagore $a$ và $b$ có thể hoán đổi cho nhau. Hơn nữa, chúng ta thấy rằng không có bộ ba Pythagore với $b=2$: trong trường hợp này không có ước số phù hợp $r$

42

Hình 13.
(điều kiện $r < 2$ chỉ được thỏa mãn bởi số tự nhiên $r=1$, một là số lẻ). Đối với tất cả $b$ khác tồn tại ít nhất một bộ ba Pythagore. Nếu $b$ là số lẻ thì chúng ta có thể lấy $r=1$; trong trường hợp này, hóa ra là $a$ và $c$, bị cạn kiệt hoàn toàn bởi một (chúng tôi đã xem xét trường hợp này ngay từ đầu). Nếu $b \neq 2$ chẵn thì chúng ta có thể lấy $r=2$; điều này tạo ra bộ ba với $c-a=2$ (tại sao?).

Số tam giác
Trong bảng clipart, tổng của $n$ số tự nhiên đầu tiên được tính: $1+2+3+\dots+n$. Những tổng như vậy bắt đầu được gọi là số tam giác, vì một tam giác có thể được hình thành từ các điểm tương ứng với các số hạng (Hình 12). Sẽ thuận tiện hơn nếu vẽ một hình trên giấy ca-rô, ví dụ như một cái thang (Hình 13): ở mỗi hàng tiếp theo của thang có nhiều hình vuông hơn hàng trước. Để tạo thành số ô trong thang (bằng số lượng yêu cầu), hãy vẽ một chiếc thang khác tương tự nhưng lật ngược nó lại; sau đó chúng tôi “xoắn” cả hai thang (Hình 14). Các răng của cầu thang được nối với nhau và bạn được một hình chữ nhật, chiều dài một cạnh là $n$, và cạnh kia là $n+1$. Trong hình chữ nhật như vậy có $n(n+1)$ ô; trên cầu thang -

Hình 14.
một nửa, tức là $\frac{n(n+1)}{2}$
Như vậy,
$$1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}.$$
Bài toán 1. Dùng thang tính tổng của $1+3+5+\dots+(2k+1)$ số lẻ; tổng của $2+4+6+\dots+2k$ số lẻ, tổng của $1+4+7+\dots+3k+1$ số có dạng $3k+1$ (chúng tôi đã tìm được số tiền đầu tiên bằng cách sử dụng gnomons).

bài toán tiếp theo liên quan đến một quan sát thú vị khác của Nicomachus:
Bài toán 2. Đảm bảo rằng gnomon, là hiệu bình phương của các số tam giác liền kề, là một khối lập phương, hơn thế nữa
$$\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2-\left[\frac{(n-1)n}{2}\right]^2=n^3.$$
Từ mối quan hệ này Nikomakh thu được công thức tính tổng các lập phương
$$1^3+2^3+\dots+n^3=\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2.$$
Để chứng minh điều đó, chỉ cần thu thập tất cả các gnomon tương ứng với số tam giác lân cận là đủ.