Viện năng lượng Moscow

45

Viện năng lượng Moscow

Các khoa, chuyên ngành của Học viện Năng lượng Huân chương Lênin Mátxcơva (MPEI) được mô tả trong «Kvant» năm 1978, số 7.

Năm 1978, các ứng viên đăng ký vào MPEI phải tham gia hai kỳ thi toán (viết và nói - ở tất cả các khoa) và vật lý - một kỳ thi (viết ở một số khoa, vấn đáp ở những khoa khác).

Toán học
Bài thi viết

Tùy chọn 1

1. Đơn giản hóa biểu thức
   $$\left( \frac{(x^2-4)^{-2}+(x+2)^{-2}-(x-2)^{-2}}{1-8x} \right)^{-1} - \left( 4 \sqrt[3]{4} \right)^{10} x^3 - 16,$$
   tìm giới hạn của nó tại $x \to \frac{1}{8}$.

2. Giải hệ phương trình
   $$\begin{cases} (3y^2+1) \cdot \log_3 x = 1, \\ x^2y^3+10 = 27. \end{cases}$$

3. Tổng của cấp số nhân vô hạn bằng giá trị lớn nhất $f(x)=3x^3-x-76$ trên khoảng [0; 3]; số hạng đầu tiên của cấp số bằng bình phương mẫu số của nó. Tìm mẫu số của tiến trình.

4. Tìm tất cả các giá trị của $x$ thỏa mãn phương trình
   $$\sin^4 \frac{x}{2} + \sin^4 \left( \frac{x}{2} + \frac{7}{2} \pi \right) = \sin \frac{5}{6} \pi$$
   và nằm trên đoạn $\left[ -\frac{\pi}{2}; 2\pi \right]$.

5. Một mặt phẳng được vẽ qua đỉnh $C_1$ của khối lập phương $ABCD_1B_1C_1D_1$, giao các cạnh $[BC]$ và $[CD]$ và tạo thành một góc $\alpha$ với mặt $ABCD$, và thu được một tam giác đều trong mặt cắt. Tìm diện tích mặt cắt ngang nếu chiều dài cạnh của hình lập phương là $a$ (các trường hợp có thể là khoảng cách).

Tùy chọn 2

1. Rút gọn biểu thức cho $f(x)$, tìm $f'(x)$ nếu
   $$f(x) = \left( \frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x-2}} + \frac{x-2}{\sqrt{x^2-4}-x+2} \right)^{-2} \times \left( \frac{x-1}{2(\sqrt{x}+1)} + 1 \right) \times \frac{2}{\sqrt{x}+1}.$$

2. Tìm miền xác định của hàm
   $$f(x) = \lg \left( \sqrt{8-2+\lg x} - \sqrt[3]{4^2-\lg x} \right).$$

3. Tại mức trừ nào thì hiệu sẽ lớn nhất nếu số bị trừ bằng hai lần bình phương của số bị trừ?

4. Tìm tất cả các giá trị của $x$ thỏa mãn phương trình
   $$(1-\cos 2x) \sin 2x = \sqrt{3} \sin^2 x$$
   và nằm trên đoạn $\left[ -\pi; \frac{\pi}{3} \right]$.

5. Diện tích hình thang chữ nhật $ABCD$ bằng $S$, chiều dài chiều cao $AB$ bằng $h$, độ lớn góc nhọn $ADC$ của hình thang là $\alpha$. Về phía $[CD]$ lấy điểm $E$ sao cho $|CE|=|ED|$. Tìm thể tích của vật thu được khi quay tứ giác $ABED$ quanh đường thẳng $(AB)$.

Vật lý
Bài thi viết

Tùy chọn 1

1. Các nguồn hiện tại. Lực điện động. Kết nối nối tiếp các nguồn EMF. Pin. Định luật Ohm cho mạch kín.

2. Năng lượng của các photon chiếu xạ kim loại lớn gấp ba lần năng lượng phát ra của các electron từ kim loại. Động năng cực đại của photon phát ra từ kim loại là bao nhiêu phần năng lượng của photon?

3. Hai điện tích giống hệt nhau ở khoảng cách $r_1=1$ m với nhau. Độ lớn của mỗi điện tích là $q=10^{-10}$ Cl. Phải thực hiện bao nhiêu công để đưa các điện tích lại gần nhau đến khoảng cách $r_2=10$ cm?

4. Khi một ranh giới đứng yên vỡ thành hai mảnh bay dọc theo một đường thẳng, năng lượng cơ học $W=1000$ J được giải phóng. Biết rằng khối lượng của mảnh này lớn hơn khối lượng của mảnh kia. Tìm vận tốc của mảnh vỡ. Khối lượng của ranh giới là $m=1$ kg và khối lượng của khí bột nhỏ.

5. Thể tích và nhiệt độ ban đầu của gel nằm dưới pít-tông trong xi-lanh là bao nhiêu nếu khi gel được làm lạnh đến $t=-23^\circ C$, một tải trọng $M=16$ kg nằm trên pít-tông thực hiện công $A=40$ J? Diện tích pít-tông $S=200$ cm², áp suất khí quyển bình thường, khối lượng gel $m=5$ g.

Bài toán thi vấn đáp

1. Một vật có khối lượng $m=20$ kg được kéo với một lực $|F|=120$ N dọc theo một mặt phẳng nằm ngang. Nếu lực này tác dụng một góc $\alpha_1=60^\circ$ so với phương ngang thì vật sẽ chuyển động đều. Vật sẽ chuyển động với gia tốc bằng bao nhiêu nếu cùng một lực tác dụng một góc $\alpha_2=30^\circ$ so với đường chân trời?

2. Một bình hình trụ dài $l=1$ m được chia thành hai phần bằng một piston chuyển động được. Vị trí cân bằng của pít-tông sẽ như thế nào nếu có một khối lượng oxy nhất định ở một phần của bình và cùng một khối lượng hydro ở phần kia?