Sự ngu ngốc và thiên tài

12

Sự ngu ngốc và thiên tài

Bất cứ ai làm toán - giải bài toán, chứng minh các định lý hoặc hình thành các khái niệm mới - có lẽ đã hơn một lần sinh ra từ sự ngu ngốc. Tôi nghĩ đi nghĩ lại vấn đề - Tôi không giải quyết được, nhưng tôi phát hiện ra lời giải - Tôi nghĩ: thật là ngu ngốc! Làm thế nào tôi đã không báo cáo? Và rồi tôi nghĩ đi nghĩ lại - tôi đã quyết định và tôi vui mừng, nhưng đôi khi bạn vẫn nghĩ: thật ngu ngốc! Làm thế nào tôi không nói với bạn sớm hơn?

Các nhà toán học có:
bạn nghĩ, bạn nghĩ về định lý, đôi khi trong một thời gian dài, đôi khi không mất một hoặc hai năm, bạn tìm kiếm bằng chứng theo cách này, từ đầu này và từ đầu kia, nhưng nó không xuất hiện, nhưng nó đã xuất hiện - bạn ngạc nhiên: bạn là một kẻ ngốc! Làm thế nào tôi không nói với bạn sớm hơn? vì về bản chất nó khá đơn giản. Và thậm chí không cần phải nói về các khái niệm mới: bạn giải quyết một số vấn đề, nhưng bạn không nghĩ đến việc nhìn chúng từ một quan điểm tổng quát hơn hoặc từ một khía cạnh khác, có thể nói là; Vì vậy, họ không xây dựng các khái niệm chung để làm rõ phạm vi vấn đề. Và sau đó, nếu - hạnh phúc như vậy! - nói, rồi bạn ngạc nhiên: làm sao điều này không xảy ra với bạn sớm hơn?
Chà, nếu ai đó ngu ngốc nói với tôi, thì dù tôi có nghe khoa học sớm hơn thế nào đi chăng nữa, thì điều này cũng khiến tôi phải suy nghĩ: tại sao tôi, một kẻ ngu ngốc, lại không tự mình nghĩ ra điều đó!

Ponski lời giải không chuẩn bài toán, giống như chứng minh của định lý, thường bao gồm thực tế là một lời giải xuất hiện trong đầu hoặc bằng chứng không chính xác! rồi một câu khác: “ý tưởng tuyệt vời!” - sai! lần thử thứ ba - sai! một cú ném khác vào bài toán là trượt… và nếu bài toán hoặc định lý khó, thì điều này có thể kéo dài rất lâu.

Tôi nhớ tôi đã đề nghị *) Joseph Liberman chứng minh một định lý; Tôi đã có một giả thuyết hay. Lúc đó anh ấy còn là sinh viên - anh ấy là một chàng trai tài năng! - và trở thành một nhà hình học lớn, nếu không phải vì chiến tranh: ông mất vào tháng 8 năm 1941, và vào tháng 7, trong bộ quân phục sĩ quan hải quân, ông bảo vệ luận án của mình - khi đang học năm thứ hai cao học - đó là tài năng của ông. Vì vậy, tôi đề nghị anh ấy chứng minh định lý. Chúng tôi gặp nhau sau một thời gian, anh ấy nói: anh ấy đã chứng minh điều đó và kể. Và tôi hát với anh ấy: tại sao anh lại nói như vậy vào thời điểm này? Lỗi - Joseph bỏ đi. Chúng tôi gặp lại nhau - anh đã sửa chữa lỗi lầm, nhưng rồi lại mắc thêm lỗi lầm. Thế là tôi đã lái nó được gần một năm. Nhưng sau đó anh ấy cũng học cấu trúc liên kết và chứng minh không chỉ định lý của tôi mà còn chứng minh một định lý mạnh hơn mà anh ấy đã tự mình xây dựng.

Những câu chuyện như vậy nên có ý nghĩa nhất. Ví dụ, vào năm 1937 tôi đã nghĩ ra một định lý, một định lý rất hay và chứng minh nó bằng một số mệnh đề bổ sung. Đương nhiên, câu hỏi đặt ra là phải chứng minh điều đó mà không có những đề xuất này. Câu hỏi vẫn còn đó - 45 năm sau. Tôi đã cố gắng rất nhiều để chứng minh điều đó và những người khác đã cố gắng rất nhiều nhưng không thành công.

Và trong mọi ngành khoa học cũng vậy. Đôi khi một nhà ngữ văn làm việc để giải mã và diễn giải một văn bản - theo cách này và cách kia…
Và rồi, khi anh ấy nói với tôi, có lẽ anh ấy cũng ngạc nhiên, giống như những nhà toán học chúng tôi: thật là ngu ngốc! Tại sao tôi không nói với bạn điều này sớm hơn? nó rất dễ thấy!

Nói một cách dễ hiểu, ai đã từng suy nghĩ, cân nhắc, tìm tòi sẽ biết con người có thể ngu ngốc và kém thông minh đến mức nào. Với sự hòa đồng của mình

*) Tác giả là nhà hình học lỗi lạc của Liên Xô A. D. Aleksadrov, viện sĩ Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô (ghi chú của biên tập viên)

14

Có thể thấy trực tiếp điều mà tiên đề song song không đáp ứng trong mô hình này: trong Hình 2, qua điểm C, không nằm trên “đường thẳng” (tức là trên dây cung) AB, đi qua vô số “đường thẳng” (dây cung) không cắt nhau (AB).

Pozny, nếu có một mâu thuẫn trong hình học của Lobachevsky, thì chính sự mâu thuẫn này (hay nói đúng hơn là cách dịch của nó thành “ngôn ngữ trong một vòng tròn”) cũng hiện diện trong hình học của Euclid.

Hơn nữa, mọi định lý của hình học Lobachevsky đều mô tả trong mô hình của Klein một số sự kiện nhất định diễn ra bên trong một vòng tròn. Sự thật chính xác, nếu chúng ta không lấy một vòng tròn trừu tượng, mà là một vòng tròn thực và các hợp âm thực và hiểu các định lý như những tuyên bố về những sự vật có thật này, tất nhiên, được thực hiện với độ chính xác có sẵn cho các công trình của chúng ta. Do đó, hình học của Lobachevsky có ý nghĩa thực sự đối với sóng với độ chính xác tương tự mà hình học thường có ý nghĩa khi áp dụng vào vật thể thực.

Lý do là hình học của lobachevsky về hiện tại là nhất quán, cũng giống như hình học của Euclid là nhất quán, và ở mức độ tương tự, có ý nghĩa thực tế được thiết lập bằng thực nghiệm.

Từ Euclid tới lobachevsky

Bản thân Euclid (thế kỷ IV trước Công nguyên) đã chấp nhận các mệnh đề sau như một tiên đề của sự song song (đối với Euclid đó là “định đề thứ năm”): Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng và tạo thành các góc một bên trong tổng nhỏ hơn hai đường thẳng thì nếu cần, hai đường thẳng này sẽ cắt nhau ở phía có các góc nhỏ hơn hai đường thẳng. Chúng ta đưa ra công thức này của Euclid chỉ để có thể tin chắc về độ phức tạp của nó. Các định đề khác đơn giản hơn nhiều và được trình bày ngắn gọn hơn nhiều, bắt đầu từ định đề đầu tiên: Qua hai điểm bất kỳ có thể vẽ được một đường thẳng.

Đương nhiên, chúng ta nảy sinh những nỗ lực nhằm giải phóng chúng ta khỏi tiên đề thứ năm phức tạp, rút ​​ra nó từ những tiền đề cơ bản khác của hình học. Tôi nghĩ rằng chính Euclid đã thực hiện những nỗ lực như vậy và trong mọi trường hợp, đã có những nỗ lực như vậy vào thời của ông ấy. Có một đề cập được biết đến giữa các tác giả Ả Rập về tác phẩm của Archimedes (thế kỷ thứ 3 trước Công nguyên) không được viết trước chúng ta, “Trên các đường song song”, trong đó, có lẽ, định đề thứ năm được suy ra từ một số tiền đề đơn giản hơn.

15

Nỗ lực chứng minh người nộp đơn thứ năm đã tiếp tục kể từ đó trong 2000 năm. Chúng đã được thực hiện bởi nhiều nhà khoa học. Đây là danh sách không đầy đủ: Người Hy Lạp Ptolemy (thế kỷ thứ 2 sau Công Nguyên, cùng Ptolemy, “có hệ thống”) và Proclus (thế kỷ thứ 5), Arabal-Khaysam (thế kỷ 10), Ba Tư (hoặc Tajik) Omar Khayyam (thế kỷ 11 - đầu thế kỷ 12, cùng Khayyam, người được biết đến với cái tên Great Pozt), Azerbaijani-Tusi (thế kỷ 13), Clavius-Chlusel người Đức (1514; dữ liệu sau đây) hoạt động) ial Cataldi (1603), Borrelli (1658) và Vitale (1680), Valisse tiếng Anh (1663), Saccheri tiếng Ý (1733), Lambert tiếng Đức (1766), Bertrand tiếng Pháp (1778) và Legendre (1794, 1823), Guryev tiếng Nga (1798). Mọi nỗ lực của họ đều dẫn đến thực tế là người nộp đơn thứ năm đã bị loại khỏi một số vị trí khác. Đồng thời, họ không thay thế nhiều như vậy vì tin rằng họ đã thành công trong việc chứng minh. Những người khác, sâu sắc và phê phán hơn, đã trình bày rõ ràng lập trường của người nộp đơn thứ năm, chẳng hạn như Omar Khayyam đã làm.

Sự căng thẳng của chứng minh Ponk với sự phát triển nhanh chóng của toán học trong thế kỷ 17 và 18. tăng.

Các điều kiện quan trọng đã được đưa ra bởi nhà sư người Ý, giáo viên toán và ngữ pháp Girolamo Saccheri, người đã nỗ lực chứng minh người nộp đơn thứ năm xuất hiện vào năm 1733 - năm ông qua đời. Nó được gọi là “Euclid, xóa sạch mọi vết bẩn, hay một nỗ lực hình học nhằm thiết lập các nguyên tắc đầu tiên của mọi hình học.” Bắt đầu từ công trình của những người đi trước, Saccheri cố gắng chứng minh mệnh đề thứ năm bằng phản chứng - sau khi chấp nhận một giả định tương đương với sự phủ định của mệnh đề thứ năm, ông suy ra các hệ quả từ nó, cố gắng đi đến một mâu thuẫn. Nhưng vì sự phủ định của người nộp đơn thứ năm là tiên đề của Lobachevsky, nên những kết luận mà Saccheri nhận được không hơn không kém các lý thuyết hình học của Lobachevsky. Nói cách khác, Saccheri đã phát triển một hình học mới mà không hiểu mình đang làm gì.

Anh ta không đi đến mâu thuẫn, nhưng vẫn kết luận rằng anh ta có thể chứng minh mục thứ năm, mặc dù rõ ràng là anh ta không liên quan đến vấn đề này. Anh ta dường như đã thuyết phục bản thân khi viết về giả thuyết tương đương với việc phủ nhận sự xuất hiện thứ năm, rằng anh ta đã “rút ra tận gốc rễ giả thuyết có hại này”.

Trong số khá nhiều (55) xuất hiện vào thế kỷ 18. Hoạt động dựa trên lý thuyết về sự song song, “Lý thuyết về sự song song” được viết vào năm 1766 của I. G. Lamberti, một nhà toán học, vật lý học và thiên văn học người Đức, đặc biệt nổi bật. Tiến hành chứng minh luận điểm thứ năm bằng phản chứng, Lamberti rút ra nhiều hệ quả từ sự phủ định của nó. Có thể nói, ông đã nghiên cứu phần lớn những kiến ​​thức cơ bản về hình học của Lobachevsky. Không có gì mâu thuẫn trong kết luận của ông, và ông không nghĩ mình đã tìm ra nó, như hầu hết những người tiền nhiệm của ông đã làm. Lamberti thậm chí còn bày tỏ ý kiến ​​rằng ông “gần như phải kết luận” rằng giả thuyết mà ông đang bác bỏ “xảy ra trên một phạm vi tối thiểu nào đó”. Nhưng ông vẫn tin tưởng rằng hình học dựa trên sự phủ định của lần đến thứ năm là không thể. Tuy nhiên, công việc của ông không cung cấp bằng chứng cho niềm tin này. Vì vậy, phải cho rằng ông vẫn chưa hài lòng và không công bố. Nó chỉ được xuất bản vào năm 1786 - 9 năm sau khi ông qua đời và 20 năm sau khi nó được viết. Nói chung, Lamberti đã tiến rất gần tới việc khám phá ra một hình học mới, nhưng đã không thành công.

Các nhà toán học người Đức Schweickart (1818) và Taurinus (1825) đã tiến gần đến việc hiểu được khả năng tồn tại của hình học phi Euclide, nhưng họ vẫn chưa bày tỏ ý tưởng rõ ràng rằng lý thuyết của họ sẽ hợp pháp về mặt phương pháp học, giống như hình học Euclide.

Gauss, theo lời khai của chính ông, đã nghiên cứu lý thuyết về sự tương tự từ năm 1792 và, như có thể thấy từ thư từ của ông, dần dần đi đến niềm tin rằng bằng chứng về lần xuất hiện thứ năm là không thể. Vì vậy, vào năm 1817, trong một lá thư gửi Ol-

16

Ông viết cho Bers: “Tôi ngày càng tin chắc rằng sự cần thiết của hình học của chúng ta không thể được chứng minh, ít nhất là bởi lý trí con người và lý trí con người.” Vì anh ấy viết “Tôi ngày càng đến nhiều hơn”, điều đó có nghĩa là anh ấy vẫn chưa đến đích hoàn toàn. Ông tiếp tục: “Có lẽ ở một kiếp khác, chúng ta sẽ có những quan điểm khác về bản chất của không gian mà chúng ta hiện không thể tiếp cận được. Cho đến lúc đó, hình học phải được đặt không cùng hàng với đối số, vốn tồn tại thuần túy tiên nghiệm, mà đúng hơn là với cơ học…” Vào thời điểm đó, ông đã phát triển xa hình học phi Euclide, nhưng chỉ đến năm 1824, trong một lá thư gửi Taurinus, ông mới viết chắc chắn rằng hình học phi Euclide, “trong đó tổng các góc của một tam giác nhỏ hơn hơn 180°, là hoàn toàn nhất quán” và rằng anh ấy “đã phát triển nó cho chính mình một cách hoàn toàn thỏa đáng”. Tuy nhiên, chỉ đến năm 1831, ông mới đảm nhận việc trình bày, ít nhất là ngắn gọn, những kết luận của mình, nhưng trong suốt cuộc đời mình, ông chưa bao giờ công bố bất cứ điều gì về hình học phi Euclide. Năm 1829, trong một bức thư gửi Bessel, ông viết: “Tôi sợ khóc nếu bày tỏ quan điểm của mình…”). Anh ta rất giỏi phá hoại quyền lực khoa học của mình.

Nhưng khi Gauss viết tất cả những điều này, người ta đã phát hiện ra một người không chỉ đã phát triển hoàn toàn thỏa đáng hình học, phủ định định đề thứ năm, và không chỉ tin chắc rằng hình học này là hoàn toàn nhất quán, mà còn không ngại la hét bất cứ điều gì, còn mắc nợ cộng đồng khoa học tất cả. Chính Nikolai Ivanovich Lobachevsky, người đã đi đến kết luận về khả năng tồn tại của hình học phi Euclide vào năm 1824 và trình bày một báo cáo phác thảo các nguyên lý của nó trước Khoa Vật lý và Toán học của Đại học Kazan vào ngày 23 tháng 2 (11), 1826; Ông đã xuất bản nó dưới dạng mở rộng trong tác phẩm “Về các yếu tố của hình học” trên một số số của Bản tin Kazan, một ấn phẩm khoa học của Đại học Kazan, từ tháng 2 năm 1829 đến tháng 8 năm 1830.

Vào năm 1835-38, Lobachevsky đã xuất bản một bài trình bày phát triển hơn về lý thuyết của mình, “Các nguyên tắc hình học mới từ lý thuyết hoàn chỉnh về sự song song,” trong lời tựa mà ông viết:

“Sự lão hóa vô ích kể từ thời Euclid, trong suốt hai nghìn năm, khiến tôi nghi ngờ rằng điều dễ hiểu nhất vẫn không chứa đựng sự thật mà tôi muốn chứng minh và điều đó, giống như các định luật vật lý khác, chỉ có thể được xác minh bằng các thí nghiệm, chẳng hạn như quan sát thiên văn.” Đối với Lobachevsky, câu hỏi về tính đúng đắn của hình học này hay hình học kia sẽ là một câu hỏi về kinh nghiệm; ông coi hình học của mình như một khả năng cho một lý thuyết về các tính chất của không gian thực, tức là các tính chất cấu trúc của các mối quan hệ tương ứng của các vật thể và hiện tượng toán học.

Gần như đồng thời với Lobachevsky - vào năm 1825 - nhà toán học tổng hợp trẻ tuổi Janos Bolyai* đã đến với hình học tương tự. Janos Bolyai trình bày kết luận của mình vào năm 1832 như một phụ lục (Appendix) cho sách giáo khoa hình học của cha ông là Farkas Bolyai. Farkas Bolyai đã gửi sách giáo khoa cho Gauss. Anh ta, sau khi tán thành kết quả của Janos, đồng thời viết rằng anh ta đã biết tất cả những điều này từ lâu. Janos, người hiểu ý nghĩa của những khám phá của mình, đã quyết định rằng Gauss chỉ đơn giản gán chúng cho chính ông. Ông đã ngừng nghiên cứu hình học phi Euclide trong một thời gian dài. Nhưng lobachevsky vẫn tiếp tục phát triển hình học của mình và xuất bản các công trình phác thảo nó cho đến khi ông qua đời.

Không có gì đáng ngạc nhiên khi hình học mới dường như không thể thực hiện được. Quan sát hình 3: rõ ràng đường thẳng CM nếu đi đủ xa sẽ cắt đường thẳng AB. Giả sử hai đường thẳng song song với một điểm cho trước đi qua một điểm là hoàn toàn mâu thuẫn

*) Boeotia, một hình ảnh cao hơn của Hy Lạp cổ đại, được coi là đặc biệt sâu sắc, vì vậy cái tên “Boeotia” là một danh từ chung.

17

sự thể hiện trực quan. Một giả định như vậy có vẻ đơn giản là vô lý. Không thể có hình học phi Euclide! Hơn nữa, cần phải ca ngợi sự dũng cảm trong tư tưởng của Lobachevsky và Bolyai, những người đã quyết định thừa nhận “sự phi lý”. Đúng là sự phi lý từ quan điểm trực quan, nhưng từ quan điểm logic, đó lại là một vấn đề khác. Cho dù giả định về nhiều điểm tương đồng có vẻ vô lý đến mức nào về mặt trực quan thì nó vẫn được chấp nhận về mặt logic. Cần phải có lòng can đảm lớn lao trong tư tưởng để bị thuyết phục một cách sáng tạo về điều này, mặc dù giờ đây khi đã tìm ra một công thức đơn giản của hình học phi Euclide, thì không cần can đảm tư duy nữa - chỉ cần một chút khả năng tư duy trừu tượng là đủ.

Từ thuyết phục đến chứng minh

Vì vậy, Lobachevsky và Bolyai, và Gauss qua thư, đã bày tỏ niềm tin của họ vào giá trị của hình học phi Euclide và đã phát triển nó đến nay. Tuy nhiên, niềm tin này chỉ dựa trên thực tế là không có mâu thuẫn nào trong kết luận thu được. Nhưng người ta sẽ nghĩ rằng những mâu thuẫn vẫn sẽ xuất hiện trong những kết luận tiếp theo. Ý nghĩa thực sự của hình học mới vẫn hoàn toàn chưa rõ ràng. Và dù không được tìm thấy, khám phá vĩ đại này vẫn gây được ảnh hưởng - hình học của Lobachevsky vẫn chỉ là tưởng tượng.

Vào năm 1839-40. hai công trình của Giáo sư F. Minding của Đại học Dorpat (nay là Tartu) xuất hiện, trong đó ông nghiên cứu một số bề mặt đặc biệt - các bề mặt có độ cong âm không đổi. Về cơ bản, những công trình này kết luận rằng hình học trên các bề mặt như vậy không gì khác hơn là hình học của lobachevsky. Nhưng kết luận này không được nêu rõ ràng ở đó. Điều thú vị là hai năm trước, một trong những tác phẩm của Lobachevsky đã được xuất bản trên cùng một tạp chí nơi các tác phẩm của Minding được xuất bản!

Năm 1854, khi đảm nhận vị trí giáo sư tại Đại học Göttingen, B. Riemann, theo thông lệ, đã tham gia một buổi thuyết trình thử.

Bài giảng có tên “Về các giả thuyết làm nền tảng cho hình học”. Nó chứa đựng vô số ý tưởng hiệu quả - từ khái niệm tổng quát về không gian toán học đến dự đoán về cái mà sau này trở thành thuyết tương đối tổng quát. Ngoài ra, bài giảng còn trình bày một lý thuyết tổng quát về một loại không gian nhất định (hiện nay được gọi là Riemannian), bao gồm, như những trường hợp từng phần đơn giản, các không gian Euclide, Lobachevsky và cái gọi là không gian hình cầu. Riemann đưa ra một định nghĩa mang tính phân tích thuần túy về những không gian này; về cơ bản điều này đã làm rõ rằng hình học của Lobachevsky cũng nhất quán như phân tích của ông.

Nhưng anh chàng này không hiểu, không để ý. Bài giảng của Riemann vẫn bị hiểu lầm. Và ngay khi nghe cô nói, Gauss 77 tuổi đã rời đi, bằng chứng là, sau bài giảng trong nhiệm vụ sâu sắc. Bài giảng của Riemann không được xuất bản ngay lập tức; nó chỉ được xuất bản vào năm 1868, 2 năm sau khi ông qua đời. Và sau đó nó ngay lập tức gây ấn tượng mạnh và gây ra sự phát triển nhanh chóng của độ cong âm liên tục trên bề mặt.

Tuy nhiên, kết luận của Beltrami mang tính phân tích, khác xa với các yếu tố hình học, của Euclid. Chỉ đến năm 1871, Klein mới chú ý đến mô hình đường tròn đã được thảo luận ở đầu bài viết. Sau đó, Poincaré tìm ra một mô hình thú vị khác liên quan đến số phức (xem «Kvant», 1976, số 3, trang 7).

Vì vậy, 40 năm sau khi công trình đầu tiên của Lobachevsky và Bolyai được xuất bản, niềm tin của họ đã được chứng minh và hình học của họ đã nhận được sự công nhận rộng rãi.

(Kết thúc ở số tiếp theo)