Bài toán M771—M775; F783—F787

26

Bài toán

M771 — M775; F783 — F787

M771. Cho tam giác ABC vẽ đường phân giác AK. Biết rằng tâm của các đường tròn nội tiếp tam giác ABK và ngoại tiếp tam giác ABC trùng nhau. Tìm các góc của tam giác ABC.

M772. Xưởng có năm loại máy khác nhau. Đào tạo một công nhân vận hành một máy tốn 1.000 rúp. Với mỗi chi phí tối thiểu, liệu 8 công nhân có thể được đào tạo sao cho khi không có 3 công nhân đó thì tất cả các máy đều có thể sử dụng đồng thời được không? Mỗi công nhân chỉ có thể làm việc trên một máy tại một thời điểm.

M773. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh AB, BC, AC lần lượt tại các điểm M, N và P. Người ta biết rằng
$$\overrightarrow{AN} + \overrightarrow{BP} + \overrightarrow{CM} = \overrightarrow{0}.$$
Chứng minh tam giác ABC đều.
P. Gusyatnikov, S. Reznitsenko

M774. Hàm $f(x)$ được xác định trên khoảng [0; 1], có phải như vậy không
$$f(0) = f(1) = 0$$
Và
$$f\left(\frac{x+y}{2}\right) \leq f(x) + f(y)$$
dành cho tất cả mọi người $x, y \in [0; 1]$. Chứng minh rằng:
a) $f(x) \geq 0$ cho tất cả $x \in [0, 1]$;
b) $f(x)$ có vô số số 0 trên khoảng [0; 1];
c) nếu tồn tại một số $A \geq 0$ sao cho với mọi $x; \left[0; \frac{1}{2}\right]$ thì bất đẳng thức đúng
$$f(x) \leq A$$, thì $f(x) \leq A$ cho mỗi $x \in [0; 1] \in \Gamma^*$ nếu hàm $f(x)$ liên tục tại ít nhất một điểm $x_0$ của đoạn [0; 1], sau đó $f(x) = 0$ cho tất cả $x \in [0; 1]$;
d) $^*$ tồn tại hàm số $f(x)$ thỏa mãn

27

Các điều kiện (1), (2) này không bằng tác dụng dòng điện bằng 0.

P. Gusyatnikov

M775. Với những số tự nhiên nào $n \geqslant 3$ thì có các số tự nhiên phân biệt $a_1, a_2, \dots, a_n$ sao cho $1 \leqslant a_k \leqslant n+1$ với mọi $k=1, 2, \dots, n$ và tất cả các số $n$ $|a_1-a_2|, |a_2-a_3|, \dots, |a_{n-1}-a_n|, |a_n-a_1|$ đều phân biệt?

A. Anjan

F783. Một thanh không trọng lượng có chiều dài $3l$ nằm ngang với các vật nặng có khối lượng $m_1$ và $m_2$ gắn vào nó được giữ ở vị trí cân bằng bằng hai sợi dọc (Hình 1). Xác định lực căng của ren trái tại thời điểm đầu tiên nếu ren phải được ren lại.

S. Krotov

F784. Một lực không đổi $F$ bắt đầu tác dụng lên một vật đang chuyển động với tốc độ không đổi $v$. Sau thời gian $t$ tốc độ của vật trở nên bằng $v/2$. Trong khoảng thời gian tương tự tiếp theo, tốc độ giảm thêm một nửa. Xác định vận tốc của vật sau khoảng thời gian $3t$ tính từ lúc bắt đầu tác dụng lực $F$.

K. Serdeev

F785. Một cục nước đá nổi trong cốc nước. Trên mặt nước có một lớp dầu. Mực chất lỏng trong cốc sẽ thay đổi như thế nào khi nước đá tan? Mặt phân cách giữa nước và dầu sẽ dịch chuyển về đâu?

S. Kazakov

F786*. Trong chất khí đơn nguyên tử trung tính, lực hút tác dụng giữa các phân tử. Xét rằng thế năng của tương tác phân tử tỷ lệ thuận với mật độ của khí, tức là $U = \alpha \frac{N}{V}$, trong đó $N$ là số lượng phân tử khí, $V$ là thể tích mà khí chiếm giữ. $\alpha$ - hệ số tỷ lệ ($\alpha < 0$), xác định sự chênh lệch nhiệt dung mol của khí ở áp suất không đổi ($c_p$) và ở thể tích không đổi ($c_V$).

V. Tugushchev

F787. Điện áp nguồn thay đổi tuyến tính theo thời gian. Tại thời điểm ban đầu hướng bằng 0. Sử dụng phím $K$, nguồn có thể được nối với mạch như hình 2. Cần đóng phím tại thời điểm nào để cường độ dòng điện trong mạch không đổi? Điện trở $R$, điện dung $C$.

A. Zilberman