Lừa dối hay ảo tưởng?

24

Lừa dối hay ảo tưởng?

(Một cách tính số π)

Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học
A.N.ZAIDEL

Làm thế nào để xác định giá trị số thực nghiệm của số π? Có lẽ cách dễ nhất là lấy một sợi chỉ, dùng nó để đo chiều dài của một hình tròn có đường kính đã biết và chia kết quả cho chiều dài của đường kính. Hóa ra là bạn có thể tìm thấy số π một cách gần đúng bằng cách sử dụng phương trình… và lý thuyết xác suất. Phương pháp này được phát minh bởi nhà tự nhiên học người Pháp Jah. L. L. Buffon (1707-1788)*. Sau đó, thí nghiệm của Buffon được lặp lại nhiều lần để kiểm tra một số kết luận của lý thuyết xác suất (hay nói đúng hơn là khả năng ứng dụng của chúng trong thực tế). Điều này đã không xảy ra nếu không có một sự việc gây tò mò mà chúng ta sẽ thảo luận sau. Nhưng trước tiên, hãy cho bạn biết nó là gì

kinh nghiệm của Buffon

Để thực hiện nó, bạn cần một chút: một bề mặt ngang phẳng với các đường thẳng song song cách đều nhau và các đường được đánh dấu trên đó. Khoảng cách giữa các đường thẳng h và độ dài chiếu sáng l phải thỏa mãn sự tương ứng l<h (Hình 1). Chúng tôi sẽ ném illu ngẫu nhiên lên trên một bề mặt như vậy, mỗi lần cho nó xoay nhẹ để illu rơi tự do từ độ cao

*) Xem thêm về điều này trong ghi chú của A. Vilenkin “Số “pi” và lý thuyết xác suất” (Kvant, 1977, số 5).

Hình 1.

25

việc thực hiện một hoặc một sự kiện khác trong một chuỗi thử nghiệm khá dài. Do đó, có thể thu được giá trị xác suất gần đúng bằng thực nghiệm bằng cách tính tần số tương ứng. (Biểu thức toán học chính xác về xu hướng tần số quan sát được trong một thí nghiệm đến một giá trị giới hạn (xác suất) nào đó được gọi là định luật số lớn, được Jacob Bernoulli chứng minh ở dạng đơn giản nhất khoảng ba trăm năm trước.) Mặt khác, các phương pháp của lý thuyết xác suất trong nhiều trường hợp cho phép sử dụng các điều kiện thực nghiệm để tính xác suất về mặt lý thuyết.

Ở cuối bài viết, chúng tôi sẽ hướng dẫn cách Biophone giải bài toán về việc tìm xác suất $p$ để trò chơi vượt qua một trong các đường. Đáp số hóa ra có thể thay thế được:

$$p = \frac{2}{\pi} \frac{l}{h}!$$

Và vì tần số giao nhau $m/n$ gần bằng xác suất này nên để tính gần đúng $n$ chúng ta có công thức

$$\pi \approx \frac{2l}{h} \frac{n}{m}.$$

(1)

Các thí nghiệm đã cho thấy điều gì?

Độ chính xác của phép tính gần đúng trong công thức (1) sẽ cao hơn, $n$ càng lớn, và thoạt nhìn có vẻ như bằng cách ném kim nhiều lần, bạn có thể thu được giá trị góc chính xác $n$. Hãy thử thí nghiệm này và bạn sẽ dễ dàng thấy rằng việc thu được giá trị 3,1 cho $n$ bằng phương pháp này là khá dễ dàng. Việc lấy được vị trí thập phân tiếp theo một cách đáng tin cậy - 4 - đã khó khăn hơn nhiều.

Trong thế kỷ trước, khi lý thuyết xác suất thường được coi là một môn khoa học bán nối tiếp, những thí nghiệm như vậy càng có ý nghĩa và có trọng lượng hơn được nhiều nhà khoa học thực hiện cẩn thận. Dưới đây là bảng lấy từ khóa học về lý thuyết xác suất của B.V. Gnedenko.

Cột đầu tiên ghi tên của các nhà khoa học đã ném chiếc kim, cột thứ hai - năm thực hiện thí nghiệm, cột thứ ba - số lần ném mà từ đó $n$ được xác định và cột cuối cùng - cột

giá trị thu được sau thí nghiệm. Hàng dưới cùng của bảng cho một giá trị nhất định là $n$ có tám ký tự.

Chúng ta hãy so sánh các giá trị thử nghiệm với con số này. Các số ở hai dòng đầu tiên khác nhau từ $n$ 0,01–0,02. Số của Fox chỉ lớn hơn $n$ 0,0003, một kết quả đáng ngạc nhiên, nhưng số của Lazzarini chỉ sai lệch 0,0000002 so với giá trị thực. Đây đã là một phép lạ thực sự, và phép lạ chỉ xảy ra trong truyện cổ tích.

Những sai lầm không thể tránh khỏi

Chúng ta hãy cố gắng tìm hiểu điều gì khiến chúng ta ngạc nhiên và nói thẳng ra là không tin vào kết quả của trải nghiệm mới nhất. Có một số lý do như vậy. Đầu tiên là lỗi đo lường. Để có được giá trị chính xác của $n$ từ (1), chúng ta cần biết chính xác các đại lượng $h$ và $l$, hay đúng hơn là tỷ lệ của chúng. Chúng tôi chỉ có thể có được dữ liệu này nhờ các phép đo. Và sai số đo lường sẽ góp phần gây ra sai số khi xác định $n$. Hãy đánh giá những lỗi này. Đặt chiều dài kim là 50 mm, khoảng cách giữa các đường bằng nhau. Sử dụng các dụng cụ đo thông thường, chẳng hạn như thước cặp hoặc thước kẻ có nonus, việc thay đổi cả hai độ dài mong muốn là tương đối dễ dàng với độ chính xác 0,1 mm hoặc 0,2%. Chúng tôi thấy rằng đối với bất kỳ độ dài nào chúng tôi cần, khoảng cách 0,1 mm là giới hạn của độ chính xác của phép đo*). Tuy nhiên

*) Trong một số ít thí nghiệm (khoảng 0,1-0,2% tổng số lần ném), khoảng cách từ đầu kim đến đường thẳng sẽ nhỏ hơn 0,1 mm. Trong những trường hợp như vậy, mắt không biết liệu giao lộ có xảy ra hay không. Tình huống này có thể đưa ra sự thật của chính nó, điều này nhỏ so với các lỗi khác.

26

Tuy nhiên, bằng cách sử dụng các hướng dẫn nâng cao hơn, tất cả độ dài có thể được thay đổi với sai số 0,01 mm. Đây đã là một giới hạn thực tế - cực kỳ khó để giảm sai số xuống 0,001 mm trong một thí nghiệm như vậy - sự thay đổi nhiệt độ của kim hoặc bề mặt mà các đường được vẽ lên 1-2 độ sẽ gây ra thay đổi về kích thước khoảng 0,001 mm. Biến dạng của kim khi chạm vào bề mặt, mài mòn các đầu của kim, biến dạng của chính bề mặt - tất cả những nguyên tắc này khiến việc thực hiện một thí nghiệm với mức sai số 0,001 mm là không thực tế. Do đó, ngay cả khi không đưa ra ước tính chi tiết hơn, chúng tôi có thể tự tin nói rằng trong các thí nghiệm được mô tả, số π có thể được xác định với sai số không thay đổi 0,2-0,02%. Nghĩa là, trong các thí nghiệm với một dụng cụ thay đổi đơn giản (chúng thường được thực hiện với chúng), người ta có thể mong đợi giá trị π = 3,141 ± 0,006. Với các thí nghiệm được thực hiện rất cẩn thận, bạn có thể mong đợi kết quả π = 3,1416 ± 0,0006. Và không thể thu được các giá trị π từ những thí nghiệm như vậy với sai số đến chữ số có nghĩa thứ tám, cũng như không thể so sánh trên các cân được thiết kế để cân toa xe lửa - tải trơn là công cụ.

Tất nhiên, với bất kỳ thay đổi nào, bạn nên đánh giá độ chính xác của nó và cộng kết quả với số ký tự tương ứng với nó. Nếu chúng ta nhận được giá trị A = 2,474329 cho mỗi giá trị A do thay đổi và tính toán và độ chính xác của thiết bị thay đổi là 1%, thì chúng ta nên viết A = 2,47, gạch bỏ tất cả các số tiếp theo chỉ phản ánh độ chính xác của thiết bị máy tính của chúng ta (hiện đại, ngay cả những máy tính vi mô đơn giản nhất luôn cho 6-8 chữ số thập phân) chứ không phải kết quả của trải nghiệm thực tế. Viết ra trong những trường hợp như vậy tất cả các dấu hiệu có thể đếm được là một nỗ lực hoàn toàn nhằm đánh lừa bản thân và người khác, phóng đại tính chính xác của trải nghiệm.

Tuy nhiên, không cần phải thay đổi độ chính xác cao chút nào:

Trong kế hoạch, chỉ cần thay đổi độ dài với sai số 0,1 mm là đủ. Lý do là độ chính xác được xác định bởi ngành với những ngành hoàn hảo khác. Bản chất của sự cản trở là “xác suất” - không có khả năng thực hiện đủ số lần ném sao cho phương trình gần đúng (1) được đáp ứng một cách đáng tin cậy với sai số tương đối nhỏ hơn 0,01. Bạn có thể tìm hiểu sự khác biệt ở tốc độ nào |$\frac{m}{n}-p$| giết chết. giữa tần suất của một sự kiện nhất định trong một chuỗi n lần thử và xác suất của nó khi xảy ra một số lần thử. Hóa ra là để tăng độ chính xác của đẳng thức gần đúng $\frac{m}{n} \approx p$ lên N lần, số lần kiểm tra phải tăng lên $N^2$ lần, nói cách khác, sai số trong việc xác định gần đúng xác suất tỷ lệ nghịch với căn bậc hai của số lần kiểm tra. Một phép tính chính xác hơn cho thí nghiệm của Buofon cho thấy rằng đối với $h \approx l$ sai số α của giá trị π, sai số này ít nhiều đáng tin cậy sẽ không vượt quá sau n lần ném kim, có thể được ước tính như sau:

$$\alpha \approx \sqrt{\frac{5}{n}}.$$

Nếu chúng ta yêu cầu α không lớn hơn 0,02 thì từ công thức (2) chúng ta thu được $n \approx 12000$. Trong các thí nghiệm được liệt kê trong bảng (ngoại trừ thí nghiệm của Fox), từ 3000 đến 5000 lần ném đã được thực hiện. Theo (2), α hóa ra lớn hơn một chút, ví dụ, 0,025–0,030. Điều này phù hợp tốt với kết quả của Wolf và Smith. Một ví dụ về sai số tương tự thu được với các sai số về thay đổi chiều dài cỡ 0,1 mm. Do đó, không có lý do gì để thay đổi chúng một cách chính xác hơn, vì lỗi trong mỗi liên kết của bài kiểm tra sẽ không tồn tại - không có ích gì khi thay đổi độ dài của kim với độ chính xác 0,001% nếu lỗi liên quan đến một số lần kiểm tra hạn chế dẫn đến sai số trong kết quả cuối cùng là 0,2%-0,3%. Chọn số lần ném từ 3000 đến 5000

27

khá chính đáng. Tuy nhiên, quá trình kiểm tra sẽ mất khoảng 5 giây (thử ném nhanh hơn). Trong trường hợp này, 10.000 lần ném sẽ mất khoảng 14 giờ, tức là trọn hai ngày làm việc. Nếu chúng ta muốn nhận được kết quả chính xác hơn gấp 10 lần thì theo “định luật 1/√n”, chúng ta cần phải kéo dài hơn 100 lần—200 ngày, một khoảng thời gian đã dài rồi.

Nhưng để có được kết quả của Lazzarini, sai số chỉ là 0,0000002, bạn phải ném kim khoảng 4.000.000 năm! (Tất nhiên, với độ chính xác hoàn toàn phi thực tế tương ứng của việc đo tất cả các độ dài.) Vì vậy, bắt đầu thí nghiệm của mình vào năm 1901 và dừng lại cho đến giữa ngày, Lazzarini hẳn đã khác xa với kết quả mà ông công bố vào ngày thí nghiệm bắt đầu.

Hãy để chúng tôi chỉ ra một nguồn sai sót khác trong các thí nghiệm thuộc loại này. Để xác suất giao nhau thực sự bằng giá trị lý thuyết $p=2l/\pi h$, tất cả các vị trí của kim rơi so với các đường trên bề mặt phải hoàn toàn bằng nhau, nghĩa là không có vị trí nào xảy ra thường xuyên hơn các vị trí khác (chúng tôi sẽ đưa ra công thức chính xác hơn về yêu cầu này khi tính toán $p$). Có mọi lý do để tin rằng điều này khó đạt được trong một thử nghiệm thực tế.

Liên quan đến tất cả những gì đã nói, cần lưu ý rằng số lượng ký tự đưa ra trong bảng lớn một cách bất hợp lý. Cần phải để lại 3,16 ở hai dòng đầu tiên của cột bốn và 3,14 ở cột thứ ba.

Chưa hết:
lừa dối hay ảo tưởng?

Làm thế nào người ta có thể giải thích kết quả mà Lazzarini thu được? Thật khó để tưởng tượng một nỗ lực để tạo ra sự lừa dối. Khi Lazzarini ném chiếc kim, định luật số lớn đã được biết đến rộng rãi và bất kỳ nhà toán học nào cũng có thể thực hiện được các phép tính đưa ra ở đây. Có lẽ chưa có nhà khoa học nào coi trọng kết quả này, mặc dù nó đã được công bố nhiều lần. Khi bắt đầu thử nghiệm, Lazzarini phải biết trước những gì có thể mong đợi từ chúng. Và, ngay cả khi nhận được con số mà anh ta đưa ra nhờ các bài tập tranh luận, lẽ ra anh ta không nên công bố một kết quả tuyệt vời như vậy nếu không xác nhận nó bằng một loạt thí nghiệm lặp đi lặp lại. Đối với tôi, có vẻ như anh ấy thực sự muốn có được thứ gì đó mà trước anh ấy không ai có thể có được. Danh sách những ham muốn mạnh mẽ như vậy đôi khi làm say mê nhà nghiên cứu và khiến anh ta nhầm lẫn những gì mình muốn là thực tế.

Tất nhiên, người ta có thể giả định rằng, khi ném chiếc kim, anh ta đã tính l sau mỗi lần thử và dừng thí nghiệm sau 3408 lần ném chính xác vì chỉ sau một số lần thử như vậy anh ta đã vô tình nhận được con số mình đưa ra. Tất nhiên, ngay cả trong số 10.000 lần tung, rất khó có thể đạt được ít nhất một lần giá trị với độ chính xác $2 \cdot 10^{-7}$ (xác suất gần đúng này là $10^{-3}$), nhưng sự kiện vẫn có thể xảy ra với xác suất như vậy. Nếu sự việc thực sự là như vậy thì Lazzarini không lừa dối người khác mà lừa dối chính mình. Thật không may, điều này cũng xảy ra.

Chúng tôi sẽ hài lòng rằng, mặc dù kết quả thí nghiệm của Lazzarini không xác nhận tính đúng đắn của các kết luận của lý thuyết xác suất (và thậm chí còn xung đột với nó, nếu nó luôn được chấp nhận), nhưng ông đã cho chúng tôi một lý do khác để thảo luận về cách các bên nên xử lý kết quả thu được trong thí nghiệm và xử lý thống kê của họ.

Lời giải bài toán Buffon

Chúng ta vẫn phải giải thích cách tính xác suất giao nhau của một cây kim và một trong các đường thẳng song song trong thí nghiệm của Buffon. Chúng ta hãy biểu thị khoảng cách từ tâm kim đến đường thẳng gần nhất bằng $a$ ($0 \leq a \leq h/2$), và góc giữa kim và đường thẳng là $\varphi$ ($0 \leq \varphi \leq \pi/2$). Khi đó, như được minh họa trong Hình 1, $a$, các điều kiện để giao điểm của kim và đường thẳng có thể là