Bài toán

33

Thoạt nhìn, hiện tượng bí ẩn này được giải thích là do tính chất điện của đầu nhọn. Vì các điện tích cùng dấu đẩy nhau nên chúng chảy ra khỏi dây dẫn, có xu hướng di chuyển ra xa dây dẫn càng xa càng tốt và tích tụ với số lượng lớn ở cuối đầu. Những điện tích này thu hút các điện tích trái dấu từ không khí, chúng “ngồi” trên các bộ phận khác nhau lơ lửng trong không khí. Sau khi chạm vào đầu, các hạt ngay lập tức được nạp lại và mang điện tích cùng dấu như trên dây dẫn, bay ra khỏi đầu. Dòng chảy của các bộ phận này tạo ra gió sấm sét.

Đặc tính được mô tả của đầu nhọn có thể được sử dụng để chế tạo một thiết bị điện tương tự của bánh xe Segner, loại bánh xe này đã được biết đến từ thời cổ đại (quay với sự trợ giúp của phản lực, nước chảy ra từ vòi của nó). Lấy nút chai, khoét rỗng phần giữa của nó sao cho một ống kim loại vừa với đó. Bên ngoài, chèn một số thanh kim loại uốn cong theo hình móc, đặt chúng đối xứng. Bây giờ hãy lắp “bánh xe” này vào một trục thẳng đứng bằng kim loại nối với dây dẫn của máy điện di. Khi tay cầm của máy quay, các điện tích sẽ lắng đọng trên các đầu và, như trong thí nghiệm trước, một dòng hạt tích điện sẽ được nhận từ chúng. Những dòng chảy này làm cho “bánh xe” quay.

Hoạt động của cột thu lôi dựa trên cùng một đặc tính. Người phát minh ra nó, Benjamin Franklin, đã chứng minh một cách hết sức mù mờ nguyên lý hoạt động của cột thu lôi như sau. Được biết, các đám mây giông luôn có chuyển động rất không đồng đều, một số nằm ở những khoảng cách khác nhau so với mặt đất, một số có khi bay rất thấp so với mặt đất. Franklin tin rằng những “mắt xích” đi xuống như vậy của đám mây giông là những bậc thang che đậy sự lựa chọn đường đi của tia sét. Để chứng minh điều này, ông đã treo vài tờ giấy nam việt quất lên dây dẫn của máy điện di, gắn chúng lại với nhau. Khi tác dụng một điện tích lên chúng, các cây gậy sẽ bị kéo về phía mặt đất. Múc tới đáy kim nam việt quất, Franklin buộc nó phải nhô lên kim trước đó và làm như vậy cho đến khi toàn bộ tờ giấy quay trở lại người soát vé, như thể anh ta chưa hề bị tích điện.

Hãy cố gắng làm và giải thích kinh nghiệm này.

Vấn đề

Hình vẽ cho thấy đầu của ba ốc vít (nhìn từ trên xuống). Một trong những đầu này có hình trụ, đầu còn lại có hình nón cụt và đầu thứ ba có hình bán cầu. Cái nào?

35

($I_{\text{рез} \min} = 0$). Sự phân phối lại năng lượng trong không gian này là một dấu hiệu đặc trưng của sự giao thoa.

Hiện tượng giao thoa dễ dàng được chứng minh đối với sóng nước hoặc sóng vô tuyến. Việc quan sát các kiểu giao thoa trong quang học không phải là điều dễ dàng, vì các nguồn sáng thông thường (không phải tia laser) phát ra các dao động có pha thay đổi nhanh chóng và ngẫu nhiên và do đó bị lỏng lẻo. Tuy nhiên, nếu ánh sáng từ một nguồn được chia thành hai chùm và sau đó các chùm này được xếp chồng lên nhau thì có thể thu được hình ảnh giao thoa khá rõ ràng $^*$).

Lưu ý rằng để mô tả chính xác hiện tượng giao thoa, sai số khi xác định độ lệch pha dao động phải nhỏ hơn đáng kể so với $\pi$ (nếu không sẽ không thể phân biệt được mức tối đa và mức tối thiểu). Trong trường hợp này, sai số trong việc thay đổi độ chênh lệch đường truyền sóng phải nhỏ hơn nhiều so với bước sóng $\lambda$ (đối với sóng ánh sáng, sai số này phải nhỏ hơn nhiều so với 0,1 μm).

Bây giờ chúng ta hãy xem xét một vài bài toán cụ thể. Hầu hết chúng đều được lấy từ bài kiểm tra viết vật lý hàng ngày tại Viện Vật lý và Công nghệ Moscow.

Bài toán 1. Một sóng điện từ phẳng có tần số $v$, được tạo ra bởi ăng-ten còi, rơi vuông góc với một tấm phản xạ màn hình phẳng. Xác định biên độ của sóng phản xạ nếu thay đổi hướng của điện trường khi di chuyển giữa màn hình và loa, cố định bởi biên độ trường lớn nhất $A_1$ và nhỏ nhất $A_2$. Đồng thời xác định khoảng cách giữa hai cực đại trường liền kề.

Trong không gian giữa loa và màn phản xạ, xảy ra sự chồng chất của sóng tới và sóng phản xạ. Tại các điểm cực đại, các pha dao động do các sóng này gây ra trùng nhau và do đó số lần xuất hiện với biên độ

$$A_1 = A_{\text{пад}} + A_{\text{отр}}.$$

Tại các điểm cực tiểu, sóng tới và sóng phản xạ ngược pha và tổng biên độ dao động bằng

$$A_2 = A_{\text{пад}} - A_{\text{отр}}.$$

Từ hai đẳng thức này ta tìm được

$$A_{\text{отр}} = \left( A_1 - A_2 \right) / 2.$$

Đặt các dao động tại điểm có tọa độ $x$ do sóng tới gây ra được mô tả bằng biểu thức

$$a_{\text{пад}} = A_{\text{пад}} \cos \omega \left( t - \frac{x}{c} \right) = A_{\text{пад}} \cos \left( \omega t - \frac{2\pi}{\lambda} x \right).$$

Nếu khoảng cách từ loa đến màn là $l$ thì sóng phản xạ truyền đi một quãng đường $2l - x$ đến điểm này và dao động do sóng phản xạ gây ra có dạng

$$a_{\text{отр}} = A_{\text{отр}} \cos \omega \left( t - \frac{2l - x}{c} \right) = A_{\text{отр}} \cos \left( \omega t + \frac{2\pi}{\lambda} x - \frac{4\pi l}{\lambda} \right).$$

(Trên thực tế, khi sóng bị phản xạ, pha của dao động có thể thay đổi ngược lại, nhưng điều này không thể ảnh hưởng đến lý luận sâu hơn của chúng ta.)

Cho hai cực đại liền kề được quan sát tại các điểm có tọa độ $x_1$ và $x_2$. Độ lệch pha giữa dao động gây ra bởi sóng tới và sóng phản xạ tại các điểm này lần lượt bằng nhau

$$\left( \Delta \varphi \right)_1 = \left( \omega t - \frac{2\pi}{\lambda} x_1 \right) - \left( \omega t + \frac{2\pi}{\lambda} x_1 - \frac{4\pi}{\lambda} l \right) = - \frac{4\pi}{\lambda} x_1 + \frac{4\pi}{\lambda} l$$

Và

$$\left( \Delta \varphi \right)_2 = - \frac{4\pi}{\lambda} x_2 + \frac{4\pi}{\lambda} l.$$

Trong hai cực đại liền kề, pha của dao động thu được sẽ

36

Rõ ràng, mô hình giao thoa rộng nhất sẽ ở nơi có diện tích giao nhau lớn nhất của các chùm giao thoa. Từ Hình 2 có thể thấy rằng đây sẽ là một khoảng cách

$$L \approx \frac{D}{4 \text{tg} \beta} \approx \frac{D}{4 \beta} \approx \frac{Dn}{4 \alpha} \approx 112.5 \text{ см.}$$

Trong trường hợp này, độ rộng của toàn bộ mẫu giao thoa bằng $b = D/2 = 3 \text{ см.}$

Mỗi tia giao nhau có chiều rộng $d = (D/2) \cos \beta \approx D/2$. Các bề mặt sóng của dầm tạo thành một góc bằng $2\beta$; do đó, sự khác biệt lớn nhất trong đường đi của chùm tia là

$$\Delta l = d \text{tg} 2\beta \approx d \cdot 2\beta.$$

Hiệu đường đi tương ứng với hai cực đại (hoặc cực tiểu) liền kề bằng bước sóng $\lambda$. Vậy số vân giao thoa tạo thành trên màn bằng

$$N = \frac{\Delta l}{\lambda} \approx \frac{2d\beta}{\lambda} \approx \frac{D\alpha}{n\lambda} \approx 800,$$

và chiều rộng của một dải là

$$b_0 = \frac{b}{N} \approx \frac{D/2}{D\alpha/(n\lambda)} \approx \frac{n\lambda}{2\alpha} \approx 37.5 \text{ мкм.}$$

Bài toán 3. Máy thu cảnh vô tuyến theo dõi sự xuất hiện của vệ tinh Trái đất từ ​​phía sau đường chân trời, được đặt trên bờ hồ ở độ cao $H = 3$ m so với mặt nước. Khi vệ tinh bay lên trên đường chân trời, sẽ có sự thay đổi định kỳ về cường độ tín hiệu thu được. Xác định tần số cảnh vô tuyến của vệ tinh nếu quan sát thấy cường độ cực đại, đặc biệt là ở các góc nâng vệ tinh $\alpha_1 = 3^\circ$ và $\alpha_2 = 6^\circ$ phía trên đường chân trời. Mặt hồ có thể coi là một tấm gương phản chiếu hoàn hảo.

Máy thu nhận được các tia phát ra vô tận từ vệ tinh và bị phản xạ từ mặt hồ. Trong Hình 3, đây lần lượt là các tia 1 và 2. Sự khác biệt giữa chúng

$$\Delta l = |AC| - |AB| = \frac{H}{\sin \alpha} - \frac{H}{\sin \alpha} \cos 2\alpha$$