Đại học bang Leningrad được đặt theo tên. A. A. Zhdanova

53

Xưởng của người nộp đơn

Dưới đây là tài liệu được xuất bản từ kỳ thi tuyển sinh đại học năm 1982.

Đại học bang Leningrad
họ. A. A. Zhdanova

Matematika
Bài thi viết
Tùy chọn 1
(Khoa Toán Cơ và Khoa Toán Ứng dụng - Quy trình điều khiển)

1. $a$ hệ phương trình để làm gì
   $$\begin{cases} y = \sin(a + \pi x) + \sin(a - \pi x) \\ 3 \sin a = \frac{1}{1 + y^2} \left( \frac{3}{2} + x + \frac{1}{2x^2} \right) \end{cases}$$
   có lời giải duy nhất trong khu vực $x \in \left[ 1; \frac{3}{2} \right], y \in \left[ -\infty; 0 \right]$?

2. Giải phương trình
   $$2(\sin 3x + \cos x) = (\sin x + \cos x)^2 + (\sin 2x + \cos 2x)^2.$$

3. Giải bất đẳng thức
   $$\cos x + \sqrt{2 + \cos x} \leq 0.$$

4. Trong một hình ngũ giác lồi $ABCDE$ có các cạnh chung $P, Q$ của các cạnh $AB, CD$ và $S, T$ của các cạnh $BC, DE$ được nối với nhau bằng các đoạn $PQ$ và $ST$. Đặt $M$ và $N$ là các đoạn được kết nối $PQ$ và $ST$. Tìm độ dài của đoạn $MN$.

5. Cho một khối lập phương $ABCDA'B'C'D'$ có các cạnh có độ dài $a$. Trên cạnh $AA'$ một điểm $E$ được lấy sao cho $|AE| = \frac{1}{4} a$. Tìm thể tích của hình chóp có đỉnh trùng với điểm $A'$, đáy là đoạn đi qua các điểm $D, E$ và giữa cạnh $BB'$.

Tùy chọn 2
(Khoa Vật lý)

1. Một cung thủ đứng trên bờ phía trên một khối giới hạn có chiều cao $H$. Vectơ vận tốc ban đầu của mũi tên tạo một góc $a$ với đường chân trời và ở đỉnh bằng $v$. Sau bao lâu $T$ sau khi bắt đầu chuyến bay, mũi tên sẽ đạt độ cao $h$ trên mặt nước? Bỏ qua kích thước của mũi tên và chiều cao của người bắn.

2. Ở chức năng $x$ nào
   $$f(x) = \sqrt{1 + \sqrt{2 + \sqrt{3 + \sqrt{4} + x}}} + \sqrt{1 + \sqrt{2 + \sqrt{3 + \sqrt{4} - x}}}$$

có ý nghĩa nhất?

3. Cho nghiệm âm của phương trình
   $$\frac{1}{\sin x} + \frac{1}{\sin 2x} + \frac{1}{\sin 4x} = 0,$$
   thỏa mãn bất đẳng thức
   $$x^3 + 5x^2 - 3x - 3 > 0.$$

4. Tính các giá trị tan 37°30′.

5. Trong một đường thẳng tứ giác đều, các cạnh của đáy bằng $a$, cạnh bên tạo thành một góc $a$ với mặt phẳng đáy. Một hình lập phương được nội tiếp vào đường thẳng này sao cho bốn đỉnh của nó nằm trên các điểm cận của đường thẳng và đáy thuộc về đáy của đường thẳng. Tìm thể tích của khối lập phương.

Tùy chọn 3
(Khoa Hóa học)

1. Bằng cách trộn 2 cm$^3$ ba chất, chúng tôi thu được 16 g hỗn hợp. Biết rằng 4 g chất thứ hai chiếm thể tích lớn hơn 4 g chất thứ ba 0,5 cm$^3$. Tìm khối lượng riêng của chất thứ ba nếu biết khối lượng chất thứ hai trong hỗn hợp gấp đôi khối lượng chất thứ nhất.

2. Độ cao của một tam giác vuông hạ xuống cạnh huyền là $h$. Chiều dài ngắn nhất của medana chia đôi chân dài hơn là bao nhiêu?

3. Giải phương trình
   $$8 \sin^2 x + \sin 2x = 5.$$

4. Giải hệ phương trình
   $$\begin{cases} 3^x - 2^{y^2} = 77 \\ \frac{x}{3} - \frac{y^2}{2} = 7. \end{cases}$$

5. Giải phương trình
   $$13^{\frac{x}{13}} + 13^{\frac{x}{13}} - 1 + \dots = 15^{2x} + 15^{2x} - 1 + \dots$$

Tùy chọn 4
(Khoa Kinh tế và Khoa Tâm lý học)

1. Những ngọn nến có cùng chiều dài nhưng độ dày khác nhau. Ngọn nến đầu tiên được thắp sáng sớm hơn những ngọn nến khác một giờ, được thắp sáng cùng lúc. Tại một số thời điểm, cây nến thứ nhất và thứ hai có chiều dài như nhau, và hai giờ sau, cây nến thứ nhất và thứ ba có cùng chiều dài. Nếu cạnh thứ nhất của ngọn nến là bao nhiêu giờ, nếu cạnh thứ hai là 8 giờ và cạnh thứ ba là 12 giờ? Người ta cho rằng tốc độ của nến không phụ thuộc vào thời gian cháy.

54

2. Giải hệ phương trình
   $$\begin{cases} \log_{|xy|} (x^2-y^2) = 1 \\ \log_{|xy|} (x-y) = 0. \end{cases}$$

3. Biểu thị các giá trị của lg 640 theo các giá trị của $a = \lg 62,5$.

4. Tìm số nghiệm của phương trình $3x^4 + 8x^3 - 6x^2 - 24x - 10 = 0$ trên đoạn [0; 3].

5. Góc lớn nhất của một tam giác vuông là $a$. Một vòng tròn được vẽ đi qua giữa vòng tròn nhỏ hơn và giữa cạnh huyền, tiếp xúc với cạnh huyền. Tìm tỉ số diện tích của hình tròn và hình tam giác.

Vật lý
Bài thi viết
Khoa Vật lý
Tùy chọn 1

1. Một cái nêm, bề mặt nghiêng của nó tạo thành một góc $\alpha$ với đường chân trời, có thể chuyển động tịnh tiến dọc theo một bề mặt nằm ngang (Hình 1). Với lực nào $F$ nên kéo sợi chỉ theo hướng nằm ngang để khối di chuyển lên trên hình nêm? Khối và cái nêm sẽ chuyển động với gia tốc bằng bao nhiêu? Khối lượng của nêm là $M$, khối lượng của khối là $m$. Yêu cầu khối lượng ma sát, khối lượng ren và khối lượng khối.
2. Chất khí giãn nở theo định luật $pV^2 = const$ nóng lên hay nguội đi?
3. Mạch điện ở Hình 2 đã được lắp ráp. Số chỉ của vôn kế sẽ thay đổi như thế nào nếu công tắc $K$ mở? Giả sử điện trở của vôn kế là vô cùng lớn.
4. Một màn hình được đặt trên đường truyền của sóng đơn sắc phẳng, tại điểm $A$ trong đó đặt một chỉ báo để ghi lại năng lượng bức xạ mang lại trong một đơn vị thời gian trên một đơn vị diện tích của màn hình. Số đọc của thiết bị sẽ thay đổi bao nhiêu lần nếu một thấu kính thu được đặt trước màn hình ở khoảng cách $L$ so với màn hình sao cho điểm $A$ nằm trên trục quang chính của nó (Hình 3)? Vẽ đồ thị về sự phụ thuộc của giá trị mong muốn vào $L$ đối với tiêu cự cố định của thấu kính $F$ và vào $F$ đối với $L$ cố định. Mất năng lượng khi đối mặt với yêu sách.
5. Câu hỏi lý thuyết. Máy biến áp. Truyền tải và phân phối điện.

Tùy chọn 2

1. Một quả bóng có khối lượng $m$ chạm vào một quả bóng có khối lượng đứng yên $M$ với tốc độ $v$ dọc theo đường nối tâm của chúng. Sau khi lấy ra, vận tốc của quả bóng thứ nhất giảm đi một nửa vận tốc của quả bóng ban đầu. Tìm tỷ số giữa tổng động năng của obikhhar sau khi loại bỏ và động năng ban đầu của quả bóng tấn công.
2. Một mol khí đẳng tích lý tưởng đơn nguyên tử được làm lạnh sao cho áp suất của nó giảm đi hệ số $n$. Khí đẳng áp sau đó giãn nở nên thể tích của nó tăng $n$ lần. Xác định số $n$ nếu biết tổng lượng nhiệt truyền cho khí trong quá trình chuyển đổi này nhỏ hơn hai lần so với nội năng ban đầu của nó.
3. Một mạch điện đã được lắp ráp như hình 4. Số chỉ của ampe kế sẽ thay đổi như thế nào nếu phím $K$ đóng, tức là các điểm $A$ và $B$ bị đoản mạch?
4. Các tia từ Mặt trời chiếu vào một tấm gương phẳng nhỏ hình chữ nhật và sau khi phản xạ, rơi xuống một màn hình nơi tia mặt trời nhận được không rơi. Điểm sáng trên màn có hình dạng gì?
5. Câu hỏi lý thuyết. Khái niệm về tính chất sóng và lượng tử của ánh sáng.
   Bài thi vấn đáp
   Khoa Toán và Cơ học, Khoa Toán ứng dụng - Quy trình điều khiển, Khoa Hóa học và Địa chất
6. Dọc theo khung gỗ tạo thành một góc $\alpha$ với đường chân trời, chèn một chiếc hộp phía sau sợi dây. Hệ số ma sát ở chân hộp là bao nhiêu nếu lực cần thiết ít nhất khi dây tạo một góc $\beta$ với phương thẳng đứng?
7. Một vật có khối lượng $m$ chịu tác dụng của một lực không đổi $F$, hướng theo phương ngang, trong thời gian $t$. Hệ số ma sát của một vật trên mặt phẳng nằm ngang bằng $\mu$. Cơ thể sẽ đi được bao xa trước khi dừng lại?
8. Hai ngôi sao có khối lượng $m_1$ và $m_2$ chuyển động sao cho khoảng cách giữa tâm của chúng không đổi. Xác định bản chất chuyển động của các ngôi sao (quỹ đạo, tốc độ, gia tốc), lưu ý sự tương tác của chúng với các thiên thể khác.
9. Không khí có khối lượng $m=2\mathrm{kg}$ nằm trong một hình trụ được đóng kín bằng một piston chuyển động được. Công sẽ được thực hiện bao nhiêu khi không khí được nung nóng đẳng áp bằng $\Delta T=100$ K?
10. Một mol hydro được đun nóng ở áp suất không đổi. Lượng nhiệt phải truyền cho hydro là bao nhiêu để thể tích của nó thoát ra? Khí sẽ thực hiện được bao nhiêu công?