Trên ngón tay và trong tâm trí bạn

40

Trên ngón tay và trong tâm trí bạn

R. S. DANELIA

Thời thơ ấu, để cộng số, tất cả chúng ta đều sử dụng một chiếc máy tính do chính thiên nhiên thiết kế - mười ngón tay. Hóa ra “thiết bị” tương tự cũng có thể được sử dụng khi nhân số. Chúng tôi sẽ chỉ cho bạn cách nhân hai số bất kỳ từ 6 đến 10. Để làm điều này, hãy đánh số các ngón tay: trừ - 6, đeo nhẫn - 7, giữa - 8, trỏ - 9, ngón cái - 10. Giả sử chúng ta cần tìm kết quả 7x8. Để làm điều này, ở tay trái chúng ta uốn các ngón 6, 7, ở bên phải - 6, 7, 8, sau đó nhân số ngón cong của cả hai tay với 10 và cộng tổng số ngón của bàn tay với số ngón của bàn tay trái: 5 10 + 2 3 = 56.

Sau khi thực hành một chút hoặc dạy nghệ thuật đơn giản này cho em trai của bạn, người vẫn biết rõ bảng cửu chương, bạn có thể kiểm tra xem phương pháp nhân này có luôn cho kết quả đúng hay không. Tại sao?

Số cần tìm là tích ab, trong đó 6<a<10, 6<b<10. Rõ ràng là có ngón a-5 ở tay trái và ngón b-5 ở tay phải. Như vậy, số ngón bit là a + b - 10. Bàn tay trái có ngón 10 a và bàn tay phải có ngón 10 b. Tích của chúng bằng (10-a)(10-b).

Theo những gì đã nói, chúng ta cần tìm tổng:

(a+b—10)·10+(10—a)(10—b).

Bằng cách mở dấu ngoặc, chúng ta đảm bảo rằng tổng của số thực bằng a·b, nghĩa là

41

$$a \cdot b = (a + b - 10) \cdot 10 + (10 - a) \cdot (10 - b).$$

Như vậy, phương pháp nhân ngón tay mà chúng tôi sử dụng là hợp lý.

---

Nhìn kỹ vào hành động tương tự (1), dễ hiểu là thay vì số 10 bạn có thể đặt bất kỳ số $m$ nào, tức là

$$ab = (a + b - m)m + (m - a)(m - b).$$

Kiểm tra nó ra! Sử dụng nhận thức này, bạn có thể nhanh chóng tìm được tích của hai số có cùng số chục, hàng trăm, …

Hãy xem xét các ví dụ.

1. Hãy tính tích 16 · 17. Trong cùng công thức (2), chúng ta lấy $m = 20$. Sau đó

$$16 \cdot 17 = (33 - 20) \cdot 20 + 4 \cdot 3 = 272.$$

2. Hãy tìm tích 42 · 44. Lấy $m = 50$. Sau đó

$$42 \cdot 44 = (86 - 50) \cdot 50 + 8 \cdot 6 = 1848.$$

Tất nhiên, $m$ có thể có những ý nghĩa khác. Ví dụ: sẽ rất tuyệt nếu chúng ta lấy 40 là $m$.

Trong trường hợp này chúng ta có

$$42 \cdot 44 = (86 - 40) \cdot 40 + 2 \cdot 4 = 1848.$$

3. Để tìm tích 121 · 103, trong cùng phương trình (2), chúng ta lấy $m = 100$. Sau đó

$$121 \cdot 103 = (224 - 100) \cdot 100 + 21 \cdot 3 = 12463.$$

---

Có thể bạn biết quy tắc bình phương các số có hai phần tận cùng bằng 5. Để tìm $(10x + 5)^2$, chỉ cần nhân số $x$ với số theo sau nó rồi cộng 25 vào kết quả thu được. Ví dụ,

$$35^2 = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 25 = 145.$$

Quy luật này là hệ quả của sự bình đẳng

$$(10x + 5)^2 = 10x(x + 1) + 25,$$

đến lượt nó là một trường hợp đặc biệt của danh tính (2).

---

Cuối cùng, hãy xem xét trường hợp $a = 10x + y$, $b = 10x + z$. Sau đó chúng tôi có

$$(10x + y)(10x + z) = x(10x + y + z)10 + yz.$$

Nếu $y + z = 10$, chúng ta nhận được danh tính tương tự như danh tính (3):

$$(10x + y)(10x + z) = 100x(x + 1) + yz.$$

Dựa vào đó, có thể xây dựng quy tắc sau: để tìm tích của hai số có số hàng chục giống nhau và tổng của các đơn vị là 10, cần nhân số hàng chục với số tiếp theo và cộng tích của các đơn vị với số kết quả (nếu một số không rõ ràng thì gán 0 trước số đó). Ví dụ:

1. $48 \cdot 42; 4 \cdot 5 = 20, 8 \cdot 2 = 16; 48 \cdot 42 = 2016;$
2. $99 \cdot 91; 9 \cdot 10 = 90, 9 \cdot 1 = 09; 99 \cdot 91 = 9009;$
3. $102 \cdot 108; 10 \cdot 11 = 110, 2 \cdot 8 = 16, 102 \cdot 108 = 11016.$

Bằng cách thực hành các kỹ thuật nhân này, bạn sẽ học được cách nhân nhanh nhiều số trong đầu. Và nếu bạn có thể nghĩ ra những ví dụ khác làm giảm phép nhân, hãy viết thư cho chúng tôi.